2020年高考数学理科一轮复习讲义：第2章函数、导数及其应用第7讲

第7讲　函数的图象

[考纲解读]　1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练地运用基本初等函数的图象解决问题．

2.掌握作函数图象的常用方法：①描点法；②平移法；③对称法．(重点)

3.能运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数或与不等式相关的问题．(难点)

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考将会考查：①已知函数解析式识别函数的图象；②利用函数图象求函数零点的个数、解不等式或求参数的取值范围．题型以客观题为主，在解答题中也会用到数形结合的思想进行求解.

1．利用描点法作函数图象的流程

2．变换法作图

(1)平移变换

提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)；

②y＝f(x)y＝f(－x)；

③y＝f(x)y＝－f(－x)；

④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|；

②y＝f(x)y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

1．概念辨析

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(x)与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(2)函数y＝f(x)与y＝|f(x)|的图象在x轴上方的部分是相同的．(　　)

(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

答案　A

解析　因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A.

(2)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到(　　)

A．函数y＝f(－x－1)的图象

B．函数y＝f(－x＋1)的图象

C．函数y＝f(－x)－1的图象

D．函数y＝f(－x)＋1的图象

答案　B

解析　函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(－(x－1))，即y＝f(－x＋1)的图象．

(3)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．

答案　(2,8]

解析　结合图象知不等式f(x)>0的解集为(2,8]，所以函数g(x)＝log　f(x)的定义域是(2,8]．

(4)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．

答案　(－1,1]

解析　作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：

其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，由图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．

题型 　函数图象的画法

作出下列函数的图象：

(1)y＝；(2)y＝|x＋1|；

(3)y＝|log2x－1|；(4)y＝x2－2|x|－1.

解　(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．

y＝＝－1＋，因此由函数y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图1所示．

(2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝|x＋1|的图象，如图2所示．

(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图3所示．

(4)y＝的图象如图4所示．

条件探究　将举例说明(4)改为y＝|x2－2x－1|，其图象怎样画？

解　y＝画图如图所示．

函数图象的画法

(1)直接法：当函数的表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．如举例说明(4)．

(3)图象变换法：若函数的图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．如举例说明(1)、(2)、(3)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

作出下列函数的图象：

(1)y＝＋1；

(2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]；

(3)y＝10|lg x|.

解　(1)函数图象如图1所示．

(2)函数图象如图2所示．

(3)y＝10|lg x|＝其图象如图3所示．

题型 　函数图象的辨识

1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

答案　B

解析　∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故不选A；∵f(1)＝e－e－1>0，∴不选D；

∵f′(x)＝

＝，

∴当x>2时，f′(x)>0，∴不选C.因此选B.

2．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

答案　B

解析　解法一：由y＝f(x)的图象知，

f(x)＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，

所以f(2－x)＝

故y＝－f(2－x)＝

图象应为B.

解法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；

当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.

观察各选项，可知应选B.

函数图象辨识的策略

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·安徽安庆二模)函数f(x)＝·loga|x|(0<a<1)的图象的大致形状是(　　)

答案　C

解析　f(x)＝loga|x|

＝故选C.

2．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y＝f(x)的部分图象(在虚线范围内)，则f(x)可能是(　　)

A．xsinx   B．xcosx

C．x2cosx   D．x2sinx

答案　A

解析　由图象可知y＝f(x)为偶函数．因为f(x)＝xcosx，f(x)＝x2sinx都是奇函数，所以排除B，D.由图象可知，在第一象限内，y＝f(x)的图象在直线y＝x的右下方，点(2π，4π2)在f(x)＝x2cosx的图象上，且此点在直线y＝x的左上方，故排除C.所以f(x)可能是xsinx.

题型 　函数图象的应用

角度1　研究函数的性质

1．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则下列说法：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.

其中所有正确说法的序号是________．

答案　①②④

解析　由已知条件，得f(x＋2)＝f(x)，

故y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝1＋x，

函数y＝f(x)的图象如图所示，

当3<x<4时，－1<x－4<0，

f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．

角度2　解不等式

2．(1)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)   B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)   D．(－1,0)∪(0,1)

(2)不等式3sinx－logx<0的整数解的个数为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　(1)D　(2)A

解析　(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式

<0可化为<0，即xf(x)<0.

由已知得f(x)的大致图象如图所示，

所以xf(x)<0的解集即原不等式的解集为(－1，0)∪(0,1)．

(2)不等式3sinx－logx<0可化为3sinx<logx，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象如下图所示：

结合图象可知，3sinx<logx的整数解为3和7，共2个．

角度3　求参数的取值范围

3．(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________；

(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．

答案　(1)[－1，＋∞)　(2)(0,1)

解析　(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此实数a的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)画出函数f(x)的图象如图所示，

观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0<a<1.

1．利用图象研究函数性质问题的思路

对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助图象研究：

2．利用函数的图象研究不等式

当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．如举例说明2.

3．研究方程根的个数及参数的值(或范围)

构造函数，转化为两函数图象交点的个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，利用数形结合求解．如举例说明3(2)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

答案　C

解析　函数f(x)＝x|x|－2x的定义域是R，且f(－x)＝－x|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数，

f(x)＝x|x|－2x

＝

如图所示．

函数f(x)的单调递减区间是(－1,1)．

2．若a＝2x，b＝，c＝logx，则“a>b>c”是“x>1”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由图可知，“x>1”⇒“a>b>c”，但“a>b>c” “x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.

3．(2018·安徽皖南八校三模)已知函数f(x)＝其中a>0且a≠1，若函数f(x)的图象上有且只有一对点关于y轴对称，则a的取值范围是________．

答案　(0,1)∪(1,4)

解析　将f(x)在y轴左侧的图象关于y轴对称到右边，与f(x)在y轴右侧的图象有且只有一个交点．当0<a<1时一定满足，当a>1时必须loga4>1，解得a<4.综上知，a的取值范围是(0,1)∪(1,4)．

高频考点　高考中的函数图象及应用问题

考点分析　高考中函数图象问题的考查主要有函数图象的识别、变换及应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，所以熟练掌握高中所学的几种基本初等函数的图象是解决问题的前提．

1．函数图象和解析式的对应问题

[典例1]　(2018·浙江高考)函数f(x)＝2|x|sin2x的图象可能是(　　)

答案　D

解析　因为f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以该函数为奇函数，排除A，B；当x∈时，sin2x>0,2|x|sin2x>0，所以图象在x轴的上方，当x∈时，sin2x<0,2|x|sin2x<0，所以图象在x轴的下方．

2．函数图象的应用

[典例2]　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，1]

C．(0,1)   D．(－∞，＋∞)

答案　A

解析　x≤0时，f(x)＝2－x－1，

0<x≤1时，－1<x－1≤0，

f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.

故x>0时，f(x)是周期函数．

若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，如图所示．

故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．