2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第五章　平面向量与复数5.4

§5.4　平面向量的综合应用
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.
主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.



1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
平行向量基本定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，
其中a＝(x，y)，a为非零向量

(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
2.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.
3.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
4.向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.
概念方法微思考
1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？
提示　(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.
2.如何用向量解决平面几何问题？
提示　用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线.(　√　)
(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形.(　×　)
(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形.(　√　)
(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案　B
解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝＝2，||＝＝4，
||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形.
3.平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________.
答案　x＋2y－4＝0
解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.
题组三　易错自纠
4.在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________.
答案　－或或
解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，
解得k＝－；
②若B＝90°，则有·＝0，
因为＝－＝(－1，k－3)，
所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；
③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0，
解得k＝.
综上所述，k＝－或或.
5.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.
答案　5
解析　依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，
所以⊥，所以四边形ABCD的面积为
||·||＝××＝5.
6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则·的最大值为________.
答案　6
解析　方法一　由题意知，＝(2,0)，
令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α).
·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，
故·的最大值为6.
方法二　由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，
则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，
故·的最大值为6.

题型一　向量在平面几何中的应用
例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

答案　12
解析　(1)方法一　因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
方法二　如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，
C(m＋2，m)，B(n,0)，
其中m>0，n>0，
则由·＝2·，
得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.
故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.
答案　－9
解析　∵·＝2，
∴·－2＝·(－)
＝·＝0，
∴⊥，即BA⊥AC.
以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，
∴2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2
＝3x2－12x＋3y2－6y＋45
＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10].
∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2有最小值，此时·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.
思维升华　向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.
跟踪训练1　(1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·等于(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6
答案　C
解析　∵M 是BC边的中点，
∴＝(＋)，
∵O是△ABC 的外接圆的圆心，
∴·＝||·||cos∠BAO
＝||2＝×(2)2＝6.
同理可得·＝||2＝×(2)2＝4.
∴·＝(＋)·
＝·＋·＝×(6＋4)＝5.
(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.－2 D.－1
答案　C
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2).

设点P的坐标为(x，y)，
则＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)，
故·＋·＝·(＋)
＝2·＝2(x2＋y2－2y)
＝2－2≥－2，
当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.
所以·＋·的最小值为－2.
题型二　向量在解析几何中的应用
例2　(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，由||＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆.

由＝知，点M为PC的中点，
取AC的中点N，连接MN，
则|MN|＝|AP|＝，
所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆.
因为||＝3，
所以||的最大值为3＋＝，||2的最大值为.故选B.
(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.
答案　[－5，1]
解析　方法一　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).
因为A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)
或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋).因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，
即2x＋5≤.
当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].
方法二　设P(x，y)，
则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y).
∵·≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，

∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1，
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].
思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
跟踪训练2　(2019·沈阳质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，
B(0，－m)，设M(x，y)，
由于·＝0，
所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，
所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，
由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，
所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，
此时m2最大，m也最大.
|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，
所以xM＝3×sin 30°＝，yM＝3×sin 60°＝.故选C.

题型三　向量的其他应用

命题点1　向量在不等式中的应用
例3　已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A.[－1,0] B.[0,1] C.[1,3] D.[1,4]
答案　D
解析　作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，

设z＝·，
因为A(－1,2)，M(x，y)，
所以z＝·＝－x＋2y，
即y＝x＋z.
平移直线y＝x，由图象可知，
当直线y＝x＋z经过点C(0,2)时，截距最大，
此时z最大，最大值为4，
当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，
此时z最小，最小值为1，
故1≤z≤4，即1≤·≤4.
命题点2　向量在解三角形中的应用
例4　(2019·赤峰模拟)在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝·sin B.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC的面积.
解　(1)因为＝＋，
所以·cos C＋·cos A＝·sin B
＝(＋)·sin B，
即(cos C－sin B)＋(cos A－sin B)＝0.
而向量，是两个不共线的向量，
所以所以cos C＝cos A，
因为A，C∈(0，π)，
所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以2A＋B＝π，A＝－.
所以cos A＝cos＝sin ＝sin B，
所以sin ＝2sin cos ，
因为sin ≠0，所以cos ＝.
综合0<<，所以＝，B＝.
(2)由(1)知，A＝C＝，
由正弦定理，得＝，
所以||＝2，
S△ABC＝||||sin ＝×2×2×＝.
思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.
跟踪训练3　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.
解　(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，
m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，
又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.


1.在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，
2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形.
2.在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于(　　)
A.48 B.36 C.24 D.12
答案　C
解析　·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－2
＝×82－×62＝24，故选C.
3.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
答案　C
解析　由原等式，得－＝λ(＋)，
即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，
知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应的2倍，
所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，
因为f(x)有极值，
所以Δ＝|a|2－4a·b >0，
即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cos θ>0，
即cos θ<，所以θ∈.
5.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝16x D.y2＝4x
答案　B
解析　如图所示，由＝，得F为线段AB的中点，

∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，
由·＝48，得|BC|＝4.
则|AC|＝4，∴由中位线的性质，
有p＝|AC|＝2，
故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.
6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且＝λ，＝，则·的最大值为(　　)
A.－2 B.－ C. D.
答案　D
解析　因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，
所以ABCD是直角梯形，且CM＝，∠BCM＝30°，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为＝λ，＝，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈，
B(2,0)，P(2－λ，λ)，Q，
所以· ＝(2－λ，λ)·
＝5λ＋－4－.
令f(λ)＝5λ＋－4－且λ∈，
由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，
则f(λ)max＝f(1)＝5＋－4－＝.
7.在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.
答案　－8
解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，
由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，
∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.
8.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.
答案　
解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________.

答案　[－5,5]
解析　如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，
则＝(1,0)，＝(x，y)，
所以·＝(x，y)·(1,0)＝x.
因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，
所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.
10.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.
答案　3
解析　画出图形如图所示.由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y＝－1.

设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.
由题意得△NPM∽△NOF，
又＝，即M为FN的中点，
∴||＝|OF|＝，|OP|＝＝，
∴||＝＋1＝，|ON|＝2|OP|＝2，
∴||＝||＝.
又＝＝，
即＝＝，解得||＝3.
11.已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，＝(2,2)，且与的夹角为，·＝2.
(1)求点D的坐标；
(2)当m为何值时，＋m与垂直.
解　(1)设C(x，y)，D(a，b)，则＝(x＋1，y－2).
∵与的夹角为，·＝2，
∴＝＝，
化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①
又·＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②
联立①②解得或
又点C在第二象限，∴C(－1,3).
又＝，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，解得a＝－3，b＝1.
∴D(－3,1).
(2)由(1)可知＝(0,1)，
∴＋m＝(2m,2m＋1)，
＝－＝(－2，－1).
∵＋m与垂直，
∴(＋m)·＝－4m－(2m＋1)＝0，
解得m＝－.
12.已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cos B＝，求b的值.
解　(1)∵m⊥n，
∴m·n＝sin A＋(cos A＋1)×(－1)＝0，
∴sin A－cos A＝1，∴sin＝.
∵0 ∴A－＝，∴A＝.
(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cos B＝，
∴sin B＝＝＝.
由正弦定理知＝，
∴b＝＝＝，
∴b＝.

13.(2018·包头模拟)已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则·的最小值为(　　)
A.－4 B.－25 C.－9 D.－16
答案　D
解析　以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

设点H(x，y)，则B(－5,0)，C(5,0)，
所以＝(－5－x，－y)，＝(5－x，－y)，
则·＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)
＝x2＋y2－25，
又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，
所以9≤x2＋y2≤25，
其中当取AB的中点时取得最小值，
所以·＝9－25＝－16，故选D.
14.如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)· 的最小值为________.

答案　－
解析　∵圆心O是直径AB的中点，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵||＋||＝3≥2，
∴||·||≤，
即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，
故最小值为－.

15.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则(　　)
A.|a－c|max＝ B.|a＋c|max＝
C.|a－c|min＝ D.|a＋c|min＝
答案　A
解析　由已知可得a·b＝|a||b|cos θ＝2，
cos θ＝，θ＝，
建立平面直角坐标系，a＝＝(2,0)，
b＝＝(1，)，c＝＝(x，y)，
由c·(a＋2b－2c)＝2，
可得(x，y)·(4－2x,2－2y)＝2，
即4x－2x2＋2y－2y2＝2，
化简得C点轨迹为(x－1)2＋2＝，
则|a－c|＝，
转化为圆上点与(2,0)的距离
|a－c|max＝＋＝.
16.已知||＝||＝1，点C在线段AB上，且||的最小值为，求|－t|(t∈R)的最小值.
解　∵||＝||＝1，
∴点O在线段AB的垂直平分线上.
∵点C在线段AB上，且||的最小值为，
∴当C是AB的中点时||最小，此时||＝，
∴与的夹角为60°，
∴，的夹角为120°.
又|－t|2＝2＋t22－2t·
＝1＋t2－2t·1·1·cos 120°
＝t2＋t＋1
＝2＋≥，当且仅当t＝－时等号成立.
∴|－t|2的最小值为，
∴|－t|的最小值为.