课时作业(五十二) 直线与圆锥曲线 练习

课时作业(五十二)　直线与圆锥曲线

1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值．

解析：(1)由题意得

解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝

＝

＝.

又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，

由＝，解得k＝±1.

2．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．

解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，

由于A、B两点均在椭圆上，

故＋＝1，＋＝1，

两式相减得

＋＝0.

又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝＝－.

∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．

即3x＋4y－13＝0.

3．(2017·郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点．

(1)求曲线C的方程；

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(x1，y1)，q＝(x2，y2)，且p·q＝0，若直线MN过点，求直线MN的斜率．

解析：(1)由题可得：，解得m＝4，n＝1.

∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.

(2)设直线MN的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程y2＋4x2＝1得：

(k2＋4)x2＋kx－＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，

∴＋＋＋＝0，

即k2－2＝0，k＝±.

4．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|＝.

(1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．

解析：(1)设焦距为2c，

因为e＝＝，a2＝b2＋c2，

所以＝，

因为＝，

所以b＝1，a＝，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，

则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)·(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2＞1.