2021高考数学一轮复习学案：第二章2.8函数的图象

§2.8　函数的图象

1．函数的图象

将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f (x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．

2．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．

3．图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f (x)y＝－f (x)．

②y＝f (x)y＝f (－x)．

③y＝f (x)y＝－f (－x)．

④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．

(3)伸缩变换

①y＝f (x)

y＝f (ax)．

②y＝f (x)

y＝af (x)．

(4)翻折变换

①y＝f (x)y＝|f (x)|.

②y＝f (x)y＝f (|x|)．

概念方法微思考

1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？

提示　f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．

2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是g(x)＝2b－f (2a－x)．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝f (1－x)的图象，可由y＝f (－x)的图象向左平移1个单位得到．(　×　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同．(　×　)

(3)函数y＝f (x)的图象关于y轴对称即函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称．(　×　)

(4)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)

题组二　教材改编

2．函数f (x)＝x＋的图象关于(　　)

A．y轴对称   B．x轴对称

C．原点对称   D．直线y＝x对称

答案　C

解析　函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.

3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)

答案　③

解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．

4．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是__________．

答案　(－1,1]

解析　在同一坐标系内作出y＝f (x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．

由图象知不等式的解集是(－1,1]．

题组三　易错自纠

5．函数f (x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)

答案　A

解析　依题意，得函数定义域为R，且f (－x)＝ln(x2＋1)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，即函数f (x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f (x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.

6．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)

A．a>1  B．0<a<1  C．b>0  D．b<0

答案　AD

解析　因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.

7．将函数f (x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．

答案　y＝(2x＋3)2

作函数的图象

分别作出下列函数的图象：

(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.

解　(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．

(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．

(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．

(4)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．

思维升华 图象变换法作函数的图象

(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．

(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

函数图象的辨识

例1　(1)(2019·武汉质检)函数f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为(　　)

答案　B

解析　∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且

f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)，

∴f (x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；

当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f (x)<0，排除A，C.

(2)设函数f (x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(　　)

A．y＝f (|x|)   B．y＝－|f (x)|

C．y＝－f (－|x|)   D．y＝f (－|x|)

答案　C

解析　题图中是函数y＝－2－|x|的图象，

即函数y＝－f (－|x|)的图象，故选C.

思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．

跟踪训练1　(1)函数f (x)＝·sin x的图象的大致形状为(　　)

答案　A

解析　∵f (x)＝·sin x，

∴f (－x)＝·sin(－x)

＝－sin x＝·sin x＝f (x)，

且f (x)的定义域为R，

∴函数f (x)为偶函数，故排除C，D；

当x＝2时，f (2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合．

(2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是(　　)

A．f (x)＝ B．f (x)＝

C．f (x)＝－1 D．f (x)＝x－

答案　A

解析　由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f (x)＝x－，则x→＋∞时，f (x)→＋∞，排除D，故选A.

函数图象的应用

命题点1　研究函数的性质

例2　(1)已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f (x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)

B．f (x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

C．f (x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)

D．f (x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

答案　C

解析　将函数f (x)＝x|x|－2x

去掉绝对值，得

f (x)＝

画出函数f (x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

(2)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

答案　C

解析　画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图所示．由图可知，y的最小值为22＝6－2＝4，故选C.

命题点2　确定零点个数、解不等式

例3　已知f (x)＝则函数y＝2f 2(x)－3f (x)＋1的零点个数是________．

答案　5

解析　方程2f 2(x)－3f (x)＋1＝0的解为f (x)＝或1.

作出y＝f (x)的图象，由图象知零点的个数为5.

对本例中函数f (x)，不等式f (x)≤1的解集为________．

答案　

解析　由图象可知f (0)＝1，当≤x≤10时，f (x)≤1.

∴不等式f (x)≤1的解集为.

命题点3　求参数的取值范围

例4　(2020·唐山月考)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．

答案　

解析　先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.

若f (x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．

答案　

解析　如图作出函数f (x)的图象，

当－1≤k<时，

直线y＝kx的图象恒在函数y＝f (x)的下方．

思维升华　(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．

(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．

跟踪训练2　(1)已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

答案　C

解析　画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是______．

答案　(－1,0)

解析　在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．

(3)设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．

答案　[－1，＋∞)

解析　如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．