高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(九) 等式性质与不等式性质


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )


A．若a＞b，c＞b，则a＞c


B．若a＞－b，则c－a＜c＋b


C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)


D．若a2＞b2，则－a＜－b


B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]


2．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是( )


A.eq \f(1,a)eq \f(1,b)


C．a2>2b D．a>b2


D [A错，例如a＝2，b＝－eq \f(1,2)时，eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝－2，此时，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq \f(1,2)时，eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝2，此时，eq \f(1,a)1，b2<1得a>b2，故D正确．]


3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②eq \f(1,a)eq \f(1,a).其中不成立的个数是( )


A．0 B．1


C．2 D．3


D [虽然已知a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒eq \f(1,2)>－eq \f(1,3)，②错；若有a＝1，b＝－2，则eq \f(1,a－b)＝eq \f(1,3)，eq \f(1,a)＝1，故③错．]


4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )


A．b<0，c<0 B．b>0，c>0


C．b>0，c<0 D．0

D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0

5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )


A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．a2＞b2


C.eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|


C [对A，若a＞0＞b，则eq \f(1,a)＞0，eq \f(1,b)＜0，


此时eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，∴A不成立；


对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，


∴B不成立；


对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；


对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，


∴D不成立．]


二、填空题


6．给出以下四个命题：


①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a).其中真命题的序号是________．


②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；


③a＜b＜0，得eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)成立；


④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq \f(1,a－b)＜eq \f(1,a)，④不成立．]


7．设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.


y＜－y＜x [∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]


8．若8

2

∵8

三、解答题


9．(1)已知a

(2)已知a>b，eq \f(1,a)0.


[证明] (1)由于eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)


＝eq \f(b＋ab－a,ab)，


∵a

∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，


∴eq \f(b＋ab－a,ab)<0，故eq \f(b,a)

(2)∵eq \f(1,a)

∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)<0，


即eq \f(b－a,ab)<0，


而a>b，


∴b－a<0，


∴ab>0.


10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．


(1)a；(2)a－b；(3)eq \f(a,b).


[解] (1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，


∴－1＜－b＜0，


∴2＜a＋b＋(－b)＜4，


即2＜a＜4.


(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.


又∵2＜a＜4，


∴1＜a－b＜4.


(3)∵0＜b＜1，∴eq \f(1,b)＞1，


又∵2＜a＜4，∴eq \f(a,b)＞2.





11．(多选题)设a，b为正实数，则下列结论正确的是( )


A．若a2－b2＝1，则a－b<1


B．若eq \f(1,b)－eq \f(1,a)＝1，则a－b<1


C．若|eq \r(a)－eq \r(b)|＝1，则|a－b|<1


D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1


AD [对于A，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq \f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq \f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．


对于B，取特殊值，a＝3，b＝eq \f(3,4)，则a－b>1.


对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.


对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，


∴a≠b，不妨设a>b>0.


∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，


∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.


即a3－b3>(a－b)3>0，


∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，


∴0

即|a－b|<1.因此D正确．]


12．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则2α－β的取值范围是( )


A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π


C．－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2) D．0＜2α－β＜π


C [∵－eq \f(π,2)＜α＜eq \f(π,2)，∴－π＜2α＜π.


∵－eq \f(π,2)＜β＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,2)＜－β＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq \f(π,2)，∴2α－β＜eq \f(π,2).故－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2).]


13．已知三个不等式：①ab＞0；②eq \f(c,a)＞eq \f(d,b)；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．


3 [①②⇒③，③①⇒②.(证明略)


由②得eq \f(bc－ad,ab)＞0，又由③得bc－ad＞0.所以ab＞0⇒①.所以可以组成3个正确命题．]


14．(一题两空)已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则x的取值范围为________，z＝2x－3y的取值范围为________．


eq \f(1,2)≤x≤eq \f(7,2) 3≤z≤8 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋y≤4,2≤x－y≤3))，得1≤2x≤7，即eq \f(1,2)≤x≤eq \f(7,2).


∵z＝－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)，


－2≤－eq \f(1,2)(x＋y)≤eq \f(1,2)，5≤eq \f(5,2)(x－y)≤eq \f(15,2)，


∴3≤－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)≤8，


∴3≤z≤8.]





15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：


(1)该函数图象过原点；


(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；


(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；


求当x＝－2时，y的取值范围．


[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，


∴c＝0，


∴y＝ax2＋bx.


又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①


当x＝1时，3≤a＋b≤4，②


∴当x＝－2时，y＝4a－2b.


设存在实数m，n，使得


4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，


而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解之得m＝1，n＝3，


∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．


由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，


∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.


即6≤4a－2b≤10，


故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.