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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第五节 指数与指数函数 学案
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第五节 指数与指数函数
2019考纲考题考情
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数
±(a＞0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必须使有意义)。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)。
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)。
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)。
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0。由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大。
3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0
一、走进教材
1．(必修1P59A组T4改编)化简(x<0，y<0)＝________。
解析 因为x<0，y<0，所以＝|2x2y|＝－2x2y。
答案 －2x2y
2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________。
解析 由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝。
答案
3．(必修1P59A组T7改编)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________。
解析 因为y＝x是减函数，所以>>0，即a>b>1，又c＝<0＝1，所以c
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知，则( )
A．b
三、走出误区
微提醒：①忽视n的范围导致(a∈R)化简出错；②忽视底数的讨论出错；③忽视底数a的范围出错。
5．计算 ＋ ＝________。
解析 ＋ ＝1＋＋|1－|＝2。
答案 2
6．若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________。
解析 若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0
7．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A B C D
解析 当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，此时四个选项均不对；当0
解析：函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D。
答案 D
考点一 指数幂的运算
【例1】 (1)下列命题中，正确命题的个数为( )
①＝a；②a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ ＝x·y；④＝。
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 (1)若n是奇数，则＝a；若n是偶数，则＝|a|＝所以①错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以②正确；不能化简为·y，所以③错误；因为<0，>0，所以≠，所以④错误。故选B。
(2)①原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝。
答案 (1)B (2)① ②
指数幂运算的一般原则
1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。
2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。
3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数。
【变式训练】 (其中a>0，b>0)＝________。
(2)化简a·＋()5＋的值为________。
解析 (1)原式＝＝21＋3×10－1＝。
(2)由题意可得a<0，故原式＝－＋a＋(－a)＝－。
答案 (1) (2)－
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0
(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)。
答案 (1)D (2)(0,1)
【互动探究】 (1)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________。
(2)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________。
解析 (1)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得。
(2)作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示。
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]。
答案 (1)(0，＋∞) (2)(－∞，－1]
指数函数图象的画法及应用
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。
2．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。
3．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。
考点三 指数函数的性质及应用微点小专题
方向1：指数函数的单调性应用
【例3】 (1)(2019·福建厦门模拟)已知a＝0.3，b＝log0.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．M＝N B．M≤N C．MN
解析 (1)b＝log0.3>log＝1>a＝0.3，c＝ab
答案 (1)B (2)D
比较指数式的大小的方法
1．能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。
2．不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。
方向2：复合函数的单调性应用
【例4】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________。
(2)函数f(x)＝的单调递减区间为________。
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减。而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]。
(2)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间。又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]。
答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。
方向3：指数函数性质的综合问题
【例5】 (1)函数f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
(2)若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________。
解析 (1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋＝0①，函数图象过点，则f(ln3)＝a＋＝②。结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－。因为ex>0，所以ex＋1>1，所以0<<2，所以－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)。
(2)从已知不等式中分离出实数a，得a>－。因为函数y＝x和y＝x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，从而得－≤－。故实数a的取值范围为a>－。
答案 (1)A (2)
指数函数性质的重点是其单调性，解题中注意利用单调性实现问题的转化。
【题点对应练】
1．(方向1)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，11。因为x>0时，bx0时，x>1。所以>1，所以a>b。所以1
2．(方向2)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( )
A．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数
B．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数
C．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数
D．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数
解析 由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，又f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lgx在(0，＋∞)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减。故选D。
答案 D
3．(方向3)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|。由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减。故选B。
答案 B
4．(方向3)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________。
解析 原不等式变形为m2－m
1．(配合例2使用)已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝( )
A．－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析 由图象可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，则00，则f(－x)＝－x＝－g(x)，即g(x)＝－－x＝－2x，故g(x)＝－2x，x<0。
答案 D
2．(配合例4使用)已知函数f(x)＝log (3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，则实数a的取值范围是________。
解析 令g(x)＝3x2－ax＋5，因为f(x)＝log (3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，所以g(x)＝3x2－ax＋5在区间(－1，＋∞)内是增函数且g(x)>0在区间(－1，＋∞)内恒成立。所以
所以－8≤a≤－6，即a的取值范围是[－8，－6]。
答案 [－8，－6]
3．(配合例5使用)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－。
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。
解 (1)由f(x)＝⇒2x－＝⇒2·(2x)2－3·2x－2＝0⇒(2x－2)(2·2x＋1)＝0。
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1。
(2)由2tf(2t)＋mf(t)≥0⇒2t＋m≥0⇒m(2t－2－t)≥－2t(22t－2－2t)。
又t∈[1,2]⇒2t－2－t>0⇒m≥－2t(2t＋2－t)，
即m≥－22t－1，只需m≥(－22t－1)max。
令y＝－22t－1，t∈[1,2]，
可得ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5。
2019考纲考题考情
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数
±(a＞0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝a(注意a必须使有意义)。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)。
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)。
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)。
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0。由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大。
3．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0
一、走进教材
1．(必修1P59A组T4改编)化简(x<0，y<0)＝________。
解析 因为x<0，y<0，所以＝|2x2y|＝－2x2y。
答案 －2x2y
2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________。
解析 由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝。
答案
3．(必修1P59A组T7改编)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________。
解析 因为y＝x是减函数，所以>>0，即a>b>1，又c＝<0＝1，所以c
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知，则( )
A．b
三、走出误区
微提醒：①忽视n的范围导致(a∈R)化简出错；②忽视底数的讨论出错；③忽视底数a的范围出错。
5．计算 ＋ ＝________。
解析 ＋ ＝1＋＋|1－|＝2。
答案 2
6．若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________。
解析 若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0
7．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A B C D
解析 当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，此时四个选项均不对；当0
解析：函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，故选D。
答案 D
考点一 指数幂的运算
【例1】 (1)下列命题中，正确命题的个数为( )
①＝a；②a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ ＝x·y；④＝。
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 (1)若n是奇数，则＝a；若n是偶数，则＝|a|＝所以①错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以②正确；不能化简为·y，所以③错误；因为<0，>0，所以≠，所以④错误。故选B。
(2)①原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝。
答案 (1)B (2)① ②
指数幂运算的一般原则
1．有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。
2．先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。
3．底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数。
【变式训练】 (其中a>0，b>0)＝________。
(2)化简a·＋()5＋的值为________。
解析 (1)原式＝＝21＋3×10－1＝。
(2)由题意可得a<0，故原式＝－＋a＋(－a)＝－。
答案 (1) (2)－
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0
D．0
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0
(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)。
答案 (1)D (2)(0,1)
【互动探究】 (1)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________。
(2)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________。
解析 (1)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得。
(2)作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示。
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]。
答案 (1)(0，＋∞) (2)(－∞，－1]
指数函数图象的画法及应用
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。
2．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。
3．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。
考点三 指数函数的性质及应用微点小专题
方向1：指数函数的单调性应用
【例3】 (1)(2019·福建厦门模拟)已知a＝0.3，b＝log0.3，c＝ab，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．M＝N B．M≤N C．M
解析 (1)b＝log0.3>log＝1>a＝0.3，c＝ab
答案 (1)B (2)D
比较指数式的大小的方法
1．能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。
2．不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。
方向2：复合函数的单调性应用
【例4】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________。
(2)函数f(x)＝的单调递减区间为________。
解析 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减。而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]。
(2)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间。又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]。
答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]
求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。
方向3：指数函数性质的综合问题
【例5】 (1)函数f(x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
(2)若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________。
解析 (1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)＝a＋＝0①，函数图象过点，则f(ln3)＝a＋＝②。结合①②可得a＝1，b＝－2，则f(x)＝1－。因为ex>0，所以ex＋1>1，所以0<<2，所以－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)。
(2)从已知不等式中分离出实数a，得a>－。因为函数y＝x和y＝x在R上都是减函数，所以当x∈(－∞，1]时，x≥，x≥，所以x＋x≥＋＝，从而得－≤－。故实数a的取值范围为a>－。
答案 (1)A (2)
指数函数性质的重点是其单调性，解题中注意利用单调性实现问题的转化。
【题点对应练】
1．(方向1)已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1
2．(方向2)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( )
A．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是增函数
B．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是增函数
C．f(x)是奇函数，且在(0,10)上是减函数
D．f(x)是偶函数，且在(0,10)上是减函数
解析 由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称，又f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上递减，y＝lgx在(0，＋∞)上递增，故函数f(x)在(0,10)上递减。故选D。
答案 D
3．(方向3)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|。由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减。故选B。
答案 B
4．(方向3)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________。
解析 原不等式变形为m2－m
1．(配合例2使用)已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a>0，a≠1)对应的图象如图所示，则g(x)＝( )
A．－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析 由图象可知，当x>0时，函数f(x)单调递减，则0
答案 D
2．(配合例4使用)已知函数f(x)＝log (3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，则实数a的取值范围是________。
解析 令g(x)＝3x2－ax＋5，因为f(x)＝log (3x2－ax＋5)在区间(－1，＋∞)内是减函数，所以g(x)＝3x2－ax＋5在区间(－1，＋∞)内是增函数且g(x)>0在区间(－1，＋∞)内恒成立。所以
所以－8≤a≤－6，即a的取值范围是[－8，－6]。
答案 [－8，－6]
3．(配合例5使用)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－。
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围。
解 (1)由f(x)＝⇒2x－＝⇒2·(2x)2－3·2x－2＝0⇒(2x－2)(2·2x＋1)＝0。
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1。
(2)由2tf(2t)＋mf(t)≥0⇒2t＋m≥0⇒m(2t－2－t)≥－2t(22t－2－2t)。
又t∈[1,2]⇒2t－2－t>0⇒m≥－2t(2t＋2－t)，
即m≥－22t－1，只需m≥(－22t－1)max。
令y＝－22t－1，t∈[1,2]，
可得ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5。
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