2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第9章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
[最新考纲]　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)两种研究方法：
①
②

2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
位置
关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解

1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
2．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]　　　 B．[－1，3]
C．[－3，1]　 D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C　[由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　[两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2 ∴两圆相交．]
3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
x－y＋2＝0　[因为点P(1，)是圆Q：x2＋y2－4x＝0上的一点，
故在点P处的切线方程为x－y＋2＝0.]
4．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
2　[由得x－y＋2＝0.
由于x2＋y2－4＝0的圆心为(0，0)，半径r＝2，且圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以公共弦长为2＝2＝2.]

考点1　直线与圆的位置关系
　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交，上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
　(1)[一题多解]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(3)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)A　(2)D　(3)C　[(1)法一：(代数法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)∵圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．
法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，∵点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．
(2)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1，1)，半径r＝1.因为直线与圆相交，所以d＝0或m<0.故选D.
(3)如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．]
　(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，d>r或d 　1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
B　[因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1.所以直线与圆相交．]
2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．
[1，)　[画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．]
考点2　圆与圆的位置关系
　几何法判断圆与圆的位置步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解]　(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和圆C2相交．
(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为＝3，故公共弦长为2＝2.
　求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
　1.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　[由得两交点为(0，0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，
∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，
即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0，2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，∴两圆相交．]
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
C　[圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，
解得m＝9，故选C.]
考点3　直线、圆的综合问题
　切线问题
　过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证．
　已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝x－(＋1)，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
当切线为x＝3时，切线长为1.
　(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
　由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2
C. D．3
C　[如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即＝2时|PM|最小为，故选C.]
　弦长问题
　弦长的2种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
　(1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
(1)B　(2)2　[(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
(2)由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]
　求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．
　 (2019·太原一模)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．3 B．6
C．4 D．2
D　[将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，
|EF|＝＝，
|BD|＝2＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|×|BD|＝2.]
　直线与圆的综合问题
　直线与圆的综合问题的求解策略
(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用．
　已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)设圆心C(a，0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
　本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分∠ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解．
[教师备选例题]
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解]　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又BC＝OA＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.]
　已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解]　(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，
解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.