人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课后复习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课后复习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十六) 弧度制


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．1 920°转化为弧度数为( )


A.eq \f(16,3) B．eq \f(32,3)


C.eq \f(16π,3) D．eq \f(32π,3)


D [1 920°＝5×360°＋120°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×2π＋\f(2π,3))) rad＝eq \f(32π,3) rad.]


2．在0到2π范围内，与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)


C.eq \f(2π,3) D．eq \f(4π,3)


C [与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是eq \f(2π,3)，故选C.]


3．下列表示中不正确的是( )


A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}


B．终边在y轴上角的集合是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))


C．终边在坐标轴上角的集合是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝k·\f(π,2)，k∈Z))))


D．终边在直线y＝x上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)))＋2kπ，k∈Z))


D [对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；


对于B，终边在y轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))，故B正确；


对于C，终边在x轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ，k∈Z))))，终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，


故合在一起即为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ，k∈Z))))∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)))＋kπ，k∈Z))，故D不正确．]


4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( )


A．第四象限 B．第三象限


C．第二象限 D．第一象限


D [因为－2π＜－5＜－eq \f(3π,2)，所以α是第一象限角．]


5．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )


A．1 B．2


C．4 D．1或4


C [因为扇形的弧长为4，面积为2，


所以扇形的面积为eq \f(1,2)×4×r＝2，解得r＝1，


则扇形的圆心角的弧度数为eq \f(4,1)＝4.故选C.]


二、填空题


6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．


A＝eq \f(π,5)，B＝eq \f(π,3)，C＝eq \f(7π,15) [因为A＋B＋C＝π，


又A∶B∶C＝3∶5∶7，


所以A＝eq \f(3π,3＋5＋7)＝eq \f(π,5)，B＝eq \f(5π,3＋5＋7)＝eq \f(π,3)，C＝eq \f(7π,15).]


7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ＜θ＜\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) [y轴对应的角可用－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)表示，所以y轴右侧角的集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ＜θ＜\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).]


8．已知扇形OAB的圆心角为eq \f(5,7)π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．


eq \f(35π,2) [设扇形的半径为r，圆心角为eq \f(5,7)π，


∴弧长l＝eq \f(5,7)πr，


∵扇形的周长为5π＋14，∴eq \f(5,7)πr＋2r＝5π＋14，


解得r＝7，由扇形的面积公式得＝eq \f(1,2)×eq \f(5,7)π×r2＝eq \f(1,2)×eq \f(5,7)π×49＝eq \f(35π,2).]


三、解答题


9．已知角α＝2 010°.


(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；


(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．


[解] (1)2 010°＝2 010×eq \f(π,180)＝eq \f(67π,6)＝5×2π＋eq \f(7π,6)，


又π＜eq \f(7π,6)＜eq \f(3π,2)，


∴α与eq \f(7π,6)终边相同，是第三象限的角．


(2)与α终边相同的角可以写成γ＝eq \f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，


又－5π≤γ＜0，


∴当k＝－3时，γ＝－eq \f(29,6)π；


当k＝－2时，γ＝－eq \f(17,6)π；


当k＝－1时，γ＝－eq \f(5,6)π.


10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.


(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；


(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.


[解] (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，


知△AOB是等边三角形，


∴α＝∠AOB＝60°＝eq \f(π,3) rad.


(2)由(1)可知α＝eq \f(π,3) rad，r＝10，


∴弧长l＝α·r＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)，


∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)，


而S△AOB＝eq \f(1,2)·AB·5eq \r(3)＝eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝25eq \r(3)，


∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3))).





11．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )


A．2 B．sin 2


C．2sin 1 D．eq \f(2,sin 1)


D [设圆的半径为R，则sin 1＝eq \f(1,R)，∴R＝eq \f(1,sin 1)，故所求弧长为l＝α·R＝2·eq \f(1,sin 1)＝eq \f(2,sin 1).]


12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(eq \r(3)≈1.73)( )





A．6平方米 B．9平方米


C．12平方米 D．15平方米


B [如图，由题意可得：∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，OD＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sineq \f(π,3)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，可得：弦＝2AD＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，所以，弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2≈9(平方米)．]





13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.


[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，





∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．]


14．若角α与角eq \f(8π,5)终边相同，则在[0,2π]内终边与eq \f(α,4)终边相同的角是________．


eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10) [由题意得α＝eq \f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，又eq \f(α,4)∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，


此时eq \f(α,4)＝eq \f(2π,5)，eq \f(9π,10)，eq \f(7π,5)，eq \f(19π,10).]





15．如图所示，已知一长为eq \r(3) dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．





[解] eq \(AA1,\s\up10(︵))所在的圆半径是2 dm，圆心角为eq \f(π,2)；eq \(A1A2,\s\up10(︵))所在的圆半径是1 dm，圆心角为eq \f(π,2)；A2A3所在的圆半径是eq \r(3) dm，圆心角为eq \f(π,3)，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×eq \f(π,2)＋1×eq \f(π,2)＋eq \r(3)×eq \f(π,3)＝eq \f(9＋2\r(3)π,6)(dm)．


三段圆弧所在扇形的总面积是eq \f(1,2)×π×2＋eq \f(1,2)×eq \f(π,2)×1＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3)π,3)×eq \r(3)＝eq \f(7π,4)(dm2)．