2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第四章第一讲　平面向量的概念及其线性运算

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一讲　平面向量的概念及其线性运算

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　向量的有关概念

(1)向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)．

(2)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，其方向是__任意__的，零向量记作__0__.

(3)单位向量：长度等于__1__个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或__相反__的__非零__向量；平行向量又叫__共线__向量．规定：0与任一向量__平行__.

(5)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量．

(6)相反向量：长度__相等__且方向__相反__的向量．

知识点二　向量的线性运算

知识点三　共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__.

1．零向量与任何向量共线．

2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±.

3．若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线．

4．首尾相连的一组向量的和为0.

5．若P为AB的中点，则＝(＋)．

6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.

题组一　走出误区

1．(多选题)以下说法不正确的是(　ABCD　)

A．向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量

B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反

D．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立

题组二　走进教材

2．(必修4P91A组T4改编)化简＋－－＝(　B　)

A．　　 B．0　　

C．　　 D．

[解析]　＋－－＝－(＋)＝－＝0.

3．(必修4P84T4改编)(2019·太原模拟)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，向量a－b等于(　C　)

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2

C．e1－3e2 D．3e1－e2

[解析]　由图可知a＝－4e2，b＝－(e1＋e2)，∴a－b＝e1－3e2，故选C．

4．(必修4P92A组T11改编)(2020·湖北武汉模拟)如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　D　)

A．0　　 B．

C．　　 D．

[解析]　由于＝，故＋＋＝＋＋＝.

题组三　考题再现

5．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　A　)

A．－　　 B．－

C．＋　　 D．＋

[解析]　解法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．

解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故选A．

6．(2015·新课标2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.

[解析]　∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴，解得λ＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　向量的基本概念——自主练透

例1　(1)(多选题)给出下列命题不正确的是(　ACD　)

A．单位向量都相等

B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形

C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b

D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线

(2)(2020·陕西宝鸡金台模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　D　)

A．a⊥b　　 B．a∥b

C．a＝2b　　 D．a＝－b

[分析]　(1)正确理解向量的基本概念是解决本题的关键，特别对相等向量、单位向量、零向量理解到位．举反例进行否定是行之有效的方法．

(2)利用单位向量与向量相等的概念求解．

[解析]　(1)A不正确，单位向量模都相等，但方向不一定相同．

B是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．

C是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是充要条件，而是必要不充分条件．

D是错误的；当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，故选A、C、D．

(2)由＋＝0，即＝－，从选项入手只有a＝－b具有这样的结论，故选D．

[引申]　若本例(1)⑤中的实数λ，μ满足λ2＋μ2≠0，该结论是否正确？

[解析]　由λ2＋μ2≠0知实数λ，μ中至少有一个不为0.

①若λ、μ中有一个为0，不妨设λ≠0，μ＝0，则λa＝0·b＝0.

因为λ≠0，所以a＝0，

又0与任何向量共线，所以结论正确．

②若λ、μ都不为0由λa＝μb得a＝b，由共线向量定理知结论正确．

综上所述，该结论正确．

名师点拨　☞

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

(4)非零向量a与的关系是：是a方向上的单位向量．

考点二　向量的线性运算——师生共研

例2　(1)(2020·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　D　)

A．　　 B．2　　

C．3　　 D．4

(2)(2020·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是(　A　)

A．－＝

B．＋＝

C．－＝

D．＋＝

[解析]　(1)如图，在△OAC中，M为AC中点，所以＋＝2，在△OBD中，＋＝2，故选D．

(2)由题意得，－＝－＝＝＝，所以A正确；＋＝＋＝＝，所以B错误；－＝－＝＝，所以C错误；＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不合题意，所以D错误．故选A．

名师点拨　☞

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)考查向量加法或减法的几何意义．

(2)求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．

(3)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．

(4)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

〔变式训练1〕

(1)已知三角形ABC是等边三角形，D为AB的中点，点E满足2＋＝0，则＝(　A　)

A．－　　 B．＋

C．－　　 D．＋

(2)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　D　)

A．a－b B．a－b

C．a＋b D．a＋b

[解析]　(1)由2＋＝0知＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－－)＝－.

(2)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.

考点三　共线向量定理及其应用——师生共研

例3　设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[分析]　(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；

(2)利用共线向量定理求解．

[解析]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.

∴，共线，

又∵它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb.

∴(k－λ)a＝(λk－1)b.

∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴解得k＝±1.

[引申]　本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝__－1__；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝__1__.

[解析]　由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.

名师点拨　☞

平面向量共线的判定方法

(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

〔变式训练2〕

(1)(2020·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　B　)

A．1　　 B．－

C．1或－　　 D．－1或－

(2)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　D　)

A．a　　 B．b　　

C．c　　 D．0

[解析]　(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，

于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.

又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B．

(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①

又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②

由①得：b＝λ1c－a.

∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.

∴即

∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

易错警示——都是零向量“惹的祸”

　　例4　(多选题)下列命题错误的是(　ABC　)

A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa

B．在△ABC中，＋＋＝0

C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立

D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线

[解析]　易知ABC错误．对于D．

∵向量a与b不共线，

∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．

若a＋b与a－b共线，

则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，

即(λ－1)a＝(1＋λ)b，

所以此时λ无解，故假设不成立，

即a＋b与a－b不共线．故D正确．

名师点拨　☞

在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．

〔变式训练3〕

(多选题)下列叙述错误的是(　ABCD　)

A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同

B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同

C．＋＝0

D．若λa＝λb，则a＝b

[解析]　对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0；对于D，当λ＝0时，λa＝λb，此时不一定有a＝b.