湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用导学案及答案

这是一份湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用导学案及答案，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

[ 第1课时 仰角、俯角相关问题


一、选择题


1．如图K－35－1，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是( )





图K－35－1


A．500sin55°米 B．500cs35°米


C．500cs55°米 D．500tan55°米


2.如图K－35－2，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，eq \r(2)≈1.414)( )





图K－35－2


A．34.14米 B．34.1米


C．35.7米 D．35.74米


3．如图K－35－3，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 eq \r(2) m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3 eq \r(3) m，则鱼竿转过的角度是( )





图K－35－3


A．60° B．45° C．15° D．90°


4.图K－35－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )





图K－35－4


A．20 eq \r(3) m B．30 m C．30 eq \r(3) m D．40 m


二、填空题


5．2017·抚顺如图K－35－5，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号)





图K－35－5


6．2017·黄石如图K－35－6所示，为了测量出一垂直于水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角为30°，则建筑物AB的高度约为________米．


(注：测量人员的身高忽略不计，结果按四舍五入保留整数，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)





图K－35－6


三、解答题


7．2017·衡阳衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图K－35－7，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)





图K－35－7























8．2017·镇江如图K－35－8，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一水平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD的长．(精确到1 m参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)





图K－35－8





























9．2017·莱芜某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.


(1)求甲楼的高度及彩旗的长度(精确到0.01 m)；


(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离(精确到0.01 m)．


(参考数据：cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，cs19°≈0.95，tan19°≈0.34，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84)





图K－35－9
































10．2017·凉山州如图K－35－10，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米？(结果保留根号)





图K－35－10




















11一题多解在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图K－35－11，△ABC是表盘，其中AB＝AC，∠BAC＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(20 eq \r(3)－20)cm.


(1)求AB的长；


(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2030秒，交点又在什么位置？请说明理由．





图K－35－11








1．[解析] C ∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°.∵∠D＝55°，∴∠E＝90°.在Rt△BED中，BD＝500米，∠D＝55°，∴ED＝500cs55°米．故选C.





2．[解析] C 过点B作BF⊥CD于点F，过点B′作B′E⊥BD于点E，由题意，得∠DB′F＝67.5°，∠DBF＝45°，∴∠BDC＝45°，∠BDB′＝∠B′DC＝22.5°，∴BE′＝B′F.∵∠EBB′＝45°，∠BEB′＝90°，∴BE′＝B′F＝eq \f(\r(2),2)BB′＝10 eq \r(2)，∴DF＝BB′＋B′F＝20＋10 eq \r(2)，∴DC＝DF＋FC＝20＋10 eq \r(2)＋1.6≈35.7(米)．故选C.


3．[解析] C 在Rt△ACB中，∵sin∠CAB＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3 \r(2),6)＝eq \f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.在Rt△AC′B′中，∵sin∠C′AB′＝eq \f(B′C′,AC)＝eq \f(3 \r(3),6)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C.


4．[答案] B


5．[答案] 100 eq \r(2)


[解析] 连接AN.由题意知，BM⊥AA′，BA＝BA′，∴AN＝A′N，∴∠ANB＝∠A′NB＝45°.∵∠AMB＝22.5°，∴∠MAN＝∠ANB－∠AMB＝22.5°＝∠AMN，∴AN＝MN＝200米．在Rt△ABN中，∠ANB＝45°，∴AB＝eq \f(\r(2),2)AN＝100 eq \r(2)(米)．故答案为100 eq \r(2).


6．[答案] 137


[解析] 设AB＝x米，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x米，则BD＝BC＋CD＝(x＋100)米．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，∴tan∠ADB＝eq \f(AB,BD)＝eq \f(\r(3),3)，即eq \f(x,x＋100)＝eq \f(\r(3),3)，解得x＝50＋50 eq \r(3)≈137，即建筑物AB的高度约为137米．故答案为137.


7．解：如图，由题意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，DF＝AE＝1.5米．∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝10.4米．在Rt△CBD中，CD＝BC·sin60°＝10.4×eq \f(\r(3),2)≈9.0(米)，∴来雁塔的高度＝CD＋DF≈9.0＋1.5＝10.5(米)．


答：来雁塔的高变约为10.5米．


8．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵AB＝15 m，∴DE＝AB＝15 m．∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝15 m．在Rt△ACE中，tan∠CAE＝eq \f(CE,AE)，则CE＝AE·tan37°≈15×0.75≈11(m)，∴CD＝CE＋DE≈11＋15＝26(m)．


答：实验楼的垂直高度即CD的长约为26 m.


9．解：(1)在Rt△ABE中，BE＝AB·tan31°＝31×tan31°≈18.60(m)，AE＝eq \f(AB,cs31°)＝eq \f(31,cs31°)≈36.05(m)，则甲楼的高度为18.60 m，彩旗的长度为36.05 m.


(2)过点F作FM⊥GD，交GD于点M.在Rt△GMF中，GM＝FM·tan19°.在Rt△GDC中，DG＝CD·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m，则FM＝CD＝x m，根据题意，得xtan40°－xtan19°＝18.60，解得x≈37.20，则DG＝37.20×tan40°≈31.25(m)．答：乙楼的高度为31.25 m，甲、乙两楼之间的距离为37.20 m.


10．解：如图，延长OC，AB交于点P.∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°.∵∠OCB＝∠A＝90°，∴∠BCP＝90°，∴∠P＝30°.∵AD＝20米，∴OA＝eq \f(1,2)AD＝10米，∵BC＝2米，∴在Rt△CPB中，PC＝BC·tan60°＝2eq \r(3)米，PB＝2BC＝4米．在Rt△AOP中，∵∠P＝30°，∠A＝90°，∴PA＝eq \f(OA,tan30°)＝10 eq \r(3)米，∴AB＝PA－PB＝(10 eq \r(3)－4)米．


答：路灯的灯柱AB的高应该设计为(10 eq \r(3)－4)米．





11解：(1)如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D.


∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°.令AB＝2t cm.在Rt△ABD中，AD＝eq \f(1,2)AB＝t，BD＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \r(3)t.


在Rt△AMD中，∵∠AMD＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD＝AD＝t.


∵BM＝BD－MD，即eq \r(3)t－t＝20 eq \r(3)－20.解得t＝20，∴AB＝2×20＝40(cm)．


答：AB的长为40 cm.


(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，此时∠BAN＝15°×6＝90°.


在Rt△ABN中，BN＝eq \f(AB,cs30°)＝eq \f(40,\f(\r(3),2))＝eq \f(80 \r(3),3)(cm)，∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点Beq \f(80 \r(3),3) cm.如图③，设光线AP旋转2030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知，光线从边AB开始旋转到第一次回到AB处需8×2＝16(秒)，而2030＝126×16＋14，即AP旋转2030秒与旋转14秒时和BC边的交点是同一个点Q.旋转14 s的过程是B→C：8 s，C→Q：6 s，∴CQ＝BN＝eq \f(80 \r(3),3) cm.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2·AB·cs30°＝2×40×eq \f(\r(3),2)＝40 eq \r(3)(cm)，∴BQ＝BC－CQ＝40 eq \r(3)－eq \f(80 \r(3),3)＝eq \f(40 \r(3),3)(cm)，∴光线AP旋转2014秒，与BC的交点Q在距点Beq \f(40 \r(3),3) cm处．