苏教版 (2019)必修 第一册第4章 指数与对数本章综合与测试优质学案

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


指数幂运算的一般原则


(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．


(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．


(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．


(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．





[思路点拨] 按照指数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．





eq \([跟进训练])


1．











1．对数的运算应遵循的原则


对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．


2．对于底数相同的对数式的化简常用的方法


(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．


(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．


【例2】 计算下列各式：

















eq \([跟进训练])


3．计算下列各式：


(1)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2＋lgeq \r(10)＋lg(0．01)－1；


(2)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－3lg55．


[解] (1)法一：原式＝lg[25eq \s\up12(eq \f(1,2))×2×10eq \s\up12(eq \f(1,2))×(10－2)－1]


＝lg(5×2×10eq \s\up12(eq \f(1,2))×102)＝lg 10eq \s\up12(eq \f(7,2))＝eq \f(7,2)．


法二：原式＝eq \f(1,2)lg 52＋lg 2＋eq \f(1,2)lg 10－lg 10－2


＝(lg 5＋lg 2)＋eq \f(1,2)－(－2)＝lg 10＋eq \f(1,2)＋2


＝1＋eq \f(1,2)＋2＝eq \f(7,2)．


(2)法一：原式＝lg322＋lg3(32×2－5)＋lg323－3


＝lg3(22×32×2－5×23)－3＝lg332－3＝2－3＝－1．


法二：原式＝2lg32－(5lg32－2)＋3lg32－3＝2－3＝－1．





对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．


【例3】 若lg a＋lg b＝4，lg a·lg b＝eq \f(1,4)，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．


[解] lg(ab)·(lgab＋lgba)＝(lg a＋lg b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b)))


＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg b2＋lg a2,lg alg b)＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg b＋lg a2－2lg alg b,lg alg b)＝4×eq \f(42－2×\f(1,4),\f(1,4))＝248．


eq \([跟进训练])


4．若lgab＋3lgba＝eq \f(13,2)，则用a表示b的式子是 ．


b＝eq \r(a)或b＝a6 [ 原式可化为eq \f(1,lgba)＋3lgba＝eq \f(13,2)，


整理得3(lgba)2＋1－eq \f(13,2)lgba＝0，即6(lgba)2－13lgba＋2＝0．


解得lgba＝2或lgba＝eq \f(1,6)，所以b2＝a或beq \s\up12(eq \f(1,6))＝a．即b＝eq \r(a)或b＝a6．]


5．已知lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，求lg2eq \f(a,b)的值．


[解] 因为lg a＋lg b＝2lg(a－2b)，


所以lg ab＝lg(a－2b)2，


ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，


即(a－b)(a－4b)＝0，


所以a＝b或a＝4b．


又因为a－2b>0，


所以a＝4b，lg2eq \f(a,b)＝lg24＝2．





解简单的指数和对数方程的三种方法


(1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n．


形如lgaM＝lgaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(M>0，,N>0)) 求解．


(2)定义法：解形如b＝lgaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．


(3)换元法：设t＝ax(t＝lgax)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．


【例4】 根据下列条件，分别求实数x的值：


(1)lg2(2－x)＝lg2(x－1)＋1；


(2)32x＋1－6x＝22x＋2．


[解] (1)原方程可化为lg2(2－x)＝lg2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝eq \f(4,3)．经检验知，原方程的解为x＝eq \f(4,3)．


(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，


因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，


则3×3x－4×2x＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(x)＝eq \f(4,3)， 解得x＝lgeq \s\d12(eq \f(3,2)) eq \f(4,3)．


eq \([跟进训练])


6．解下列关于x的方程：


(1)lgeq \r(x－1)＝lg(x－1)；


(2)lg4(3－x)＋lg0．25(3＋x)＝lg4(1－x)＋lg0．25(2x＋1)．


[解] (1)原方程等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x－1)＝x－1,x－1>0.)) 解之得x＝2．


经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2．


(2)原方程可化为lg4(3－x)－lg4(3＋x)＝lg4(1－x)－lg4(2x＋1)．


即lg4eq \f(3－x,3＋x)＝lg4eq \f(1－x,2x＋1)．


整理得eq \f(3－x,x＋3)＝eq \f(1－x,2x＋1)，解之得x＝7或x＝0．


当x＝7时，3－x＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0满足，


所以原方程的解为x＝0．


指数的运算
对数的运算
利用对数的运算性质进行求值
解简单的指数和对数方程