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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第十二章系列4选讲12.1第1课时
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§12.1 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
最新考纲
考情考向分析
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.
1.平面直角坐标系
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：
或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)
概念方法微思考
1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？
提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × )
题组二 教材改编
2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ＝，0≤θ≤
B.ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
∴ρ＝.
3.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B. C.(1,0) D.(1，π)
答案 B
解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.
题组三 易错自纠
4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2＋y2－2y＝0
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsin θ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0).
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝a，
∴B点的坐标为.
又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴2＋a2－4a＝0，
即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
所以a＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1.(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；
(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程.
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2(r>0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.
所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π).
(2)方法一 把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，化简得x2＋y2－8y＝0，
即x2＋(y－4)2＝16.
方法二 方程ρ＝8sin θ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.
2.在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.
解 (1)∵C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0表示一条直线.
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆.
(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，
∴直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A，B的连线是圆C2的直径.
∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1，得x2＋2＝1，
即曲线C的标准方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，
于是所求直线的方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程；
(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
解 (1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，
∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.
又直线l的参数方程为(t为参数)，
消去t后得y＝x＋1，
∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.
(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，
∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，
∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.
题型三 极坐标方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为，
故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
思维升华 极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
1.在极坐标系中，已知圆C被直线θ＝截得的弦长为，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解 由已知在直线ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
∴圆C的圆心的极坐标为C(1,0).
又圆C被直线θ＝截得的弦长为，
∴圆心C到直线θ＝的距离为d＝1×sin＝，
∴圆C的半径为r＝＝1.
又圆C过坐标原点，
∴圆C的极坐标方程为＝cos θ，即ρ＝2cos θ.
2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝4，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
解 (1)圆C的参数方程为(φ为参数)，
消去参数可得圆C的普通方程为x2＋(y－3)2＝9.
(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ＝6sin θ，
设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝3，θ1＝，
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝4，θ2＝，∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1.
3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|·|OB|的值.
解 (1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为y＝＋(x－1)，
即y＝x，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
又∵曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴x2＋y2＝4x＋2y－4，即(x－2)2＋(y－)2＝3，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)∵将直线l：θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，得ρ2－5ρ＋4＝0，
设直线l与曲线C的两交点A，B的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，∴|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝4.
4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.
解 (1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝16cos2α，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，
|OA|2＋|OB|2＝4＋12cos2α，0<α<，
∴|OA|2＋|OB|2∈(4,16).
5.在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l1，C的极坐标方程；
(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积.
解 (1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，
C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.
将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋，
故△OAB的面积为×(1＋)2×sin ＝1＋.
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求＋的值.
解 (1)将M及对应的参数φ＝，
代入得即
所以曲线C1的方程为φ为参数，
所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.
设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的极坐标方程为ρ＝2Rcos θ(或(x－R)2＋y2＝R2)，
将点D代入ρ＝2Rcos θ，得1＝2Rcos ，
即R＝1，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
所以曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设A(ρ1，θ)，B在曲线C1上，
所以＋ρsin2θ＝1，＋ρcos2θ＝1，
所以＋＝＋＝＋＝.
第1课时 坐标系
最新考纲
考情考向分析
1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.
1.平面直角坐标系
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：
或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)
概念方法微思考
1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？
提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.( √ )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × )
题组二 教材改编
2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ＝，0≤θ≤
B.ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
答案 A
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
∴ρ＝.
3.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B. C.(1,0) D.(1，π)
答案 B
解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.
题组三 易错自纠
4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.
5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2＋y2－2y＝0
解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.
解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4.
由ρsin θ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0).
设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.
由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.
在Rt△DOB中，易求DB＝a，
∴B点的坐标为.
又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴2＋a2－4a＝0，
即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.
所以a＝3.
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1.(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；
(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程.
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2(r>0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.
所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π).
(2)方法一 把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，
得＝8·，化简得x2＋y2－8y＝0，
即x2＋(y－4)2＝16.
方法二 方程ρ＝8sin θ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.
2.在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.
解 (1)∵C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0表示一条直线.
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆.
(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，
∴直线C1过圆C2的圆心.
因此两交点A，B的连线是圆C2的直径.
∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.
思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.
题型二 求曲线的极坐标方程
例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1，得x2＋2＝1，
即曲线C的标准方程为x2＋＝1.
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，
于是所求直线的方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝.
思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.
(1)求圆C和直线l的极坐标方程；
(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
解 (1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，
∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.
又直线l的参数方程为(t为参数)，
消去t后得y＝x＋1，
∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.
(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，
∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，
∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.
题型三 极坐标方程的应用
例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为，
故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
∴＋＝＝＝.
思维升华 极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位.
(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.
跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.
解 (1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，
于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
1.在极坐标系中，已知圆C被直线θ＝截得的弦长为，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解 由已知在直线ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
∴圆C的圆心的极坐标为C(1,0).
又圆C被直线θ＝截得的弦长为，
∴圆心C到直线θ＝的距离为d＝1×sin＝，
∴圆C的半径为r＝＝1.
又圆C过坐标原点，
∴圆C的极坐标方程为＝cos θ，即ρ＝2cos θ.
2.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的普通方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝4，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
解 (1)圆C的参数方程为(φ为参数)，
消去参数可得圆C的普通方程为x2＋(y－3)2＝9.
(2)化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ＝6sin θ，
设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝3，θ1＝，
设Q(ρ2，θ2)，则由
解得ρ2＝4，θ2＝，∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1.
3.已知直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|·|OB|的值.
解 (1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，
∴直线l的普通方程为y＝＋(x－1)，
即y＝x，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
又∵曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴x2＋y2＝4x＋2y－4，即(x－2)2＋(y－)2＝3，
∴曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)∵将直线l：θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4，得ρ2－5ρ＋4＝0，
设直线l与曲线C的两交点A，B的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，∴|OA|·|OB|＝ρ1ρ2＝4.
4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.
解 (1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝16cos2α，
联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝4sin2α，
|OA|2＋|OB|2＝4＋12cos2α，0<α<，
∴|OA|2＋|OB|2∈(4,16).
5.在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l1，C的极坐标方程；
(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积.
解 (1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，
C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.
将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋，
故△OAB的面积为×(1＋)2×sin ＝1＋.
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求＋的值.
解 (1)将M及对应的参数φ＝，
代入得即
所以曲线C1的方程为φ为参数，
所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.
设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的极坐标方程为ρ＝2Rcos θ(或(x－R)2＋y2＝R2)，
将点D代入ρ＝2Rcos θ，得1＝2Rcos ，
即R＝1，
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
所以曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设A(ρ1，θ)，B在曲线C1上，
所以＋ρsin2θ＝1，＋ρcos2θ＝1，
所以＋＝＋＝＋＝.
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