新人教A版必修第一册模块综合测评（含解析）

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册全册综合同步测试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评


(满分：150分，时间：120分钟)


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．


1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )


A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}


C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}


A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．





由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]


2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.


但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp.故p是q的充分不必要条件．]


3．若cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于( )


A．－3 B．3


C．－eq \f(3,4) D．eq \f(3,4)


A [∵sin 2α＝2sin αcs α＞0，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，


∴sin α＝－eq \f(3\r(10),10)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3，


∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.]


4．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( )


A．有最大值为1 B．有最小值为1


C．有最大值为eq \f(1,2) D．有最小值为eq \f(1,2)


C [因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，


所以x＋2y≥2eq \r(x·2y)，即2≥2eq \r(2xy)，xy≤eq \f(1,2)，


当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝eq \f(1,2)时，等号成立．


所以xy有最大值，且最大值为eq \f(1,2).]


5．函数f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点个数是( )


A．0 B．1


C．2 D．3





B [函数f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的零点个数是方程xeq \s\up12(eq \f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＝0的解的个数，即方程xeq \s\up12(eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的解的个数，也就是函数y＝xeq \s\up12(eq \f(1,2))与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]


6．若函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，则函数y＝lgb(x－a)的图象可能是( )








C [由题图可得a＞1，且y＝a＋sin bx的最小正周期T＝eq \f(2π,b)＜π，所以b＞2，则y＝lgb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝lgb(2－a)＜0，排除D，故选C.]


7．已知a＝lg29－lg2eq \r(3)，b＝1＋lg2eq \r(7)，c＝eq \f(1,2)＋lg2eq \r(13)，则a，b，c的大小关系为( )


A．a＞b＞c B．b＞a＞c


C．c＞a＞b D．c＞b＞a


B [a＝lg29－lg2eq \r(3)＝lg23eq \r(3)，


b＝1＋lg2eq \r(7)＝lg22eq \r(7)，c＝eq \f(1,2)＋lg2eq \r(13)＝lg2eq \r(26)，


因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，


且2eq \r(7)＞3eq \r(3)＞eq \r(26)，所以b＞a＞c.]


8．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( )


A．3 B．5


C．7 D．9


B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝sin x，,y＝tan x，))得sin x＝tan x，


即sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,cs x)))＝0.


∴sin x＝0或1－eq \f(1,cs x)＝0，


即x＝kπ(k∈Z)，


又－2π≤x≤2π，


∴x＝－2π，－π，0，π，2π，


从而图象的交点个数为5.]


二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．


9．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象为C，则以下结论中正确的是( )


A．图象C关于直线x＝eq \f(π,12)对称；


B．图象C关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))对称；


C．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))内是增函数；


D．由y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度可以得到图象C.


BC [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)－\f(π,3)))


＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2).


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π－\f(π,3)))＝0，


故A错，B正确．


令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5,12)π＋kπ，k∈Z，


故C正确．


函数y＝3sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝3sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2,3)π))的图象，故D错．]


10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－lg2x,0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )


A．0＜d＜a B．d＞b


C．d＞c D．d＜c


ABD [由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在(0，＋∞)上单调递减，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－lg2x在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d，②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．]


11．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是( )


A．函数y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为eq \f(π,2)


B．函数y＝g(x)的图象关于x＝eq \f(11π,12)对称


C．函数y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,24)，0))对称


D．函数y＝g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,12)))内为单调减函数


ABD [由T＝eq \f(2π,ω)＝π，得ω＝2，即f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，函数g(x)的周期T＝eq \f(2π,2)＝π，则y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，故A正确；geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(11π,12)＋\f(π,6)))＝cs 2π＝1，即函数y＝g(x)的图象关于x＝eq \f(11π,12)对称，故B正确；geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,24)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(7π,24)＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)＋\f(π,6)))＝cseq \f(9π,12)＝cseq \f(3π,4)≠0，即函数y＝g(x)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,24)，0))对称，故C错误；当0＜x＜eq \f(5π,12)时，eq \f(π,6)＜2x＋eq \f(π,6)＜π，此时g(x)为减函数，故D正确．]


12．某同学在研究函数f(x)＝eq \f(x,1＋|x|)(x∈R)时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )


A．等式f(－x)＋f(x)＝0在x∈R时恒成立


B．函数f(x)的值域为(－1,1)


C．若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)


D．函数g(x)＝f(x)－x在R上有三个零点


ABC [易知函数的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，故A正确；当x＞0时，f(x)＝eq \f(x,1＋x)＝eq \f(1,1＋\f(1,x))，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，f(x)→1.结合奇偶性，作出f(x)的图象如图所示：易知函数的值域是(－1,1)，故B正确；结合函数f(x)为定义域内的增函数，所以C正确；当x≥0时，g(x)＝f(x)－x＝eq \f(x,1＋x)－x＝eq \f(－x2,1＋x)，令g(x)＝0得x＝0，故此时g(x)只有一个零点0，g(x)显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D错误．


]


三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．


13．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝ .


{3,9} [由题意画出Venn图，如图所示．





由图可知，A＝{3,9}．]


14．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为 个．


1 024 [当t＝0.5时，y＝2，所以2＝eeq \f(k,2)，


所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2，


当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]


15．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温，单位：℃)满足函数关系t(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(64，x≤0，,2kx＋6，x＞0，))且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．


①该食品在8 ℃的保鲜时间是 小时；


②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品 保鲜时间(填“过了”或“没过”)．(本题第一空2分，第二空3分)．





4 过了 [①因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k＋6＝16，解得k＝－eq \f(1,2).


所以t(8)＝2－4＋6＝4；


②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时，而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．]


16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是 ．


eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3))) [∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，


∴f(x)＝－1或f(x)＝－eq \f(1,k)(k≠0)．





① ② ③


(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示，


由图象可知f(x)＝－1无解，


∴k＝0不符合题意；


(2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示，


由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－eq \f(1,k)无解，


即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；


(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示，


由图象可知f(x)＝－1有1个实根，


∵f(f(x))－2＝0有3个实根，


∴f(x)＝－eq \f(1,k)有2个实根，


∴1＜－eq \f(1,k)≤3，解得－1＜k≤－eq \f(1,3).


综上，k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3))).]


四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．


17．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.





(1)求出函数f(x)在R上的解析式；


(2)画出函数f(x)的图象．


[解] (1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，


则f(0)＝0；


当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，


所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.


综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x，x<0.))


(2)图象如图所示．





18.(本小题满分12分)已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．


(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；


(2)若q是p的必要条件，求实数m的取值范围．


[解] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，


B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，


∵A∩B＝[1,3]，∴m＝4.


(2)∵q是p的必要条件


∴p是q的充分条件，


∴A⊆∁RB，∴m＞6或m＜－4.


19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，求证：β＝eq \f(π,3).


[证明] 由0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，知0＜α＋β＜π，


又cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，


故sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)


＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))eq \s\up12(2))＝eq \f(5\r(3),14).


由sin α＝eq \f(4\r(3),7)，可知


cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),7)))eq \s\up12(2))＝eq \f(1,7)，


∴sin β＝sin[(α＋β)－α]


＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α


＝eq \f(5\r(3),14)×eq \f(1,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(\r(3),2)，


∴β＝eq \f(π,3).


20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足：


①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11.


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围．


[解] (1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2，∴c＝3－a.


又6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，∴－eq \f(1,3)＜a＜eq \f(4,3).


又a∈N*，∴a＝1，c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.


(2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1,2]，则由已知得


当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2.


当1＜m－1＜2，即2＜m＜3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解．


当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解．


综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]．


21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cs(πx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示．





(1)求φ及图中x0的值；


(2)设g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))，求函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．


[解] (1)由题图得f(0)＝eq \f(\r(3),2)，所以cs φ＝eq \f(\r(3),2)，


因为0＜φ＜eq \f(π,2)，故φ＝eq \f(π,6).


由于f(x)的最小正周期等于2，


所以由题图可知1＜x0＜2，


故eq \f(7π,6)＜πx0＋eq \f(π,6)＜eq \f(13π,6).


由f(x0)＝eq \f(\r(3),2)，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx0＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，


所以πx0＋eq \f(π,6)＝eq \f(11π,6)，x0＝eq \f(5,3).


(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,2)))＝－sin πx，


所以g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))－sin πx＝cs πxcseq \f(π,6)－sin πxsineq \f(π,6)－sin πx


＝eq \f(\r(3),2)cs πx－eq \f(3,2)sin πx


＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx)).


当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))时，－eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)－πx≤eq \f(2π,3).


所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx))≤1，


故eq \f(π,6)－πx＝eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(1,3)时，g(x)取得最大值eq \r(3)；


当eq \f(π,6)－πx＝－eq \f(π,6)，即x＝eq \f(1,3)时，g(x)取得最小值－eq \f(\r(3),2).


22．(本小题满分12分)已知f(x)＝lg4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．


(1)求k的值；


(2)若方程f(x)＝lg4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．


[解] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，


即lg4(4－x＋1)－kx＝lg4(4x＋1)＋kx，


化简得lg4eq \f(4－x＋1,4x＋1)＝2kx，lg44－x＝－x＝2kx，则有(2k＋1)x＝0.对任意的x∈R恒成立，于是有2k＋1＝0，k＝－eq \f(1,2).


(2)∵f(x)＝lg4(4x＋1)－eq \f(1,2)x，f(x)＝lg4(a·2x－a)有且只有一个根，


∴lg4(4x＋1)－eq \f(1,2)x＝lg4(a·2x－a)，


即(1－a)(2x)2＋a·2x＋1＝0有唯一实根．


令t＝2x，则关于t的方程(1－a)t2＋at＋1＝0有唯一的正根．


①当1－a＝0即a＝1时，方程(1－a)t2＋at＋1＝0，则t＋1＝0，即t＝－1，不符合题意．


②当1－a≠0即a≠1时，Δ＝a2－4(1－a)＝a2＋4a－4＝(a＋2)2－8.


若Δ＝0，则a＝－2±2eq \r(2)，此时，t＝eq \f(a,2a－1).


当a＝－2＋2eq \r(2)时，则有t＝eq \f(a,2a－1)＜0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，不符合题意；


当a＝－2－2eq \r(2)时，则有t＝eq \f(a,2a－1)＞0，且a·2x－a＝a(t－1)＝a·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a,2a－1)－1))＝eq \f(a2－a,2a－1)＞0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个相等的正根，符合题意．


若Δ＞0，则方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．


于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,\f(1,1－a)＜0，))由此解得a＞1.


综上所述，a＞1或a＝－2－2eq \r(2).