【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题 二次函数压轴题 专练（含答案）

【期末复习】2020年九年级数学上册 期末复习专题

二次函数压轴题 专练

1.在平面直角坐标系xOy中,反比例函数的图象与抛物线

交于点A(3, n).

（1）求n的值及抛物线的解析式；

（2）过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（x>0）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；             

（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标.

2.如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

4.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；                           

（2）小球的落点是A，求点A的坐标；                                                                     

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；                                         

（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

5.如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出F点坐标；如果不存在，请说明理由．

6.如图,直线y1=kx+2与x轴交于点A(m,0)(m＞4),与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax+c(a＜0)经过A,B两点.P为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．

（1）当m=5时，

    ①求抛物线的关系式；

   ②设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示PQ的长，并求当x为何值时，PQ=；

（2）若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．

7.如图,抛物线y=ax2+2.5x-2与x轴相交于点A（1,0）与点B,与y轴相交于点C．

（1）确定抛物线的解析式；

（2）连接AC、BC,△AOC与△COB相似吗？并说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上,在抛物线上是否存在点M,使得以点N、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出对应的点M、N的坐标；若不存在,请说明理由．

8.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3,0）,与y轴交于点B（0,3），点P是x轴上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点C,交直线AB于点D，设P（x,0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当0＜x＜3时,求线段CD的最大值；

（3）在△PDB和△CDB中,当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时,求相应x的值；

（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时,x的值为    ．（直接写出答案）

9.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2,﹣4），与x轴交于A、B两点,且A（﹣6,0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大？若能,请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

10.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.

(1)若直线y=mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标.

参考答案

1.

2.解：

3.解：(1)y=-x2＋2x＋3

(2)易求直线BC的解析式为y=-x＋3，∴M(m，-m＋3)，

又∵MN⊥x轴，∴N(m，-m2＋2m＋3)，

∴MN=(-m2＋2m＋3)-(-m＋3)＝-m2＋3m(0＜m＜3)

(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=0.5|MN|·|OB|，

∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=-m2＋3m=-(m-1.5)2＋2.25，

所以当m＝1.5时，△BNC的面积最大为3.75.

4.分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；

（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；

（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．

解答：              解：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；

（2）联立两解析式可得：，解得：，或．

故可得点A的坐标为（，）；

（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；

（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y=x+b，

∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．

由，解得，，∴点M的坐标为（，）．

5.（1）A（﹣1，0）B（3，0）C（2，﹣3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b，解得，k=-1,b=-1，∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1，

由抛物线的对称性可知，点A与点B关于对称轴x=1对称，

∴连接AC与x=1交于点P，点即为所求，当x=1时，y=﹣2，则点P的坐标为（1，﹣2）；

（3）存在4个这样的点F，F点坐标是：（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣，0）

6.【解答】解：（1）①∵m=5，∴点A的坐标为（5，0），

把A（5，0）代入y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，∴直线解析式为y1=﹣x+2，

当x=0时，y1=2，∴点B的坐标为（0，2）．

将A（5，0），B（0，2）代入，得，解得，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；

②设点P的坐标为（x，﹣ x+2），则Q（x，﹣ x2+x+2），

∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，而PQ=，

∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴当x=1或x=4时，PQ=；

（2）设P（x，kx+2），则Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的长用l表示，

∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ长的最大值为16，如图，

当h=16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；

当h＞16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；

当0＜h＜16时，一元二次方程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．

7.解：（1）∵把A（1,0）代入得：a+2.5﹣2=0,解得a=-0.5,∴y=-0.5x2+2.5x-2；

（2）相似．∵令﹣0.5x2+2.5x﹣2=0，解得x1=1，x2=4，∴A（1，0），B（4，0）．

∵x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）．∴OC=2，OA=1，OB=4

∴==0.5．又∵∠COA=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB；

（3）存在．对称轴为x=2.5，交x轴于点Q，顶点坐标为（2.5，9/8）．

①如图1，AB为对角线，若四边形AMBN为平行四边形，则QM=QN，

∴M（2.5，9/8），N（2.5，﹣9/8）；

②如图2，AB为一边，若四边形ABMN为平行四边形，则MN∥AB，MN=AB=3，

设N（2.5，n）则有M（﹣0.5，n）或（5.5，n）将M坐标代入解析式：n=﹣27/8．

综上所述，M（2.5, 9/8）,N（2.5,﹣9/8）或M（﹣0.5,﹣27/8）,N（2.5,﹣27/8）

或M（5.5,﹣27/8）,N（2.5,﹣27/8）．

8.【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，

∵P（x，0）．∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），

∵0＜x＜3，∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，当x=时，CD最大=；

（3）由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|

①当S△PDB=2S△CDB时，∴PD=2CD，即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±或x=3（舍），

②当2S△PDB=S△CDB时，∴2PD=CD，即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），

即：综上所述，x=±或x=±2；

（4）直线AB解析式为y=﹣x+3，∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，

∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，

∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，

∴，∴x=±，故答案为：

9.【解答】解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，

∴此函数的解析式为y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；

（2）∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y=x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），

则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P（x， x2+x﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），

则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|

=|PF|•|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，

∴当x=﹣3时，S△APC有最大值，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）．

10.解：(1)依题意得a=-1,b=-2,c=3∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋3.

∵对称轴为直线x=－1，且抛物线经过A(1，0)，∴点B的坐标为(－3，0).

把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y=mx＋n，得-3m+n=0,n=3解得m=1,n=3

∴直线BC的解析式为y=x＋3；

(2)设直线BC与对称轴x=－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小.

把x=－1代入y=x＋3得y=2，∴点M的坐标为(－1，2)，

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时点M的坐标为(－1，2)；

(3)设点P的坐标为(－1，t).又∵点B的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，3)，

∴BC2=18，PB2=(－1＋3)2＋t2=4＋t2，PC2=(－1)2＋(t－3)2=t2－6t＋10.

①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2=PC2，即18＋4＋t2=t2－6t＋10，解得t=－2；

②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2=PB2，即18＋t2－6t＋10=4＋t2，解得t=4；

③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2=BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10=18，解得t1=，t2=.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(-1,)或(-1,).