2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第3讲　三角函数的图象与性质


第3讲　三角函数的图象与性质
基础知识整合

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，
在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象



定义域
x∈R
x∈R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减
在＋kπ，(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇
偶
奇
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
最小正
周期
2π
2π
π


1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
4．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.
2．(2019·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间上是增函数的是(　　)
A．y＝sin2x B．y＝sinx
C．y＝tan D．y＝cos2x
答案　D
解析　y＝sin2x在区间上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝＝2π；y＝tan的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D.
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
答案　B
解析　根据题意，有f(x)＝cos2x＋，所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，且最大值为f(x)max＝＋＝4.故选B.
4．(2019·长沙模拟)函数y＝sin，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)
A. B．和
C. D．
答案　C
解析　令z＝x＋，函数y＝sinz的单调递增区间为(k∈Z)，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，又因为x∈[－2π，2π]，
故其单调递增区间是.故选C.
5．(2019·衡水中学调研)函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－
C. D．0
答案　B
解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

核心考向突破
考向一　三角函数的定义域　
例1　(1)(2019·烟台模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D．R
答案　C
解析　由cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
(2)(2019·江苏无锡模拟)函数y＝lg sin2x＋的定义域为________．
答案　∪
解析　由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.∴函数y＝lg sin2x＋的定义域为∪.



(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．
(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴．
(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．



[即时训练]　1.函数y＝的定义域为(　　)
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由2sinx－1≥0，得sinx≥，所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
2．函数y＝lg (sinx－cosx)的定义域是________．
答案　
解析　要使函数有意义，必须使sinx－cosx>0.
解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：

在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx>cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为.

解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx，只须 所以定义域为.
解法三：sinx－cosx＝sin>0，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ 所以定义域为.
考向二　三角函数的值域　 　　
例2　(1)函数f(x)＝3sin在上的值域为________．
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，∴函数f(x)在上的值域是.
(2)设x∈，函数y＝4sin2x－12sinx－1的值域为________．
答案　[－9,6]
解析　令t＝sinx，由于x∈，故t∈，所以y＝4t2－12t－1＝42－10，因为当t∈时，函数单调递减，所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.
则函数的值域为[－9,6]．
(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________．
答案　2
解析　令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，
∴t＝sin，t∈[－1，]．
由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，
即sinxcosx＝.
∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1，]．
即y＝－t2＋t＋.
∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；
当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.
故函数的最大值与最小值的差为2.


三角函数值域的求法
(1)利用y＝sinx和y＝cosx的值域直接求．
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．
(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域，如y＝asin2x＋bsinx＋c，可先设sinx＝t，转换为关于t的二次函数求值域．
(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域．



[即时训练]　3.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．
答案　2－
解析　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1，
故－≤2sin≤2.
即函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.∴函数的最大值与最小值的和为2－.
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
答案　1
解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－
＝－2＋1.
∵x∈，∴cosx∈[0,1]，
∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.
精准设计考向，多角度探究突破
考向三　三角函数的性质
角度1　　三角函数的奇偶性
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3　(1)已知函数y＝2sin是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B．
C. D．
答案　B
解析　因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．故选B.
(2)(2019·哈尔滨模拟)若函数y＝3cos为奇函数，则|φ|的最小值为________．
答案　
解析　依题意得，－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.
角度2　　三角函数的对称性　 　
例4　(1)(2019·东北三省四市联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则下列选项正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
答案　B
解析　设函数f(x)的最小正周期为T，依题意得T＝＝π，ω＝2，f(x)＝2sin.f＝2sin＝2≠0，因此函数f(x)的图象不关于点对称，A不正确．f＝2sin＝0，因此函数f(x)的图象关于点对称，B正确，D不正确．f＝2sin＝1≠±2，因此函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C不正确．综上所述，选B.
(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
答案　－
解析　∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，∴x＝时，函数取得最大值或最小值，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，
又－<φ<，∴φ＝－.
角度3　　三角函数的单调性　　
例5　(1)函数y＝2sin(x∈[0，π])的增区间是(　　)
A. B．
C. D．
答案　C
解析　∵y＝2sin＝－2sin，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为，k∈Z，∴当k＝0时，增区间为.
(2)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．(0,2)
答案　A
解析　由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
∵f(x)＝sin在上单调递减，
∴解得
令k＝0，得≤ω≤.故选A.



1．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对y＝Asin(ωx＋φ)，代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大值或最小值则为偶函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题
(1)∵y＝sinx的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，
∴y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x即可．
(2)∵y＝sinx的对称轴是直线x＝kπ＋，k∈Z，
∴由ωx＋φ＝kπ＋解出x，即可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴．
(3)注意y＝tanx的对称中心为(k∈Z)．
3．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数(y＝sinx、y＝cosx、y＝tanx)的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．
提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域．
4．利用单调性确定ω的范围的方法
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题，利用特值验证、排除法求解更为简便．



[即时训练]　5.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案　A
解析　作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．

由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.
6．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B．
C. D．π
答案　A
解析　∵f(x)＝cosx－sinx＝cos，
∴由2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，因此[－a，a]⊆.
∴－a 7．若函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，且－<φ<，则函数y＝f为(　　)
A．奇函数且在内单调递增
B．偶函数且在内单调递增
C．偶函数且在内单调递减
D．奇函数且在内单调递减
答案　D
解析　∵函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－.∵－<φ<，∴φ＝－，
∴f(x)＝cos，∴f＝cos＝－sin2x，
∴f为奇函数．
由2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋.令k＝0得函数f的一个单调递减区间为，∴函数f在内单调递减．

(2019·龙岩模拟)已知函数f(x)＝2asin＋a＋b的定义域是[0，]，值域是[－5,1]，求a，b的值．
解　因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，,－≤sin≤1.
所以当a>0时，解得
当a<0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
答题启示
(1)对此类问题的解决，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，但要注意对A的正负进行讨论，以便确定是最大值还是最小值；
(2)再由已知列方程求解；
(3)本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论，导致漏解．
对点训练
已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是(　　)


答案　D
解析　当a＝0时，f(x)＝1，即图象C；当02π，即图象A；当a>1时，三角函数的最大值为a＋1 >2，且最小正周期为T＝<2π，即图象B.