2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第十二章第二节　直接证明与间接证明

第二节　直接证明与间接证明

1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．
2.了解反证法的思考过程和特点．

突破点一　直接证明


内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
思维过程
由因导果
执果索因
框图表示
→→…→
→→…→
书写格式
“因为……，所以……”
或“由……，得……”
“要证……，只需证……，
即证……”

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)
(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、填空题
1．设x＝，y＝－，z＝－，则x，y，z的大小关系是________．
答案：x＞z＞y
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是____________________．
答案：(a－b)(a－c)＞0
3．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
答案：cn＋1＜cn


考法一　综合法　
综合法是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
[例1]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列．
(2)若C＝，求证：5a＝3b.
[证明]　(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，
所以5a＝3b.
[方法技巧]　综合法证明问题的思路

考法二　分析法　
[例2]　已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
[证明]　a⊥b⇔a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
[方法技巧]
1．分析法证明问题的思路
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
2．分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．　　

1.已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
2.已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a＜b＜c)在x＝1处取得极值，且函数f(x)的图象上有一点处的切线的斜率为－a.
(1)求证：0≤＜1；
(2)若f(x)在区间(s，t)上为增函数，求证：－2＜s＜t≤1.
证明：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，
得f′(x)＝ax2＋bx＋c.
∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝a＋b＋c＝0.
又a＜b＜c，∴a＜0，c＞0.
∵f(x)的图象上有一点处的切线的斜率为－a，
∴方程ax2＋bx＋c＋a＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4a(a＋c)≥0，即b2－4a(－b)≥0，
整理得2＋4·≥0，解得≥0或≤－4.
由a＋b＋c＝0，b＜c，得b＜－a－b，∴＞－.
由a＜b且a＜0，得＜1.综上，可得0≤＜1.
(2)若f(x)在区间(s，t)上为增函数，
则f′(x)＝ax2＋bx＋c在区间(s，t)上恒非负．
∵a＜0，c＞0，∴b2－4ac＞0，
故方程f′(x)＝0必有两个不相等的实数根，
设为x1，x2，且x1＜x2.
∵二次函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴方程为x＝－，由(1)，得－≤0，而f′(1)＝0，∴x2＝1.
又f′(－2)＝4a－2b＋c＝4a－2b－a－b＝3(a－b)＜0，
∴x1＞－2.
若f′(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1≤s＜t≤x2，
∴－2＜s＜t≤1.
突破点二　间接证明


1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．用反证法证明问题的一般步骤
第一步
分清命题“p⇒q”的条件和结论
第二步
作出命题结论q相反的假设綈q
第三步
由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果
第四步
断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真
3.常见的结论和反设词
原结论词
反设词

原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有

对任意x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个

对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有(n－1)个

p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有(n＋1)个

p且q
綈p或綈q
都是
不都是

不都是
都是


一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　)
(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)
(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．(　　)
(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、填空题
写出下列命题的否定．
(1)若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；
否定为______________________________________________________________；
(2)若p＞0，q＞0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；
否定为_____________________________________________________________；
(3)所有的正方形都是矩形；
否定为_____________________________________________________________；
(4)至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
否定为_____________________________________________________________．
答案：(1)若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数
(2)若p＞0，q＞0，p3＋q3＝2，则p＋q＞2
(3)至少存在一个正方形不是矩形
(4)不存在实数x，使x2＋1＝0


[典例]　设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[解]　(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S＝S1·S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
[方法技巧]
反证法证明问题的3步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)　　
[针对训练]
1．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
证明：假设三个方程都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
上述三个式子相加得：
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由已知a，b，c是互不相等的非零实数．
因此，上式“＝”不能同时成立，又(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＜0与事实不符，
故ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
2．已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，
故SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，
所以SA⊥平面ABCD.
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴假设不成立．
故在棱SC上不存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.

[课时跟踪检测]
1．(2019·山西十二校模拟)用反证法证明命题“已知a，b∈N*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除　　 　B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
解析：选B　用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而至少有一个能被5整除的否定是都不能被5整除，故作的假设是“a，b都不能被5整除”．
2．分析法又称执果索因法，已知x＞0，用分析法证明＜1＋时，索的因是(　　)
A．x2＞2 B．x2＞4
C．x2＞0 D．x2＞1
解析：选C　因为x＞0，
所以要证＜1＋，
只需证()2＜2，即证0＜，
即证x2＞0，
因为x＞0，所以x2＞0成立，故原不等式成立．
3．在△ABC中，sin Asin C A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C　由sin Asin C0，
即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，
从而B>，故△ABC必是钝角三角形．
4．欲证－<－，只需证(　　)
A．(＋)2<(＋)2 B．(－)2<(－)2
C．(－)2<(－)2 D．(－－)2<(－)2
解析：选A　欲证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，故选A.
5．(2019·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
则f(x1)＋f(x2)＜0.
6．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，故f≤f()≤f，即A≤B≤C.
7．设n∈N，则－与－的大小关系是(　　)
A.－＞－
B.－＜－
C.－＝－
D．不能确定
解析：选B　由题意知，(－)－(－)＝(＋)－ (＋)，
因为(＋)2－(＋)2
＝2[－]
＝2(－)＜0，
所以－＜－.
8．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
解析：选D　假设a＋，b＋，c＋都小于6，
则a＋＋b＋＋c＋＜18,
利用基本不等式，可得a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝8＋4＋6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于6.
9．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________________．
解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
10．(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
11．(2019·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．
解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：钝角

12．已知a＞b＞0，则①＜；②ac2＞bc2；③a2＞b2；④＞，其中正确的序号是________．
解析：对于①，因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0，a·＞b·，即＞，故①正确；
当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．
答案：①③④
13．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：＞8.
证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝＞，①
－1＝＝＞，②
－1＝＝＞，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，
得＞8.
14．设a＞0，b＞0，且a2＋b2＝＋.证明：a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
证明：假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则有a2＋a＋b2＋b＜4.
而由a2＋b2＝＋得a2b2＝1，
因为a＞0，b＞0，
所以ab＝1.
因为a2＋b2≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1等号成立)，
a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1等号成立)，
所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4(当且仅当a＝b＝1等号成立)，这与假设矛盾，故假设错误．
所以a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
15．若实数x，y，m满足|x－m|>|y－m|，则称x比y远离m.
(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；
(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab.
解：(1)由题意知|x2－1|>1，即x2－1>1或x2－1<－1，
解得x>或x<－.
所以x的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．
(2)证明：对任意两个不相等的正数a，b，有
a3＋b3>2ab，a2b＋ab2>2ab.
因为|a3＋b3－2ab|－|a2b＋ab2－2ab|
＝(a＋b)(a－b)2>0，
所以|a3＋b3－2ab|>|a2b＋ab2－2ab|.