高中数学北师大版 (2019)必修第一册2.1 必要条件与充分条件导学案

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第一册2.1 必要条件与充分条件导学案，共22页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】

重点、难点

1、使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念；（重点）

2、明确命题的条件与结论间的四种关系；（重点）

3、理解充分性与必要性的推导顺序。（难点）

学科素养

培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力；

通过进行严格推理的教学，帮助学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值。

【知识清单】

1、充分和必要条件的概念

一般地，“若,则”为真命题，是指由通过推理可以得出，这时，我们就说，由可以退出,记做,且说是的充分条件，同时是的必要条件.

2. 充分和必要条件的性质

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件，数学中每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件.

【基础过关】

1.下列命题中，p是q的充分条件的是________．

①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；

②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；

③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．

2.“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．

3. 在以下各题中，分析p与q的关系：

(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；

(2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．

【经典例题】

例1、下列p是q的必要条件的是( )

A．p：|a|＝1，q： a＝1 B．p：－1

C．p：ab，q：a>b＋1

例2、(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？

(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？

【课堂达标】

1．已知a,b为实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是（）

A．ab＝0B．ab>0

C．a2＋b2＝0D．a2＋b2>0

3．“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．“”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（多选题）对任意实数,,,下列命题中正确的是（）

A．“”是“”的充要条件

B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“”是“”的必要条件

E.“”是“”的必要条件

6．下列说法中正确的是（）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．“”的必要不充分条件是“”

C．“是实数”的充分不必要条件是“是有理数”

D．“”是“”的充分条件

7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为_______．

8．已知，，如果的充分条件是，则实数的取值范围是_________.

9．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

10．已知，，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【能力提升】

1．已知，那么“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．设p：x<3，q：-1

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．设集合，，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件.

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

4．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．设，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（多选题）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（）．

A．1B．2C．3D．4

7．（多选题）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（）

A．是的既不充分也不必要条件

B．是的充分条件

C．是的必要不充分条件

D．是的充要条件

8．（多选题）对任意实数，，，给出下列命题：

①“”是“”的充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的必要条件；

④“”是“”的充分条件.

其中真命题是（）.

A．①B．②C．③D．④

9．以下有四种说法：

①“a>b”是“a2>b2”的充要条件；②“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件；

③“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”；

④“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”．

其中正确说法的序号是________．

10．已知a、b是实数，则“a＞1，且b＞1”是“a+b＞2，且ab＞1”的____条件．

11．给出下列条件与：

①：或；：．②：，：．

③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等．

其中是的必要不充分条件的序号为______．

12．下列各题中，是的什么条件？

（1）为自然数，为整数；（2）；

（3）；

（4）：四边形的一组对边相等，：四边形为平行四边形；

（5）：四边形的对角线互相垂直，：四边形为菱形.

13．已知集合,.

(1)当时,求,;

(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.

14．已知集合，集合，.

（1）若“”是真命题，求实数取值范围；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【参考答案】

【知识清单】

1. ,；，

2.充分；必要

【基础过关】

1、答案 ③

解析 ①∵(x－2)(x－3)＝0，

∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.

∴p不是q的充分条件．

②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．

③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．

2. 充分

解析由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，

∴是充分条件．

3. 解 (1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

【经典例题】

1、答案 AD

解析：要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a>b＋1⇒q：a－b>1⇒p：a>b，

2、解 (1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，

则只要eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1或x>3}，

即只需－eq \f(m,2)≤－1，所以m≥2.

故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．

(2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(m,2)))))，

这是不可能的．

故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．

[课堂达标]

1．C

【解析】

试题分析：由题意得，因为a,b是实数，所以“a>0且b>0”可推出“a+b>0且ab>0”，“a+b>0且ab>0”推出“a>0且b>0”，所以“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件，故选C．

考点：充要条件的判定．

2．D

【解析】

【分析】

，ab＝0是非充分非必要条件；是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解.

【详解】

，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；

ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；

，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；

，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件.故选：D

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．A

【解析】

【分析】

利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.

【详解】

若，因为，故，

故“”可以推出“”，

取，则，当不成立，

所以 “”可以推不出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，此类问题可以根据两者之间的推出关系或两者对应的集合的包含关系来判断两者之间的条件关系．

4．A

【解析】

主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．

解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A．

5．BDE

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的五个选项逐一进行分析即可得到答案．

【详解】

解：A中“”⇒“”为真命题，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，

故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；

B中“＋5是无理数”⇒“是无理数”为真命题，“是无理数”⇒“＋5是无理数”也为真命题，

故“＋5是无理数”是“是无理数”的充要条件，故B为真命题；

C中“” ⇒ “” 为假命题，“” ⇒“”也为假命题，

故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题；

D中是的真子集，故“”是“”的必要条件，故D为真命题．

E中当c＝0时，“” ⇒ “”为假命题，“” ⇒ “”为真命题，故“”是“”的必要条件，故E为真命题；故选：BDE

【点睛】

判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．

6．ABC

【解析】

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义对各选项中命题的正误进行判断.

【详解】

由得，所以“”可推出“”，反之不成立，A选项正确；

解方程，得或，所以，“”的必要不充分条件是“”，B选项正确；

“是有理数”可以推出“是实数”，反之不一定成立，C选项正确；

解方程，得，则“”是“”必要条件，D选项错误.故选：ABC．

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时要充分利用充分条件、必要条件的定义，有时也可以转化为集合的包含关系来进行判断，考查推理能力，属于中等题.

7．

【解析】

【分析】

由得出的范围，再根据必要不充分性，得出两个范围的包含关系，从而得出结果．

【详解】

由得，

“”是“”的必要不充分条件，

，

．故答案为．

【点睛】本题考查充分性和必要性，利用在小范围可以推出在大范围，在大范围不能推出在小范围来解决问题，是基础题．

8．

【解析】

【分析】

的充分条件是，得到之间的集合关系，从而得到的范围.

【详解】

“的充分条件是”，即是的充分条件，得，即，得，所以答案为“”.

【点睛】现有集合，若是的充分条件，则；若是的必要条件，则.

9．（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）化简集合，再进行集合的交、并运算；

（2）由“”是“”的必要不充分条件，得到集合，再利用数轴得到关于的不等式.

【详解】

（1）当时，，集合，

所以.

（2）因为，所以，，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以解得：.

【点睛】

利用数轴发现关于的不等式时，要注意端点的取舍问题.

10．.

【解析】

【分析】

先化简命题和，再根据已知得到a的不等式，解不等式即得解.

【详解】

解：由题得命题: ，或，

因为是的必要不充分条件，所以或，即或，

故实数a的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，基础题.

【能力提升】

1．A

【解析】

【分析】

利用两个条件之间的推出关系可判断两者的条件关系.

【详解】

当时，成立，

取，此时成立，但是不成立，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，此类问题一般依据定义来判断，本题属于基础题.

2．C

【解析】

【分析】

根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】

∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件，

故选C.

【点睛】

本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.

3．A

【解析】

【分析】

根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】

解：当时，，满足，故充分性成立；

当时，或，所以不一定满足，故必要性不成立.

故选：A.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，是基础题.

4．C

【解析】

【分析】

本题首先可以判断“三角形的三条边相等”能否证明出“三角形为等边三角形”，然后判断“三角形为等边三角形”能否证明出“三角形的三条边相等”，最后即可得出结果．

【详解】

因为“三角形的三条边相等”可以证明出“三角形为等边三角形”， “三角形为等边三角形”也可以证明出“三角形的三条边相等”，

所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的相关性质，如果“条件”可以证明出“结论”，则“条件”是“结论”的充分条件，如果“结论”可以证明出“条件”，则“条件”是“结论”的必要条件．

5．A

【解析】

【分析】

分别求出和的解，结合充分必要条件的定义，即可得出结论.

【详解】

，解得，

，解得或，

“”成立，则“或”成立，

而“或”成立，“”不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.

6．BCD

【解析】

【分析】

根据充分必要条件得出a 范围，可得选项.

【详解】

由得，

因此，若是的充分不必要条件，则．

故选：BCD．

【点睛】

本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.

7．BD

【解析】

【分析】

由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案．

【详解】

解：由已知得：；．

是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件．

正确的是B、D．

故选：BD．

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．

8．BC

【解析】

【分析】

根据充要条件的判断方法，判断①②的真假性.根据必要条件的判断方法，判断③的真假性.根据充分条件的判断方法，判断④的真假性.

【详解】

①由“”可得，但当时，不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，故①错误；

②因为5是有理数，所以当是无理数时，必为无理数，反之也成立，故②正确；

③当时，不能推出；当时，有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故③正确.

④取，，此时，故④错误；

故答案为：BC

【点睛】

本小题主要考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题.

9．②③④

【解析】

如2>－4，但22<(－4)2，故①错；②正确；x＝3可推出x2－2x－3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，所以④也正确．

10．充分不必要

【解析】

【分析】

因为，反过来不能推出，然后根据充分必要条件的判断模式进行判断.

【详解】

解：a、b是实数，则“a＞1，且b＞1”⇒“a+b＞2，且ab＞1”正确，

当a＝10，b＝0.2时，a+b＞2，且ab＞1，所以a＞1，且b＞1不成立，

即前者是推出后者，后者推不出前者，

所以a、b是实数，则“a＞1，且b＞1”是“a+b＞2，且ab＞1”的充分而不必要条件．

故答案为：充分而不必要．

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型.

11．②

【解析】

【分析】

根据充分、必要条件的知识，判断出符合题意的序号.

【详解】

对于①，在中，，解得或.故是的充要条件，不符合题意.

对于②，在中，或，而中，所以是的必要不充分条件，符合题意.

对于③，由于，故是的充分不必要，不符合题意.

故填：②.

【点睛】

本小题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题.

12．（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件；（5）必要不充分条件.

【解析】

【分析】

由充分与必要条件的概念,结合已有知识,逐个判断的互相推出性即可.

【详解】

为自然数,则一定为整数,即可以推出,反过来,为整数,则不一定是自然数,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;

则不一定成立,例如,即不能推出,反过来,则一定成立，即可以推出,故是的必要不充分条件;

则一定成立,即可以推出,反过来,则不一定成立,例如,即不能推出,故是的充分不必要条件;

一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形,反过来,平行四边形的一组对边相等成立,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;

对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,有可能为等腰梯形,反过来,菱形的对角线一定互相垂直,即不能推出,可以推出,故是的必要不充分条件;

【点睛】

本题考查充分与必要条件的判断;理解充分与必要的概念以及能否举出反例是求解本题的关键;属于基础题、常考题型.

13．(1),.(2)

【解析】

【分析】

(1)代入再求交集与并集即可.

(2)根据题意有MN,再根据区间端点满足的关系式求解即可.

【详解】

(1)因为,所以,

所以有,.

(2)若是的充分不必要条件,

则有MN, 所以.

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算以及根据充分与必要条件求解参数的范围问题,属于基础题.

14．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）解不等式即得a的取值范围；（2）先化简B,由题得是的真子集，解不等式组得解.

【详解】

解：（1）若“”是真命题，则，得.

（2），

若“”是“”的必要不充分条件，

则是的真子集，

即，即，得，

即实数的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.