【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第12讲 配对求和 人教版(含答案)
展开第十二讲 配对求和
第一部分:趣味数学
数学王子—高斯的故事
高斯是德国著名数学家(1777~1855),出生于一个比较贫困的家庭,父母均没有受过正规教育,父亲安于现状,只希望高斯将来长大后能有一份简单的养家糊口的工作,而母亲虽是个没有文化的家庭主妇,但目光长远,对高斯要求严格。并尊重孩子的兴趣,希望高斯能有所成就。
高斯在很小的时候就有过人的才华,在他还不到三岁的时候,有一天他观看父亲在计算受他管辖的工人们的周薪。父亲在喃喃的计数,最后长叹的一声表示总算把钱算出来。父亲念出钱数,准备写下时,身边传来微小的声音:“爸爸!算错了,钱应该是这样”。父亲惊异地再算一次,果然小高斯讲的数是正确的,奇特的地方是没有人教过高斯怎么样计算,而小高斯平日靠观察,在大人不知不觉时,他自己学会了计算。
高斯在7岁时进了小学,有一天,算术老师要求全班同学算出以下的算式:1+2+3+4+……+98+99+100=?在老师把问题讲完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地写下答案5050,而其它孩子算到头昏脑胀,还是算不出来。最后只有高斯的答案是正确无误。
原来:1+100=101,2+99=101,3+98=101……50+51=101
前后两项两两相加,就成了50对和都是101的配对了即101×50=5050。
第二部分:奥数小练
巧算要点
上面故事中的主人公就是被人称为“数学王子”的高斯,他在年仅8岁时,就以这种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢?原来,他用了一种简便的方法:先配对再求和。
数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和,可以用以下关系式:
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题1】你有好办法算一算吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( 55 )
思路导航:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
上面的数列首项是1,末项是10,项数是10,利用公式计算就行
解答:=(1+10)×10÷2
=55
练习一:速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20
(2) 1+2+3+4+……+99+100
(3) 21+22+23+24+……+100
【例题2】计算。
思路导航:数列从第二项起,每一项与前一项的差都是2或是3,像这样的数列就是等差数列,求和就用公式----等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324
=(21+31)×6÷2 =(312+324)×5÷2
=156 =1590
练习二:计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62
(2) 108+128+148+168+188
【例题3】有一堆木材叠堆在一起,一共是10层,第1层有16根,第2层有17根,……下面每层比上层多一根,这堆木材共有多少根?
思路导航:这堆木材一层比一层多一根,可以看成是等差数列,因为第1层有16根,第2层有17根,……一共是10层,所以先根据公式求出末项:末项=首项+公差×(项数-1)求出末项是25根,也就是最多一层是25根,所以,在这个等差数列中首项是16,末项是25,项数是10,求总根数就是求等差数列的和,运用公式求16、17、18、19、20、21、22、23、24、25的和。
解答:(16+25)×10÷2
=205(根)
练习三:
(1) 体育馆的东区共有30排座位,呈梯形,第1排有10个座位,第2排有11个座位,……
这个体育馆东区共有多少个座位?
(2)有一串数,第1个数是10,以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90,这串数连加的和是多少?
(3) 有一个钟,一点钟敲1下,两点钟敲2下,……十二点钟敲12下,分钟指向6敲1
下,这个钟一昼夜敲多少下?
【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
思路导航:可以用多种简便计算方法
第一种:
992+993+994+995+996+997+998+999
=(992+999)+(993+998)+(994+997)+(995+996)
首尾配对求和
=1991×4
=7964
第二种:
992+993+994+995+996+997+998+999 =992+992+1+992+2+992+3+992+4+992+5+992+6+992+7
=8×992+(1+2+3+4+5+6+7)
等差数列求和
=8×(1000-8)+28
=8000-64+28
=7964
第三种:
992+993+994+995+996+997+998+999
=1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000+1000-36
=8000-36
=7964
练习四:计算。
(1) 95+96+97+98+99
(2) 2006+2007+2008+2009
(3) 9997+9998+9999
(4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
【例题5】计算
1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81
思路导航:可以把所有减数配对求和
=1000-(81+19)-(11+89)-(82+18)-(12+88)-(83+17)-(13+87)- (84+16)-(14+86)-(85+15)
=1000—900
=100
练习五:计算。
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1
(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19
(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
第三部分:数学史话
分马的故事
同学们,进入三年级后,我们学习了一种新的数:分数。关于分数,有好多有趣的故事,下面就讲一个有关分马的故事。
有一位老人,他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说:“我已经写好了遗嘱,我把马留给你们,你们一定要按我的要求去分。” 老人去世后,三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着:“我把十七匹马全都留给我的三个儿子。长子得一半,次子得三分之一,给幼子九分之一。不许流血,不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿!” 这三个兄弟迷惑不解。尽管他们在学校里学习成绩都不错,可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9,又不让马流血。于是他们就去请教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说:“我借给你们一匹马,去按你们父亲的遗愿分吧!” 老人原有17匹马,加上智者借给的一匹,一共18匹。于是三兄弟按照18匹马的一半、三分之一和九分之一,分别得到了九匹、六匹和两匹。9+6+2=17(匹)。还剩下一匹,是智者借给的那匹,还给智者。 到这儿,这个故事就结束了。
不同意这种结果的同学的意见在于:遗嘱所说的一半、三分之一和九分之一,都是相对于17匹马来说的,并不是对18匹马来说的,因而智者把自己的一匹马借给三兄弟再按一半、三分之一和九分之一去分,不符合遗嘱原意。 我认为,这部分同学之所以不同意故事的结局,是由于对遗嘱的要求掌握得不够全面造成的。笔者要说明,智者的办法确实是个好办法。遗嘱没有错;智者的办法也不光是一个智力游戏,在数学上也是完全合理的。 为此,我们先指出一个事实,即: 1/2+1/3+1/9=17/18<1 这就是说:假设姑且不考虑老人关于不许流血、不许杀马的要求,硬把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个兄弟,那么,并没有把17匹马全部分完,还剩下17匹马的1/18没有分。 于是我们要考虑一个问题:老人的遗嘱是只把17匹马的一半、三分之一和九分之一分给三个儿子吗?如果是,那么剩下的17/18匹给谁呢? 按遗嘱中关于把17匹马全部留给三个儿子的要求,剩下的这些马还应继续分给三兄弟,而且还应该给老大一半,给老二三分之一,给老三九分之一,而且任何有限次总也无法把17匹马全部分完。
仔细研究老人的遗嘱可以发现,老人的遗嘱实际上包含三点要求:第一,把17匹马全部都分给三个儿子;第二,每给老大一半,就要给老二三分之一、给老三九分之一,所以实际上是要按照1/2∶1/3∶1/9这样的比例进行分配,而不是只把17匹马的1/2,1/3,1/9分给三个儿子;第三,不许让马流血。 一个分配方案,只要满足上述条件,就是符合遗嘱要求的方案。 老人自己家有17匹马,加上智者借给的一匹,一共十八匹马。按18匹马的1/2, 1/3,1/9分给三个兄弟,三个兄弟所得的马的匹数当然符合1/2∶1/3∶1/9的比例(符合上述第二条要求),而三个兄弟分别得到的9匹、6匹和2匹之和,恰好是17匹(符合上述第一条要求),又没让马流血(符合上述第三条要求),所以智者的办法是完全符合老人遗嘱要求的。 不借用智者的一匹马也可以执行老人的遗嘱。为此,把1/2∶1/3∶1/9化简可得9∶6∶2,恰好有9+6+2=17。可见,分给长子9匹、次子6匹、幼子2匹,既恰好把17匹马全都分完,又符合1/2∶1/3∶1/9的比例,又没有让马流血,所以完全合乎老人遗嘱的要求。
参考答案:
练习一:
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100
=(1+20)×20÷2 =(1+100)×100÷2
=210 =5050
(3) 21+22+23+24+……+100
=(21+100)×80÷2
=4840
练习二:
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188
=(48+62)×8÷2 =(108+188)×5÷2
=440 =740
练习三:
(1) 先求末项数=10+1×(30-1)=39(个)
再求总座位数:(10+39)×30÷2
=49×30÷2
=735(个)
(2)先求项数:项数=(末项-首项)÷公差+1
(90-10)÷4+1=21(个)
再求总和:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
(10+90)×21÷2=1050
(3)这个钟一昼夜共敲:
(1+2+3+....+12)×2+12×2
=(1+12)×12÷2×2+24
等差数列的和
=13×12+24
=156+24
=180(下)
练习四:
(1) 95+96+97+98+99
=(100-5)+(100-4)+(100-3)+(400-2)+(100-1)
=500-(1+2+3+4+5)
=500-15
=485
(2) 2006+2007+2008+2009
=2000×4+(6+7+8+9)
=8000+30
=8030
(3) 9997+9998+9999
=10000×3-(3+2+1)
= 30000-6
=29994
(4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
=100-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)
=100-(1+19)×10÷2
=100-100
=0
练习五:
(1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1
=1000-(1+9)-(2+8)-(3+7)-(4+6)-(5+5)-(6+4)-(7+3)-(8+2)-(9+1)
=1000-90
=910
(2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19
=1000-(81+19)-(11+89)-(82+18)-(12+88)-(83+17)-(13+87)-(84+16)-(14+86)-(85+15)
=1000-900
=100
(3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16
=2001+(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)
=2001+8
=2009