2021高考数学一轮复习学案:第四章4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式
展开§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ+α(k∈Z) | π+α | -α | π-α | -α | +α |
正弦 | sin α | -sin α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | -cos α | cos α | -cos α | sin α | -sin α |
正切 | tan α | tan α | -tan α | -tan α |
|
|
口诀 | 函数名改变,符号看象限 | 函数名不变,符号看象限 |
概念方法微思考
1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.
2.诱导公式记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?
提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.( × )
题组二 教材改编
2.若sin α=,<α<π,则tan α= .
答案 -
解析 ∵<α<π,
∴cos α=-=-,
∴tan α==-.
3.已知tan α=2,则的值为 .
答案 3
解析 原式===3.
4.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为 .
答案 -sin2α
解析 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.
题组三 易错自纠
5.已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ的值为 .
答案 -
解析 ∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=.
又∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,θ∈,
∴sin θ-cos θ=-.
6.若sin(π+α)=-,则sin(7π-α)= ;cos= .
答案
解析 由sin(π+α)=-,得sin α=,
则sin(7π-α)=sin(π-α)=sin α=,
cos=cos=cos
=cos=sin α=.
同角三角函数基本关系式的应用
1.已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于( )
A.- B. C.- D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角,sin α=-,
所以cos α==,
故tan α==-.
2.已知α是三角形的内角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为 .
答案 -
解析 由tan α=-,得sin α=-cos α,
将其代入sin2α+cos2α=1,
得cos2α=1,
所以cos2α=,易知cos α<0,
所以cos α=-,sin α=,
故sin α+cos α=-.
3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为 .
答案 -3
解析 由角α的终边落在第三象限,
得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
4.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ= .
答案 -
解析 方法一 由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=-,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,
所以sin θ-cos θ==,
联立解得
所以tan θ=-.
方法二 因为sin θ+cos θ=,
所以sin θcos θ=-,
由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x2-x-=0的两根,所以x1=,x2=-.
又sin θcos θ=-<0,θ∈(0,π),
所以sin θ>0,cos θ<0.
所以sin θ=,cos θ=-.
所以tan θ==-.
方法三 由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=-,
所以=-.
齐次化切,得=-,
即60tan2θ+169tan θ+60=0,
解得tan θ=-或tan θ=-.
又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=>0,sin θcos θ=-<0,
所以θ∈,所以tan θ=-.
思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
诱导公式的应用
例1 (1)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan= .
答案 -
解析 因为θ是第四象限角,且sin=,
所以θ+为第一象限角,
所以cos=,
所以tan==
=-=-.
(2)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
答案 C
解析 当k为偶数时,A=+=2;
当k为奇数时,A=-=-2.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
跟踪训练1 (1)已知sin=,则cos等于( )
A. B. C.- D.-
答案 B
解析 因为sin=,
所以cos=sin
=sin=.
(2)(2019·扬州四校联考)已知角α是第二象限角,且满足sin+3cos(α-π)=1,则tan(π+α)等于( )
A. B.-
C.- D.-1
答案 B
解析 由sin+3cos(α-π)=1,
得cos α-3cos α=1,∴cos α=-,
∵角α是第二象限角,∴sin α=,
∴tan(π+α)=tan α==-.
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 由tan 2θ=-2可得tan 2θ==-2,
即tan2θ-tan θ-=0,
解得tan θ=或tan θ=-.
又角θ的终边在第三象限,故tan θ=,
故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ
=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ
==
==.
(2)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-.求的值.
解 由已知,得sin x+cos x=,
两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,
整理得2sin xcos x=-.
∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
由-π<x<0知,sin x<0,
又sin xcos x=-<0,
∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,
故sin x-cos x=-.
=
=
==-.
本例(2)中若将条件“-π<x<0”改为“0<x<π”,求sin x-cos x的值.
解 若0<x<π,又2sin xcos x=-,
∴sin x>0,cos x<0,
∴sin x-cos x>0,故sin x-cos x=.
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
跟踪训练2 (1)已知sin α=,则tan(α+π)+= .
答案 或-
解析 因为sin α=>0,
所以α为第一或第二象限角.
tan(α+π)+=tan α+=+=.
①当α是第一象限角时,cos α==,
原式==.
②当α是第二象限角时,cos α=-=-,
原式==-.
综合①②知,原式=或-.
(2)若tan(5π+α)=m,则的值为( )
A. B. C.-1 D.1
答案 A
解析 ∵tan(5π+α)=m,∴tan α=m.
原式===.