2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题七第1讲　选修4－4：坐标系与参数方程

第1讲　选修4－4：坐标系与参数方程

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高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．

[真题体验]

1．(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1 所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

2．(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)求C上的点到l距离的最小值．

解：(1)曲线C参数方程为

由①2＋2得

x2＋2＝1，又∵－1＜≤1，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．

由，得直线l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.

(2)C上的点(cos θ，2sin θ)到直线l的距离d＝＝

当sin＝－1时，dmin＝.

即C上的点到l距离的最小值为.

[主干整合]

1．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，

且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则

2．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)直线过极点：θ＝α；

(2)直线过点M(a,0)(a＞0)且垂直于极轴；ρcos θ＝a；

(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

3．圆的极坐标方程

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；

(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.

4．直线的参数方程

经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．

5．圆、椭圆的参数方程

(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．

(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．

热点一　极坐标方程及其应用

[例1]　(2019·全国Ⅲ卷)

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.

(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

[审题指导]　(1)依据条件直接写出圆的极坐标方程，因为是圆弧，所以要对极角θ进行范围限制．

(2)根据点P在三段圆弧上的不同情况分类讨论，由|OP|＝分别求出极角，从而确定点P的极坐标．

[解]　(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.

(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知

若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.

极坐标方程问题的求解方法

有关曲线的极坐标方程的问题中，常见的有直线与圆的交点问题，圆心到直线的距离问题等．一般情况下，解决的方案是：化极坐标方程为平面直角坐标方程，然后用平面解析几何的方法解决问题，必要时，还要把结果返回到极坐标系中．

(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．

解：

因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，

所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．

因为直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)＝2，

则直线l过A(4,0)，倾斜角为，

所以A为直线l与圆C的一个交点．

设另一个交点为B，则∠OAB＝.

连结OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，

所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos＝2.

因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.

热点二　参数方程及其应用

[例2]　(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

[审题指导]　(1)直接消去参数可得曲线的直角坐标方程，注意对相关系数的分类讨论；

(2)利用直线参数方程中参数的几何意义求解．

[解析]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，

∴＋＝1.

直线l的参数方程为(t为参数)

∴＝tan α(α≠90°)，即tan α·x－y＋2－tan α＝0，当α＝90°时，x＝1.

综上，l：

(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．

当a≠90°，把l代入曲线C中得：4x2＋[tan α·(x－1)＋2]2＝16，

化简得：(4＋tan2α)x2＋(4tan α－2tan2α)x＋tan2α－4tan α－12＝0，

∵点(1,2)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，即＝2，

∴tan α＝－2，∴直线l的斜率k＝－2.

参数方程与普通方程的互化及应用技巧

(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．但在消参时要注意参数范围等价变形．

(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解析：(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点且当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，

且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．

热点三　极坐标与参数方程的综合应用

[例3]　(2020·广东七校联考)已知椭圆C：(φ为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为.

(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程．

(2)利用椭圆C的极坐标方程证明＋为定值，并求△AOB面积的最大值．

[审题指导]　(1)利用参数法求出轨迹E的参数方程，再化为普通方程即可；(2)求出椭圆C的极坐标方程，由题设条件设出A，B两点的极坐标，代入椭圆C的极坐标方程即可证明＋为定值，利用极坐标建立关于△AOB面积的函数解析式，从而求出△AOB面积的函数解析式，从而法度出△AOB面积的最大值．

[解析]　(1)点D的直角坐标为(2,2)．

由题意可设点A的坐标为(2cos α，sin α)，

则AD的中点M的坐标为，

所以点M的轨迹E的参数方程为(α为参数)，消去α可得E的普通方程为(x－1)2＋4(y－)2＝1.

(2)椭圆C的普通方程为＋y2＝1.

化为极坐标方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，变形得ρ＝.

由OA⊥OB，不妨设A(ρ1，θ)，B，

所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)．

所以△AOB的面积S＝ρ1ρ2

＝＝

＝

易知当sin 2θ＝0时，△AOB的面积取得最大值1.

1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．

(2020·惠州质检)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)，

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．

解析：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.

(2)将代入圆C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，化简得t2－2tcos α－3＝0.

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

则

∴|AB|＝|t1－t2|＝

＝＝，

∴4cos2α＝2，故cos α＝±，即α＝或.

限时45分钟　满分50分

解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)

1．(2020·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．

解析：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x.

由ρ＝2cos θ＋2sin θ得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，

因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，

所以(x－)2＋(y－1)2＝4，

所以曲线C的参数方程为(α为参数)．

(2)联立得所以|OA|＝4，

同理，|OB|＝2.

又∠AOB＝，

所以S△AOB＝·|OA|·|OB|·sin∠AOB＝×4×2×＝2，

即△AOB的面积为2.

2．(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.

设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，在Rt△OPQ中，ρcos ＝|OP|＝2.

经检验，点P在曲线ρcos ＝2上．

所以，l的极坐标方程为ρcos ＝2.

(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，则ρ＝4cos θ，

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.

所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，

θ∈.

3．(2020·成都摸底)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2(1＋2cos2θ)＝3.

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设点M(1,1)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AM|＋|BM|的值．

解析：(1)由直线l的参数方程消去参数t，得x－1＝(y－1)，

化简，得直线l的普通方程为x－y＋1－＝0.

曲线C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos2θ＝3，

∴(x2＋y2)＋2x2＝3，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋＝1.

(2)由题易知，点M在直线l上．

将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋2＝1，

化简，得t2＋2t＋＝0，

此时Δ＝＋＞0，

此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.

由根与系数的关系，得t1＋t2＝－，t1t2＝，

∴|AM|＋|BM|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝2＋.

4．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程．

(2)若射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.

解析：(1)因为曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，

所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.

因为曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，

所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1，

得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化简得ρ＝2cos θ.

(2)依题意设A，B，

因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，

将θ＝(ρ＞0)代入曲线C1的极坐标方程，

得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，

同理，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C2的极坐标方程，

得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.

5．(2020·长春模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ.

(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．

解析：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，

曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.

(2)设直线l的参数方程为(t为参数)，

因为直线l与曲线C2：y2＝4x有两个交点，因此sin α≠0.

联立直线l与曲线C1：＋y2＝1，

可得(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0，

则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝，

联立直线l与曲线C2：y2＝4x，

可得t2sin2α－4tcos α－4＝0，

则|FM|·|FN|＝|t3t4|＝，

所以＝＝·

＝·∈.