人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一等奖教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念一等奖教案，共10页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1.了解集合的含义，会使用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”“ SKIPIF 1 < 0 ”表示元素与集合之间的关系．


2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．


3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．


【要点梳理】


集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.


要点一、集合的有关概念


1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.


2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.


3．关于集合的元素的特征


(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.


(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.


(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.


4．元素与集合的关系：


(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belng t)A，记作a SKIPIF 1 < 0 A


(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(nt belng t)A，记作 SKIPIF 1 < 0


5．集合的分类


(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作： SKIPIF 1 < 0 .


(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.


(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.





6．常用数集及其表示


非负整数集(或自然数集)，记作N


正整数集，记作N*或N+


整数集，记作Z


有理数集，记作Q


实数集，记作R


要点二、集合的表示方法


我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.


1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.


2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.


4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合 SKIPIF 1 < 0 .


1，2，3，4





【典型例题】


类型一：集合的概念及元素的性质


例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？


(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程 SKIPIF 1 < 0 在实数范围内的解；（6） SKIPIF 1 < 0 的近似值的全体.











举一反三：


【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.


(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；


(2)举办2008年奥运会的城市；


(3)高一数学课本中的所有难题；


(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；


(5)大于0且小于1的所有的实数.











例2．集合 SKIPIF 1 < 0 由形如 SKIPIF 1 < 0 的数构成的，判断 SKIPIF 1 < 0 是不是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素？




















举一反三：


【变式1】设 SKIPIF 1 < 0


(1)若a SKIPIF 1 < 0 Z，则是否有a SKIPIF 1 < 0 S？


(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？

















类型二：元素与集合的关系


例3.用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”填空．


(1) SKIPIF 1 < 0


(2) SKIPIF 1 < 0


(3) SKIPIF 1 < 0





举一反三：


【变式1】 用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”填空


（1）若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；-2 SKIPIF 1 < 0 .


（2）若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；-2 SKIPIF 1 < 0 .





例4.定义集合运算： SKIPIF 1 < 0 .设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为


A. 0 B. 6 C. 12 D. 18





举一反三：


【变式1】定义集合运算： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为（ ）


A. 0 B. 2 C. 3 D. 6





集合的表示及运算


例5. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ={x SKIPIF 1 < 0 | SKIPIF 1 < 0 }，当集合 SKIPIF 1 < 0 为单元素集时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.














例6.已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值及集合 SKIPIF 1 < 0 .














举一反三：


【变式1】已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值











类型四：集合的表示方法


例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：


(1)方程 SKIPIF 1 < 0 的所有实数根组成的集合；


(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.











举一反三：


【变式1】用列举法表示集合：


(1)A={x SKIPIF 1 < 0 R|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}


(2)B={(x，y)|x+y=3， x SKIPIF 1 < 0 N， y SKIPIF 1 < 0 N}


(3)C={y|x+y=3，x SKIPIF 1 < 0 N， y SKIPIF 1 < 0 N}


(4) SKIPIF 1 < 0


(5) SKIPIF 1 < 0


(6)P={x|x(x-a)=0， a SKIPIF 1 < 0 R}





【变式2】用适当的方法表示下列集合：


（1）比5大3的数；


（2）方程 SKIPIF 1 < 0 的解集；


（3）二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上的所有点组成的集合。











































































































参考答案


例1.答案：(4)、（5）


解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.


“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.


点评：


(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.


(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.


举一反三：


【变式1】 答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。


解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.


(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；


(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；


(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.


(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.


(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.


例2．答案：是


解析：由分母有理化得， SKIPIF 1 < 0 .由题中集合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0


均有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .


点评：（1）解答本题首先要理解 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的， SKIPIF 1 < 0 能否化成此形式，进而去判断 SKIPIF 1 < 0 是不是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素.


（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.


举一反三：


【变式1】答案：a SKIPIF 1 < 0 S 是


解析：(1)若a SKIPIF 1 < 0 Z，则有a SKIPIF 1 < 0 S，即n=0时，x SKIPIF 1 < 0 Z，∴a SKIPIF 1 < 0 S；


(2) SKIPIF 1 < 0 x1，x2 SKIPIF 1 < 0 S，则 SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


∵m1，n1，m2，n2 SKIPIF 1 < 0 Z，∴m1m2+2n1n2 SKIPIF 1 < 0 Z，m1n2+m2n1 SKIPIF 1 < 0 Z


∴x1·x2 SKIPIF 1 < 0 S.


例3.解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，或者 SKIPIF 1 < 0 ，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.


(1) SKIPIF 1 < 0


SKIPIF 1 < 0


(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0


令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0


(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，


∴ SKIPIF 1 < 0


点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合 SKIPIF 1 < 0 这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合 SKIPIF 1 < 0 这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合 SKIPIF 1 < 0 是由抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的所有点构成的，是一个点集.


举一反三：


【变式1】 答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0


例4.答案： D


解析： SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，


于是 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为0+6+12=18.


点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.


举一反三：


【变式1】答案：D


解析： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 z的取值有：0，2，4故 SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 集合 SKIPIF 1 < 0 的所有元素之和为：0+2+4=6.


例5. 答案：0，1


解析：由集合 SKIPIF 1 < 0 中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：


当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.


当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.


例6.答案： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .


解析：（1）若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .


所以 SKIPIF 1 < 0 ，与集合中元素的互异性矛盾，则 SKIPIF 1 < 0 应舍去.


（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足题意；


当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与集合中元素的互异性矛盾，则 SKIPIF 1 < 0 应舍去.


（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由上分析知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均应舍去.


综上， SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .


点评：本题中由于1和集合 SKIPIF 1 < 0 中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.


举一反三：


【变式1】 SKIPIF 1 < 0


解析：当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与集合的概念矛盾，故舍去


当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不满足题意舍去，故 SKIPIF 1 < 0 .


例7．答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 。


解析：(1)设方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根为x，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0


因此，用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 ；


方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0


因此，用列举法表示为 SKIPIF 1 < 0 .


(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，且15

因此，用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 ；


大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，


因此，用列举法表示为 SKIPIF 1 < 0 .


点评：


（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.


（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.


（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.


举一反三：


【变式1】解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.


(1)A={1，-2，-1，2}


(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}


(3)C={0，1，2，3}


(4)D={(0，0)}


(5)M={0}


(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.


点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母a SKIPIF 1 < 0 R，需要分类讨论.


【变式2】答案：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0


解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为 SKIPIF 1 < 0 。


（2）方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，


SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 方程的解集为 SKIPIF 1 < 0 。


（3）用描述法表示为 SKIPIF 1 < 0 。


点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。