2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

3．充分条件、必要条件的判定❷

否命题对题设和结论都进行否定．

在判断充分、必要条件的时候，一定要从p能否推出q，q能否推出p两方面去判断：对于q⇒p，要能够证明，而对于p q，只需举一反例即可．

小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)．

[熟记常用结论]

1．充分条件与必要条件的两个特征

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得：

(1)p⇒q等价于綈q⇒綈p；

(2)qp等价于綈p綈q.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)“x2＋2x－8＜0”是命题．(　　)

(2)一个命题非真即假．(　　)

(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

二、选填题

1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是(　　)

A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”

C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”

解析：选C　命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A、B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．

2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A　因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选A.

3．原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．4

解析：选C　当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．

4．(2019·青岛模拟)命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为______________________．

答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数

5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，

即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立；

但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．

故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

[题组练透]

1．命题“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　)

A．若x≠y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2＝0

B．若x＝y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0

解析：选D　x2＋y2＝0的否定为x2＋y2≠0；

x＝y＝0的否定为x≠0或y≠0.

故“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0”．

2．有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为(　　)

A．①②　　　　　　　　 B．②③

C．④  D．①②③

解析：选D　①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；

②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；

③若m≤1，则Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；

④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.

3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)

A．3  B．2

C．1  D．0

解析：选C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．

[名师微点]

1．由原命题写出其他3种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

[提醒]　(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．

2．判断命题真假的2种方法

(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．

[典例精析]

(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

(3)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”⇒“x3＜1”；

由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，

即“x3＜1”⇒ / “＜”．

所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．

(2)a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数；

反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.

[答案]　(1)A　(2)B　(3)C

[解题技法]

充分、必要条件的判断3种方法

[过关训练]

1．(2018·衡阳模拟)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　若y＝f(x)为奇函数，则y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，反过来不成立，因为当y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于y轴对称．故选B.

2．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，

即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.

又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，

所以a·b＝0，能推出a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，

能推出|a－3b|＝|3a＋b|，

所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

3．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选D　a>b不能推出a2>b2，例如a＝－1，b＝－2；a2>b2也不能推出a>b，例如a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．

[典例精析]

(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥9  B．a≤9

C．a≥10  D．a≤10

(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[解析]　(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．

(2)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，

∴解得0≤m≤3，

故0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

[答案]　(1)C　(2)[0,3]

1．(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“綈P是綈S的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，∴P⇒S且SP.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴或∴m≥9，

则m的取值范围是[9，＋∞)．

2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴∴

这样的m不存在．

[解题技法]

根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

[过关训练]

1．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．a＋b>0  B．a－b>0

C．ab>1   D.>1

解析：选A　因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，>1，故选A.

2．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．(－∞，1]

C．[－1，＋∞)  D．(－∞，－3]

解析：选A　由x2＋2x－3>0，得x＜－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.故选A.

一、题点全面练

1．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)

A．若a≤b，则a＋c≤b＋c　 B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

C．若a＋c>b＋c，则a>b  D．若a>b，则a＋c≤b＋c

解析：选A　“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，所以原命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.

2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则tan α≠1  B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠  D．若tan α≠1，则α＝

解析：选C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．

3．有下列几个命题：

①“若a>b，则>”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是(　　)

A．①　　　　　　　　　 B．①②

C．②③  D．①②③

解析：选C　①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.

4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

5．(2019·西城区模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．

6．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：选C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

7．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m>  B．0＜m＜1

C．m>0  D．m>1

解析：选C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m>，因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0.

8．(2019·安阳模拟)设p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝ex＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝ex＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.

2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的充分不必要条件．

3．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．

解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．

答案：周期函数不是单调函数

(二)素养专练——学会更学通

4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的(　　)

A．逆命题  B．否命题

C．逆否命题  D．都不对

解析：选C　根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，

显然，B与C是互为逆否命题．故选C.

5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是(　　)

A．a＝b＝1  B．a，b至少有一个为1

C．a＝b＝2  D．a>1且b>1

解析：选B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.

∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，

∴a＝1或b＝1.故选B.

6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是(　　)

A．k≤－2或k≥2  B．k≤－2

C．k≥2  D．k≤－2或k>2

解析：选B　若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝≤1，即≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥2或k≤－2，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－2，故选B.

7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是(　　)

A．a＜0  B．a＜－1

C．－1＜a＜0  D．a>－1

解析：选B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，

∴解得a＜－1.故选B.

8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．

解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在上是增函数，在上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．

答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)