2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题5第1讲　直线与圆



第1讲　直线与圆

[做小题——激活思维]
1．已知点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为________．
[答案]　(1,0)或(6,0)
2．若直线l过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是________．
[答案]　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
3．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．
x2＋y2－10y＝0　[设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，
解得b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.]
4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为________．
[答案]　(1,2)或(2，－1)
5．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是________．
[答案]　2＋2＝1
6．已知圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0，则两圆的公共弦长为________．
[答案]　2
[扣要点——查缺补漏]
1．直线的方程
(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．
(2)求直线方程时应根据条件选择适合的方程形式利用特定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．如T1，T2.
(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
2．圆的方程
(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程．如T3.


　圆的方程及应用(5年3考)

[高考解读]　高考对圆的方程求法的单独考查很少，多考查直线与圆的位置关系及其应用.
(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
切入点：①过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点；
②|AB|＝8.
关键点：根据抛物线的定义进行转化求解．
[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
因此所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[教师备选题]
1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[利用两点间的距离公式求圆的半径，从而写出方程．圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]
2．[一题多解](2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0　[法一：易知以(0,0)，(1,1)，(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件可得解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]
3．(2015·湖北高考)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1　[(1)结合图形，确定圆C的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程．
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB.
由题意|AD|＝|CD|＝1，
故|AC|＝＝，即圆C的半径为.
又因为圆C与x轴相切于点T(1,0)，所以圆心C的坐标为(1，)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)如图，先求出点B的坐标，进而求出圆C在点B处的切线方程，再求切线在x轴上的截距．
令(x－1)2＋(y－)2＝2中的x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)．直线BC的斜率为＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋＋1.令y＝0，解得x＝－－1，故所求截距为－－1.]


常见的求圆的方程的方法
(1)利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，从而写出圆的标准方程.
(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长，则常用标准方程求解；若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，则常用一般方程求解.

1．(由圆的方程求参数)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)　 B.
C．(－2,0) D.
D　[若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，化简得3a2＋4a－4＜0，
解得－2＜a＜.]
2．(求圆的标准方程)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝1　[∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，∴圆心的纵坐标是1，设圆心坐标为(a,1)(a＞0)，则1＝，∴a＝2，故该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]
3．(与平面向量的交汇问题)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径r＝________.
　[圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a＜1)，圆心M(1,0)，则|OM|＝1，圆的半径r＝，因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为.
　直线与圆、圆与圆的位置关系(5年8考)

[高考解读]　高考对圆的考查以直线与圆的位置关系、弦长问题为主，题型灵活，难度中等，对于切线及圆与圆的位置关系的考查较少.
角度一：与圆有关的距离问题
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6]　 B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
切入点：①直线x＋y＋2＝0与x轴、y轴交于A，B两点；
②点P在圆(x－2)2＋y2＝2上．
关键点：①求出|AB|；②求出点P到直线x＋y＋2＝0的距离的范围．
A　[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
切入点：①圆的方程；②圆心到直线的距离．
关键点：正确求出圆心坐标．
A　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝－，故选A.]
角度二：弦长问题
3．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
切入点：①直线方程；②圆的方程．
关键点：正确应用弦长的求法．
2　[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
切入点：①直线和圆的方程；②|AB|＝2.
关键点：根据|AB|＝2确定a的值．
4π　[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.又|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]
角度三：直线与圆的综合问题
5．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
切入点：曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点．
关键点：①计算kAC·kBC＝－1；②确定圆心和半径．
[解]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又点C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0，可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
[教师备选题]
1．(2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　 B.
C．[－，] D.
A　[如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N.
设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥，即≥.
而ON＝1，∴OM≤.
∵M为(x0,1)，
∴≤，
∴x≤1，
∴－1≤x0≤1，
∴x0的取值范围为[－1,1]．]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
4　[如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.]
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解]　(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.


1．(弦长问题)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为(　　)
A．49π　　　　B．36π　　　　C．7π　　　　D．6π
D　[圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心C(a,1)到直线y＝ax的距离为＝，解得a2＝7，所以圆C的面积为π()2＝6π，故选D.]
2．(两圆公共弦问题)已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋(y－b)2＝2(b＞0)相交于A，B两点，且|AB|＝2，则b＝________.
　[由题意知C1(1,0)，C2(0，b)，半径r1＝r2＝，所以线段AB和线段C1C2相互垂直平分，则|C1C2|＝2，即1＋b2＝4，又b＞0，故b＝.]
3．(切线问题)当曲线y＝与直线kx－y－2k＋4＝0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是________．
　[整理y＝，得x2＋y2＝4(y≥0)，所以该曲线是以原点为圆心，2为半径的圆在x轴及x轴上方的部分．
∵直线kx－y－2k＋4＝0可化为y－4＝k(x－2)，
∴直线过定点A(2,4)且斜率为k，
如图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2,0)．
由图可知，当kAD＜k≤kAB时，直线与半圆有两个相异的交点．
当直线与半圆相切时，满足＝2，
解得k＝，即kAD＝.
又∵直线AB的斜率kAB＝＝1，∴直线kx－y－2k＋4＝0的斜率k的取值范围为.]
4．(直线与圆的综合问题)已知圆M过两点A(1,1)，B(－1，－1)，且圆心M在x－y＋2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x－4y＋27＝0上的动点，PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
[解]　(1)线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x＋y＝0.
解方程组解得所以圆M的圆心坐标为(－1,1)，
半径r＝＝2.
故所求圆M的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4.
(2)如图，由题知，四边形PCMD的面积为

S＝2S△PCM＝2×|PC|·|CM|＝2|PC|＝2＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可．
即在直线3x－4y＋27＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝4，
所以四边形PCMD面积的最小值为S＝2＝4.