2020年高考数学理科一轮复习讲义：第11章算法复数推理与证明第5讲

第5讲　数学归纳法

数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．

1．概念辨析

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)

(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)

(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)

A．x>sinx，x∈(0，π)

B．ex≥x＋1(x∈R)

C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)

D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)

答案　C

解析　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．

(2)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)

A．1   B．1＋a

C．1＋a＋a2   D．1＋a＋a2＋a3

答案　C

解析　验证n＝1时，等式左边的项是1＋a＋a2.

(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案　2k＋1

解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.

题型 　用数学归纳法证明恒等式

设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.

证明　①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；

②假设当n＝k时，命题成立，即

(cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ，

则当n＝k＋1时，

(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)

＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)

＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)

＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，

所以当n＝k＋1时，命题成立．

综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.

数学归纳法证明等式的思路和注意点

(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．

(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．

提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.

用数学归纳法证明：

＋＋…＋＝(n∈N*)．

证明　①当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，等式成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．

即＋＋…＋＝，

当n＝k＋1时，

左边＝＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝＝，

右边＝

＝，

左边＝右边，等式成立．

由①②知，对n∈N*，原等式成立．

题型 　用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．

证明　①当n＝2时，

左边＝1＋＝，右边＝.

∵左边>右边，∴不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．

即·…·>.

则当n＝k＋1时，

·…··

>·＝

＝>

＝＝.

∴当n＝k＋1时，不等式也成立．

由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式成立．

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．

(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.

求证：当n≥1(n∈N*)时，

(1＋2＋…＋n)≥n2.

证明　(1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．

当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，

命题成立．

(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即

(1＋2＋…＋k)≥k2.

则当n＝k＋1时，有

左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]·

＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1).

∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，

∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.

这就是说当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立．

题型 　归纳—猜想—证明

如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．

(1)写出a1，a2，a3；

(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式．

解　(1)设P1(x1，y1)，A1(a1,0)，

则x1＝，即a1＝2x1，

由y2＝3x得y1＝，

由|A0P1|＝|OA1|得，＝a1，

即＋a1＝a，

即a1>0，所以a1＝2，

同理可得a2＝6，a3＝12.

(2)依题意，得xn＝，yn＝·，

由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)，

即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．

由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．

下面用数学归纳法予以证明：

①当n＝1时，命题显然成立；

②假设当n＝k时命题成立，即有an＝k(k＋1)，

则当n＝k＋1时，

由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得

[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，

即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，

解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1)<ak(不符合题意，舍去)．

即当n＝k＋1时，命题成立．

由①②知，命题成立.

归纳—猜想—证明的应用策略

一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝＋－1且an>0，n∈N*.

(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；

(2)证明通项公式的正确性．

解　(1)当n＝1时，

由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.

所以a1＝－1(a1>0)．

当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.

所以a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.

猜想an＝－(n∈N*)．

(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即ak＝－.

由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式并整理，得

a＋2ak＋1－2＝0，

解得ak＋1＝－(负值舍去)．

即当n＝k＋1时，通项公式也成立．

由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．