2020届高考数学二轮教师用书：下篇指导五回扣溯源·查缺补漏



　　　集合、复数与常用逻辑用语
[方法结论·记熟用活]
1．集合
(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB；④交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(2)子集、真子集个数计算公式：
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
2．复数
(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.
(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
3．四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若p⇔q，则p，q互为充要条件．
5．全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定 p：∃x0∈M，p(x0)．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定 p：∀x∈M，p(x)．
[警示易错·跳出陷阱]
1．遇到A∩B＝∅时，注意“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
2．区分命题的否定和否命题的不同，否命题是对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．
3．“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，但A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，但B不能推出A.
4．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
[习题回扣·保温必胜]
1．设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝ (2,3] ，A∪B＝ [1,4) ．A∪∁UB＝ (－∞，3]∪[4，＋∞) ．
2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝ 2＋i ，＝ ＋i .
3．已知p：∃x0∈R，x－x0＋1≤0，则p ∀x∈R，x2－x＋1＞0 .
4．已知条件p：x2＋2x－3＞0，条件q：x＞a，且 p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为 [1，＋∞) ．
　　　函数图象与性质、函数与方程
[方法结论·记熟用活]
1．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数．
2．函数与方程
(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．
(2)确定函数零点的三种常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0.
②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．
③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．
[警示易错·跳出陷阱]
1．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
4．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性容易忽视字母a的取值讨论，忽视ax＞0；对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．
5．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．
[习题回扣·保温必胜]
1．若函数f(x)＝x2－mx＋m＋2是偶函数，则m＝ 0 .
2．若函数f(x)＝x2＋mx－2在区间(－∞，2)上是单调减函数，则实数m的取值范围为 (－∞，－4] ．
3．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则a＝ ；b＝ 3 .

4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数m的取值范围是 (－4，－2) ．
　　　导数及其应用
[方法结论·记熟用活]
1．导数的几何意义
(1)f′(x0)的几何意义；曲线y＝f(x)在点x＝x0的导数就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．
2．利用导数研究函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间．
3．利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化；
若左正右负，则x0为极大值点；
若左负右正，则x0为极小值点；
若不变号，则x0不是极值点．
(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．与不等式有关的恒成立与存在性问题
(1)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)＞g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I)．
(2)存在x0∈I使f(x)＞g(x)成立⇔I与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈I)．
(3)对∀x1，x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.
(4)对∀x1∈D1，∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min，f(x)定义域为D1，g(x)定义域为D2.
5．证明不等式问题
不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
[警示易错·跳出陷阱]
1．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”是不同的．前者只有一条，后者则可能有多条．
2．利用导数研究函数的单调性，首先确定函数的定义域．
3．已知单调性求参数时，应明确f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增函数的充分条件．当f(x)在(a，b)上是增函数时，应有f′(x)≥0恒成立(其中满足f′(x)＝0的x只有有限个)，否则答案不全面．
4．可导函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．
5．求定积分时应明确定积分结果可负，但曲边形的面积非负．
[习题回扣·保温必胜]
1．曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＋b＝ 2 .
2．函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调递增区间是 (－∞，0)，(2，＋∞) ．
3．函数f(x)＝x3－4x＋在x＝ －2 处取极大值，其值是 .
4．已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x∈(0，＋∞)时，恒有xf′(x)＜f(－x)．若g(x)＝xf(x)，则满足g(1)＜g(1－2x)的实数x的取值范围是 (－∞，0)∪(1，＋∞) ．
　　　三角函数、解三角形
[方法结论·记熟用活]
1．“牢记”四组公式
(1)同角三角函数关系式
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
②商数关系：tan α＝.
(2)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝.
(3)二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝；
cos2α＝，sin2α＝.
(4)辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).
2．三种三角函数的性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
3.三角函数的图象变换

4．正弦定理及其变形
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
5．余弦定理及其推论、变形
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
[警示易错·跳出陷阱]
1．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．
2．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解．
3．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.
4．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．
[习题回扣·保温必胜]
1．函数f(x)＝tan xcos x的值域是(－1,1)．
2．已知函数f(x)＝sin，为了得到函数g(x)＝cos 2x的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：A　[g(x)＝sin
＝sin，∴y＝f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝g(x)的图象．]
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝.
(1)若角C＝，则角A＝ ；
(2)若角A＝，则b＝ 2或1 .
　　　平面向量、算法、合情推理
[方法结论·记熟用活]
1．平面向量
(1)平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(2)平面向量的三个性质
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝ .
④|a·b|≤|a|·|b|.
(3)三点共线的判定
三个点A，B，C共线⇔，共线；
向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.
2．程序框图
程序框图的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示；
(2)条件结构：如图(2)和(3)所示；
(3)循环结构：如图(4)和(5)所示．

3．合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程
―→―→
(2)类比推理的思维过程
―→―→
[警示易错·跳出陷阱]
1．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
2．a·b＞0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件．
3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．
4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．
5．类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比．
[习题回扣·保温必胜]
1.

秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,4，则输出v的值为(　　)
A．6　　　　　　 B．25
C．100 D．400
解析：C　[输入n＝3，x＝4，v＝1，i＝3－1＝2；v＝1×4＋2＝6；i＝2－1＝1；v＝6×4＋1＝25，i＝1－1＝0；v＝25×4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序结束，输出的v＝100.故选C.]
2．已知甲、乙、丙三人恰好都去过青岛、三亚中的一个城市，三人分别给出了以下说法：
甲说：我去过三亚，乙去过三亚，丙去过青岛；
乙说：我去过三亚，甲说的不完全对；
丙说：我去过青岛，乙说的对．
已知甲、乙、丙三人中恰好有一人说的不对，则去过青岛的是(　　)
A．甲、乙　　　　　　　 B．乙、丙
C．甲、丙 D．甲、乙、丙
解析：C　[若甲说的不对，则乙、丙说的对，即乙一定去过三亚，丙一定去过青岛，甲只可能去过青岛；若乙、丙说的不对，则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有一人说的不对”矛盾，所以去过青岛的是甲、丙．]
3．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
解析：通解：因为2＝，所以E为BC中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
优解：

因为2＝，所以E为BC中点．
设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2,0)，D(0,2)，E(2,1)，所以＝(2,1)，＝(－2,2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，
故cos θ＝＝＝－.
答案：－
　　　数列
[方法结论·记熟用活]
1．等差数列
(1)基本公式：通项公式、前n项和公式．
(2)项的性质：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq，当p＝q时，am＋an＝2ap.
(3)基本方法：①基本量法；②定义法证明数列{an}为等差数列，其他证明方法均为定义法的延伸；③函数方法处理等差数列的前n项和问题．
2．等比数列
(1)基本公式：通项公式、前n项和公式(公比等于1和不等于1)．
(2)项的性质：m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，aman＝apaq，当p＝q时，aman＝a.
(3)基本方法：①基本量法；②定义法证明数列{an}为等比数列，其他证明方法均为定义法的延伸．
3．数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．
(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
(4)通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
[警示易错·跳出陷阱]
1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
3．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．
4．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，
如≠－，而是＝.
[习题回扣·保温必胜]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则数列{an}的通项公式为 an＝ .
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝ 1或－1 .
3．等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时n的值为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．7
C．8 D．9
解析：C　[由d＞0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.]
　　　不等式
[方法结论·记熟用活]
1．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．
2．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
3．基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．
4．线性规划
(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．
(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．
(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．
[警示易错·跳出陷阱]
1．求解形如ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，应分a＞0，a＜0进行讨论．在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式．
2．求解线性规划问题时应明确：“直线定界，特殊点定域”，定界时注意是否包含边界．
3．使用基本不等式≥时应注意“一正、二定、三相等”的条件，在多次使用基本不等式求最值时，应注意取“等号”的条件是否一致．
[习题回扣·保温必胜]
1．若x，y满足约束条件则z＝3x＋5y的最大值为17，最小值为 －11 .
2．若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围为 (－∞，－1)∪ .
3．函数f(x)＝x＋的值域是 (－∞，－2]∪[2，＋∞) ．
　　　立体几何
[方法结论·记熟用活]
1．三视图排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．
2．平行、垂直关系的转化示意图

(2)两个结论
①⇒a∥b，
②⇒b⊥α.
3．(理)用空间向量证明平行垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有：
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行
α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
4．(理)用向量求空间角
(1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．
(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
[警示易错·跳出陷阱]
1．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．
2．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．
3．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
4．(理)几种角的范围：
两条异面直线所成的角0°＜α≤90°；
直线与平面所成的角0°≤α≤90°；
二面角0°≤α≤180°；
两条相交直线所成的角(夹角)0°＜α≤90°；
直线的倾斜角0°≤α＜180°；
两个向量的夹角0°≤α≤180°；
锐角0°＜α＜90°.
5．(理)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
[习题回扣·保温必胜]
1．一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为(　　)

解析：D　[分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故其侧(左)视图应为D.]

2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
D．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
解析：D　[

在正方体ABCDA′B′C′D′中，令底面A′B′C′D′为平面α.
A．令m＝AB，n＝BC，满足m∥α，n∥α，但m∥n不成立，A项错误；
B．令m＝AA′，n＝A′B′，满足m⊥α，m⊥n，但n∥α不成立，B项错误；
C．令m＝AB，n＝AD，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α不成立，C项错误．D正确．]
3．三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
解析：由题意，知VD－ABE＝VA－BDE＝V1，VP－ABC＝VA－PBC＝V2.
因为D，E分别为PB，PC中点，所以＝.
设点A到平面PBC的距离为d，
则＝＝＝.
答案：
4．(理)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．

解析：以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2，

所以＝(－2,0,2)，＝，
设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.
又θ∈，所以θ＝.
答案：
　　　解析几何
[方法结论·记熟用活]
1．直线：直线的倾斜角和斜率、直线方程的四种特殊形式、直线方程的一般形式、两直线平行关系和垂直关系的判断、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式．
2．圆：圆的定义、标准方程和一般方程、一般的二元二次方程表示圆的充要条件、直线与圆的位置关系(三种，距离判断方法)、圆与圆的位置关系(距离判断方法)．
3．圆锥曲线定义、标准方程和性质
名称
椭圆
双曲线
拋物线
定义
|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)
|PF|＝|PM|定点F不在直线l上，PM⊥l于M
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
y2＝2px(p＞0)
图形



几何性质
轴
长轴长2a，短轴长2b
实轴长2a，虚轴长2b

离心率
e＝
＝ (0＜e＜1)
e＝＝ (e＞1)
e＝1
渐近线

y＝±x

4.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝或|P1P2|＝ .
5．拋物线y2＝2px(p＞0)，过焦点的弦AB有如下结论：
(1)xA·xB＝；
(2)yA·yB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直线AB的倾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p.
[警示易错·跳出陷阱]
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
4．圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件．
5．易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
6．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
[习题回扣·保温必胜]
1．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为(　　)
A．4＋ B．4＋
C．4± D．4±
解析：C　[依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.]
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：

B　[设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又离心率e＝＝，
故c＝2.所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.]
3．已知点F(－c,0)(c＞0)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2＋y2＝c2交于点F和另一个点P，且点P在拋物线y2＝4cx上，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：

C　[本题主要考查圆锥曲线间知识的综合应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．
如图，由x2＋y2＝c2与y2＝4cx及题意可取P((－2)c,2c)，又P在过F且与渐近线平行的直线y＝(x＋c)上，所以2＝[(－2)c＋c]，又a2＋b2＝c2且e＝，所以e＝.故选C.]
4．已知离心率为e＝的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，且O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为4，则a的值为________．
解析：因为e＝ ＝，
所以＝，＝＝，
设|AF|＝m，则|OA|＝2m，
所以S△AOF＝·m·2m＝4，
解得m＝2.
由勾股定理，得c＝＝2.
又＝，所以a＝4.
答案：4
　　　概率与统计
[方法结论·记熟用活]
1．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝.
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率计算公式
P()＝1－P(A)．
(4)几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
2．抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．
3．统计中的四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即
＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差
方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
标准差：s
＝ .
4．频率分布直方图的三个结论
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．
(2)各小长方形的面积之和等于1.
(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.
5．线性回归方程
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
6．独立性检验
利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体的做法是根据观测数据计算，由公式K2＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性就越大．
7．(理)排列数、组合数的公式及性质
公式
①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
②C＝＝＝
性质
①0！＝1；A＝n！
②C＝C；C＝C＋C
8.(理)二项式定理
(1)二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式
的通项公式
Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})
(2)二项式系数的性质
①0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.
②二项式系数先增后减中间项最大．当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn和Cn.
③各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
9．(理)八组公式
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)数学期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)数学期望的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差＝.
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)独立重复试验的概率计算公式
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.
(8)条件概率公式
P(B|A)＝.
10．(理)正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
[警示易错·跳出陷阱]
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
3．(理)要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
4．(理)二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．
5．(理)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误．
(理)[习题回扣·保温必胜]
1．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为(　　)
A．9 B．3
C．17 D．－11
解析：A　[设这个数为x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝－11；若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝＋2，x＝3；若x≥4，则中位数为4.2×4＝＋2，x＝17.
所有可能值为－11,3,17，故其和为－11＋3＋17＝9.]
2．某数学兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3；有女生2名，记为b1，b2，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛，则
(1)参赛学生中恰好有1名男生的概率为 .
(2)参赛学生中至少有1名男生的概率为 .
3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为 .
4．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内至少有一个地方降雨的概率是________．
解析：事件A：甲地降雨，事件B：乙地降雨，则至少有一个地方降雨的概率为P(AB)＋P(A)＋P(B)
＝0.2×0.3＋0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3
＝0.44.
答案：0.44
5．现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票200张，50元的彩票50张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张，1张彩票可能中奖金额的均值是________元．
解析：设X表示1张彩票的中奖金额，则它的分布列为
X
0
2
10
50
100
1 000
P
0.869 5
0.1
0.02
0.005
0.005
0.000 5
EX＝0×0.8695＋2×0.1＋10×0.02＋50×0.005＋100×0.005＋100×0.005＝1.65
答案：1.65
(文)[习题回扣·保温必胜]
1．一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为(　　)
A．9 B．3
C．17 D．－11
解析：A　[设这个数为x，则平均数为，众数为2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝－11；若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝＋2，x＝3；若x≥4，则中位数为4.2×4＝＋2，x＝17.
所有可能值为－11,3,17，故其和为－11＋3＋17＝9.]
2．某数学兴趣小组有男生3名，记为a1，a2，a3；有女生2名，记为b1，b2，现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛，则
(1)参赛学生中恰好有1名男生的概率为.
(2)参赛学生中至少有1名男生的概率为.
3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为.
4．有人收集了10年中某城市的居民收入x亿元与某种商品的销售额y万元的有关数据，由调查数据得到y对x的回归直线方程是＝1.447x－15.843.若这座城市居民的年收入达到40亿元，则这种商品的销售额估计是________万元．
解析：当x＝40时，＝1.447×40－15.843＝42.037.
答案：42.037
5．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
总计
30
75
105
通过计算K2说明可有________的把握认为药物有效(P(K2≥5.024)≈0.025)．
解析：K2的观测值k＝≈6.109 1＞5.024，所以有97.5%的把握认为药物有效．
答案：97.5%
　　　选修4系列
[方法结论·记熟用活]
1．坐标系与参数方程(选修4－4)
(1)

直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，
则

(2)圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；
③当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.
(3)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
③直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
(4)几种常见曲线的参数方程
①直线
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．
②圆
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．
当圆心为(0,0)时，方程为其中α是参数．
③椭圆
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程是其中φ是参数．
2．不等式选讲(选修4－5)
(1)绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c(c＞0)⇔－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c(c＞0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．
②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．
③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．
(4)证明不等式的基本方法
①比较法；②综合法；③分析法；④反证法；⑤放缩法．
(5)二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
[警示易错·跳出陷阱]
1．将曲线的参数方程化为普通方程主要消去参数，简称为“消参”．把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．
2．“零点分段法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
[习题回扣·保温必胜]
1．(选修4－4)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
①说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
②曲线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解析：①消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
②曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．
所以a＝1.
2．(选修4－5)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
①若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
②如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
解析：①当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
(ⅰ)当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3，
不等式组的解集为.
(ⅱ)当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立，不等式组的解集为∅.
(ⅲ)当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，不等式组的解集为.
综上得f(x)≥3的解集为∪.
②若a＝1，则f(x)＝2|x－1|不满足题设条件．
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a.
由题意有1－a≥2，即a≤－1.
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3.
综上可知，a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．