2020年高考数学理科一轮复习讲义：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第4讲

第4讲　随机事件的概率

1．事件的分类

2．频率和概率

(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

3．事件的关系与运算

4．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

1．概念辨析

(1)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(　　)

(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)

(3)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．(　　)

(4)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成集合的补集．(　　)

(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√

2．小题热身

(1)下列事件中不可能事件的个数为(　　)

①如果a>b，c>d，则a－d>b－c；②对某中学的毕业生进行一次体检，每个学生的身高都超过2 m；③某电视剧收视率为40%；④从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取2个，2个都是次品；⑤在不受外力作用的条件下，做匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态．

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　B

解析　①是必然事件；②⑤是不可能事件；③④是随机事件．故选B.

(2)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

答案　C

解析　3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：①全是男生；②恰有1名女生；③全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．

(3)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

答案　0

解析　由概率的概念知，从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．

(4)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．

答案　0.35

解析　“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.

题型 　随机事件的关系

1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　)

A．互斥但非对立事件   B．对立事件

C．相互独立事件   D．以上都不对

答案　A

解析　“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．

2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡   B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡   D．至少有一张移动卡

答案　A

解析　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为.

判断互斥、对立事件的两种方法

(1)定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号)．

答案　①④

解析　对于事件①，恰有1名男生是1男1女与恰有2名男生互斥；对于事件②，至少1名男生与至少1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少1名男生与全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件．

题型 　随机事件的频率与概率

1．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：

(1)求次品出现的频率(次品率)；

(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；

(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？

解　(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.

(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.

(3)设购进衬衣x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件．

2．(2018·全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；

(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

解　(1)

(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.

(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．

1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路

(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．

(2)由频率与概率的关系得所求．

2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点

求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求.

　(2019·福建基地综合测试)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．

(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y(单位：元)关于日需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；

(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：

①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；

②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400,550]内的概率．

解　(1)当日需求量n≥10时，

日利润为y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，

当日需求量n<10时，

利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.

所以日利润y与日需求量n的函数解析式为

y＝

(2)50天内有9天获得的日利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．

所以

①这50天的日利润(单位：元)的平均数为

＝477.2.

②日利润(单位：元)在区间[400,550]内的概率为

P＝＝.

题型 　互斥事件与对立事件的概率

角度1　互斥事件概率公式的应用

1．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3  B．0.4  C．0.6  D．0.7

答案　B

解析　设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.

角度2　对立事件概率公式的应用

2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：

(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；

(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．

解　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．

(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，

∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.

(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得

P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.

由获奖人数最少3人的概率为0.44，

得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，

即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.

求复杂的互斥事件概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

1．某城市2018年的空气质量状况如表所示：

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．

答案　

解析　由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝.

2．(2018·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．

解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.

P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.