人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）导学案，共7页。

4.5.3《函数模型的应用》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )








LISTNUM OutlineDefault \l 3 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )





A.310元 B.300元 C.390元 D.280元





LISTNUM OutlineDefault \l 3 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出,其中m＞0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［3］=3,［3.7］=4,［5.1］=6).则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为( )








LISTNUM OutlineDefault \l 3 如下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t的关系：y=at，有以下叙述，其中正确的是（ ）





①这个指数函数的底数为2


②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2


③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月


④浮萍每月增加的面积都相等


⑤若浮萍蔓延到2 m2、3m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3


A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤





LISTNUM OutlineDefault \l 3 某地区植被破坏后土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y公顷依赖于年数x的函数采用下列哪个函数模拟较好（ ）


A.y= SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 0.2x B.y=0.1(x2+2x) C.y=0.1·2x D.y=0.2+lg16x








LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是( )








LISTNUM OutlineDefault \l 3 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：


y=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x<10，x∈N*，,2x＋10，10≤x<100，x∈N*，,1.5x，x≥100，x∈N*，))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数.


若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )


A.15 B.40 C.25 D.130





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若函数y=lgax(a＞0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2＋1；乙：y=3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿.(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)=40Q－eq \f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是_____万元.























、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积.


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规律：每生产产品x百台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足R(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，,10.2，x＞5.))假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，解决下列问题：


(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？


(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少.










































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，


已知总收入满足函数：H(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40 000，x>200，x∈N，))，其中x是仪器的月产量.


(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；


(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入=总成本＋利润)





















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台. 现销售给A地10台，B地8台. 已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的费用分别为300元和500元.


(1)设从甲地调运x台至A地，求总费用y关于台数x的函数解析式；


(2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案；


(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：B；


解析：图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，


可求得解析式y=500x＋300(x≥0)，当x=0时，y=300.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1)=1.06×［0.50×6+1］=4.24.应选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：①②正确，③④不正确，⑤正确，选D.由图象过（1，2），则a1=2，故①正确，若t=5，则y=a5=25=32＞30,故②正确，因y=2t,且2=2t1，3=2t2，6=2t3,故2t1+t2=2×3=2t3，即t1+t2=t3,则⑤正确.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C;


解析：将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入四个选项，看哪一个模型更合适.知选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：依题意，当0

当1

=eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))×1－eq \f(1,2)×1×(x－1)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×(2－x)=－eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)；


当2

=eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))×1－eq \f(1,2)×(1＋x－2)×1=eq \f(3,4)－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)=－eq \f(1,2)x＋eq \f(5,4).


∴y=f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x0

再结合图象知应选A.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：令y=60，若4x=60，则x=15>10，不合题意；


若2x＋10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不合题意；


故拟录用人数为25.故选C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：因为函数y=lgax过点(3，1)，所以1=lga3，解得a=3，


所以y=3－x不可能过点(1，3)，排除A；


y=(－x)3=－x3不可能过点(1，1)，排除C；


y=lg3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：甲;


解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：14；


解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10＋x)元，


此时日销售量为(100－10x)个，每个商品的利润为(10＋x)－8=2＋x(元)，


∴总利润y=(2＋x)(100－10x)=－10x2＋80x＋200


=－10(x－4)2＋360(0＜x＜10，且x∈N*).


∴当x=4时y有最大值，此时单价为14元.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2 037；


解析：设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：


14(1＋1.25%)x－2 008>20，x－2 008>eq \f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))=eq \f(1－lg 7,4lg 3－3lg 2－1)=28.7，


则x>2 036.7，即x=2 037.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：2 500；


解析：L(Q)=40Q－eq \f(1,20)Q2－10Q－2 000=－eq \f(1,20)Q2＋30Q－2 000=－eq \f(1,20)(Q－300)2＋2 500，


当Q=300时，L(Q)的最大值为2 500万元.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设直角三角形为△ABC，AC=40 cm，BC=60 cm，矩形为CDEF，如图所示，





设CD=x cm，CF=y cm，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得


eq \f(AF,ED)=eq \f(FE,BD)，即eq \f(40－y,y)=eq \f(x,60－x)，解得y=40－eq \f(2,3)x.


记剩下的残料面积为S，则


S=eq \f(1,2)×60×40－xy=eq \f(2,3)x2－40x＋1 200=eq \f(2,3)(x－30)2＋600(0

故当x=30时，Smin=600，此时y=20.


所以当CD=30 cm，CF=20 cm时，剩下的残料面积最小，为600 cm2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：依题意，G(x)=x＋2，设利润函数为f(x)，


则f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.4x2＋3.2x－2.80≤x≤5，,8.2－xx＞5.))


(1)要使工厂有盈利，则有f(x)＞0.


当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.8＞0.解得1＜x＜7，


∴1＜x≤5.


当x＞5时，由8.2－x＞0，解得x＜8.2，∴5＜x＜8.2.


综上，要使工厂盈利，应满足1＜x＜8.2，


即产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内.


(2)当0≤x≤5时，f(x)=－0.4(x－4)2＋3.6，


故当x=4时，f(x)有最大值3.6，当x＞5时，f(x)＜8.2－5=3.2.


故当工厂生产400台产品时，盈利最大，


此时，每台产品的售价为eq \f(R4×104,400)=240(元).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t=10 000＋100x.又f(x)=H(x)－t.


∴f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋300x－10 000，0≤x≤200，x∈N，,30 000－100x，x>200，x∈N.))


(2)当0≤x≤200时，f(x)=－(x－150)2＋12 500，


所以当x=150时，有最大值12 500；


当x>200时，f(x)=30 000－100x是减函数，


f(x)<30 000－100×200<12 500.


所以当x=150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.


所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)设从甲地调运x台至A地，则从甲地调运(12－x)台到B地，


从乙地调运(10－x)台到A地，从乙地调运6－(10－x)=(x－4)台到B地，


依题意，得


y=400x＋800(12－x)＋300(10－x)＋500(x－4)，


即y=－200x＋10 600(0≤x≤10，x∈Z).


(2)由y≤9 000，即－200x＋10 600≤9 000，解得x≥8.


因为0≤x≤10，x∈Z，所以x=8，9，10.


所以共有三种调运方案.


(3)因为函数y=－200x＋10 600 0(0≤x≤10，x∈Z)是单调减函数，


所以当x=10时，总运费y最低，ymin=8 600(元).


此时调运方案是：从甲分厂调往A地10 台，调往B地2台，


乙分厂的6台机器全部调往B地.