2020版高考新创新一轮复习数学（理）通用版讲义：第九章第六节曲线与方程

第六节 曲线与方程

1.了解曲线与方程的对应关系．
2.能够根据所给条件选择恰当的方法(直接法、定义法、代入法) 求曲线的轨迹方程．


1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k.(　　)
(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0.(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、填空题
1．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．
答案：一个点(2，－2)
2．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为________．
答案：x2＋y2＝16　　 　　　　　

方法一　直接法求轨迹方程　
[例1]　(1)(2019·葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
(2)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________________．
[解析]　(1)设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，
即G为△ABC的重心，得G.又||＝||＝||，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又∥，则有M.所以x2＋2＝4＋，化简得＋＝1，y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．
(2)设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
[答案]　(1)B　(2)(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
[方法技巧]
利用直接法求轨迹方程的方法及注意点
如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程．
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．　　
[针对训练]
(2019·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)
A．x2＝4y　　　　　　　 　B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－ 1)．∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
方法二　定义法求轨迹方程　
[例2]　已知圆M：(x＋)2＋y2＝36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在直线NP上，点G在直线MP上，且满足＝2，·＝0.
(1)求点G的轨迹C的方程．
(2)过点(2,0)作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得·≤1，若存在，求出直线l斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)∵
∴Q为线段PN的中点且GQ⊥PN，
则GQ为PN的垂直平分线，故|PG|＝|GN|，
∴|GN|＋|GM|＝|PM|＝6，
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝3，c＝，∴b＝2，
∴点G的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(9k2＋4)x2－36k2x＋36(k2－1)＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
故y1y2＝[k(x1－2)][k(x2－2)]＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－，
则·＝x1x2＋y1y2＝≤1，
解得－≤k≤.
故存在这样的直线l，使得·≤1，此时直线l斜率k的取值范围是.
[方法技巧]
定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点
(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．　　
[针对训练]
已知圆C与两圆C1：x2＋(y＋4)2＝1，C2：x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
解：(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率不存在，所以圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.
(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，从而＝1，即p＝2，所以轨迹Q的方程是x2＝4y.
方法三　代入法求轨迹方程　
[例3]　(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ ，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在椭圆C上，
所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[方法技巧]
代入法求轨迹方程的注意事项及4个步骤
当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x′，y′)(称之为相关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成关于x，y的式子，同时要注意x′，y′的限制条件．
(1)设出所求动点坐标P(x，y)．
(2)寻求与所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．
(3)建立P，Q两坐标的关系表示出x′，y′.
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．　　
[针对训练]
已知曲线E：ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．
解：设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M，
故＝，＝.
由于＝－2，∴＝－2.
∴x0＝，y0＝－1，即A.
∵A，B都在曲线E上，
∴
解得
∴曲线E的方程为x2＋＝1.
[课时跟踪检测]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)
A．一条直线和一条双曲线　 B．两条双曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
解析：选C　(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔故或
2．(2018·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B　双曲线x2－＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过点F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
3．(2018·四川雅安调研)设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．两条平行直线
C．抛物线 D．双曲线
解析：选B　设P(1，a)，Q(x，y)．以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，·a＝－1，x＝－ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1＞0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝－1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线．
4．(2018·云南质量检测)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
解析：选D　MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.
5．(2019·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析：选D　因为M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，所以椭圆的方程为＋＝1.
6．(2018·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：选A　设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.
由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，
故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.
将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
7．(2019·杭州七校质量检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B　不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|＝|F2S|＝(|QS|－|QF2|)＝(|QF1|－|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆．
8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且MN的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|－|NB|的值为(　　)
A．26 B．－26
C．52 D．－52
解析：选D　设MN的中点为P，由几何关系结合三角形中位线可得|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|－|NB|＝2(|PF1|－|PF2|)，又点P位于双曲线的左支，则|NA|－|NB|＝2(|PF1|－|PF2|)＝2×(－2a)＝－4a＝－4×13＝－52.故选D.
9．(2019·六安一中月考)如图，已知F1，F2是椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：选B　延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|＝|PM|，且Q为线段F2M的中点．又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|＝|F1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.
10．(2019·遵义第四中学月考)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)
解析：选A　设动圆的半径为r，由题意可得MC1＝r＋，MC2＝r－，所以MC1－MC2＝2＝2a＜8，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4，则b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)，故选A.
11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．
解析：因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.
答案：x2＝2y－1
12．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
13．(2019·漳州联考)已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为________．
解析：不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx＋1，翻转后的A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则联立得x2－4kx－4＝0，①
易得抛物线x2＝4y在点A处的切线方程为y－x＝x1·(x－x1)，同理可得抛物线x2＝4y在点B处的切线方程为y－x＝x2(x－x2)．
联立得y＝x1x2，再由①可得x1x2＝－4，所以y＝－1.
故点P的轨迹方程为x＝－1.
答案：x＝－1
14．(2019·湖北部分重点中学联考)设A(－2,0)，B(－1,0)，C(1,0)，动圆D与x轴相切于A点，如图，过B，C两点分别作圆D的非x轴的两条切线，两条切线交点为P.
(1)证明：|PB|＋|PC|为定值，并写出点P的轨迹方程；
(2)设动直线l与圆x2＋y2＝1相切，又l与点P的轨迹交于M，N两点，求·的取值范围．
解：(1)证明：设直线PB和PC与圆D分别相切于点E和点F.
由切线长定理得|PE|＝|PF|，
则|PB|－|EB|＝|CF|－|PC|，
又|CA|＝|CF|＝3，|AB|＝|EB|＝1，
所以|PB|＋|PC|＝|CF|＋|EB|＝3＋1＝4，
所以|PB|＋|PC|为定值4.
所以点P的轨迹是以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以c＝1，a＝2，b2＝3，所以点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝±1，
不妨设M，N，则·＝－.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
M(x1，y1)，N(x2，y2)．
因为直线l与单位圆相切，所以＝1，
则m2＝k2＋1.①
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则
所以·＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1·x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，②
把①代入②得·＝－＝－.
因为4k2＋3≥3，所以·∈.
(ⅲ)当l：y＝kx＋m过点(－2,0)或(2,0)时，k＝±，
即y＝±(x＋2)或y＝±(x－2)，则·＝－，
综上，·的取值范围为∪.
15．(2019·丹东期末)已知动点E到点A(2,0)与点B(－2，0)的斜率之积为－，点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(1,0)作直线l与曲线C交 于P，Q两点，求·的最大值．
解：(1)设E(x，y)，则x≠±2.因为动点E到点A(2,0)与点B(－2,0)的斜率之积为－，
所以·＝－，整理得曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±2)．
(2)当l垂直于x轴时，l的方程为x＝1，
代入＋y2＝1得P，Q.
所以·＝·＝.
当l不垂直于x轴时，依题意可设y＝k(x－1)(k≠0)，代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
因为Δ＝16(1＋3k2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2
＝(1＋k2)－＋k2
＝
＝－＜.
综上，·≤，当l垂直于x轴时等号成立，故·的最大值是.
16．(2019·合肥调研)已知M为椭圆C：＋＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足＝.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、 右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围．
解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m,0)，且y≠0.
由＝，得(m－x，－y)＝(0，－n)，
则有⇒
又M(m，n)为椭圆C：＋＝1上的点，
∴＋＝1，即x2＋y2＝25，
故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．
(2)依题意知A(－5,0)，B(5,0)，F(－4,0)，
设Q(x0，y0)，
∵线段AB为圆E的直径，
∴AP⊥BP，
设直线PB的斜率为kPB，则kPA＝－，
＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·
＝－＝－
＝＝＝.
∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，
∴－5＜x0＜5且x0≠－4，
又y＝在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，
∴∈(－∞，0)∪，
故的取值范围是(－∞，0)∪.