2020年贵州省遵义市中考数学试卷
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2020年贵州省遵义市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 的绝对值是．
A． B． C． D．
2. 在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期，我市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆、美术馆、公共图书馆、群众文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客万人次，将万用科学记数法表示为．
A． B． C． D．
3. 一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则的度数为．
A． B． C． D．
4. 下列计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
5. 某校名学生在某次测量体温（单位：时得到如下数据：，，，，，，，对这组数据描述正确的是．
A．众数是
B．中位数是
C．平均数是
D．方差是
6. 已知，是方程的两根，则的值为．
A． B． C． D．
7. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为．
A．
B．
C．
D．
8. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用、分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是．
A．
B．
C．
D．
9. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为．
A． B． C． D．
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为．
A． B． C． D．
11. 如图，的顶点在函数的图象上，，过边的三等分点、分别作轴的平行线交于点、．若四边形的面积为，则的值为．
A． B． C． D．
12. 抛物线的对称轴是直线．抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有．
①；
② ；
③ 关于的方程有两个不相等实数根；
④ ．
A．个 B．个 C．个 D．个
| 二、 填空题（共4题） |
13. 计算：的结果是 ．
14. 如图，直线（、是常数）与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ．
15. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是 ．
16. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是 ．
| 三、 解答题（共8题） |
17. 计算：
（1）；
（2）解方程；．
18. 化简式子，从、、中取一个合适的数作为的值代入求值．
19. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门的顶部处距地面高为，为了解自己的有效测温区间．身高的小聪做了如下实验：当他在地面处时测温门开始显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为；在地面处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头处测得的仰角为．求小聪在地面的有效测温区间的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到，，，）
20. 如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作于点，连接．若，，求的长度．
21. 遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
课外劳动时间频数分布表：
劳动时间分组 | 频数 | 频率 |
解答下列问题：
（1）频数分布表中 ， ；将频数分布直方图补充完整；
（2）若七年级共有学生人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于的人数；
（3）已知课外劳动时间在的男生人数为人，其余为女生，现从该组中任选人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为男女的概率．
22. 为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为元个，乙种型号水杯进价为元个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间 | 销售数量（个） | 销售收入（元）（销售收入售价销售数量） | |
甲种型号 | 乙种型号 | ||
第一月 | |||
第二月 | |||
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共个，这批水杯进货的预算成本不超过元，且甲种型号水杯最多购进个，在个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯个，利润为元，写出与的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
23. 如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点（点与点、不重合），连接，作交射线于点，过点作分别交、于点、，作射线交射线于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
24. 如图，抛物线经过点和点与轴的另一交点为点，点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点，使得是等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求出的半径．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】的绝对值是．
故选
此题主要考查了绝对值，关键是掌握概念：数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
2. 【答案】A
【解析】万，用科学记数法表示为：．
故选
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 【答案】B
【解析】，
．
故选
此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4. 【答案】C
【解析】不能合并，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误．
故选
本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
5. 【答案】A
【解析】个数中出现了三次，次数最多，即众数为，故选项正确，符合题意；
将个数按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，第个数为，即中位数为，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意．
故选
本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．
6. 【答案】D
【解析】根据题意得，，
所以．
故选
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，
7. 【答案】D
【解析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 【答案】C
【解析】．此函数图象中，先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
．此函数图象中，第段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
．此函数图象中，、同时到达终点，符合题意；
．此函数图象中，先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选
本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键．
9. 【答案】D
【解析】如图．
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
故选
此题考查了菱形的性质、勾股定理．注意菱形的对角线互相垂直平分．
10. 【答案】B
【解析】在中，，，延长使，连接，得，
设，则，
．
故选
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
11. 【答案】D
【解析】，
，
、是的三等分点，
，，
，
四边形的面积为3，
，
，
，
，
．
故选
本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数的几何意义，正确的求出是解题的关键．
12. 【答案】C
【解析】抛物线的对称轴为直线，
，所以① 正确；
与轴的一个交点在和之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
时，且，
即，
，所以② 错误；
抛物线与轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等实数根，所以③ 正确；
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，所以④ 正确．
故选
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于：抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】．
故答案为．
本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．
14. 【答案】；
【解析】直线与直线交于点，
时，，
关于的不等式的解集为．
故答案为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在直线轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 【答案】；
【解析】将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕，
，，．
将沿折叠，使点的对应点落在上．
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．
16. 【答案】；
【解析】连结，，，过点作于，作于，
是的外接圆，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
解法一：在中，，
，
．
解法二：在中，，
，
，
．
故答案为．
考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的难点是求出的长．
三、 解答题
17. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式
；
（2）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
18. 【答案】时，原式
【解析】原式
，
，，
当时，原式．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
19. 【答案】
【解析】延长交于点，则．
，．
所以．
所以．
故小聪在地面的有效测温区间的长度约为．
本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）连接，如图：
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）是的直径，
，
，，
，
，．
，
，
，
又，
，
，
．
．
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质及圆中的相关计算是解题的关键．
21. 【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】（1），
，
补全的直方图如图所示：
故答案为：，；
（2）（人）；
（3）根据题意画出树状图，
由树状图可知：
共有种等可能的情况，
男女有种，
故所选学生为男女的概率为：
．
本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数（率）分布直方图，解决本题的关键是掌握概率公式．
22. 【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为元、元
（2），最大利润为元
【解析】（1）设甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为元、元，
，解得，
故甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为元、元；
（2）由题意可得，
解得：，
，
故当时，有最大值，最大为，
故第三月的最大利润为元．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
23. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：四边形是正方形，是对角线，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中
，
；
（2）如图1所示，由（1）知，，
，
四边形是矩形，
，
又，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
如图2所示，
同理可得，，
，，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，，
，，
，
．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24. 【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）的半径为或或或
【解析】（1）把点和点 代入得：
解得：
抛物线的解析式为：；
（2）不存在，理由如下：
① 当点在轴右边时，如图1所示：
假设为等边三角形，
过点作于，
点 ，
，
则，，
，
，
把代入，
得：，
假设不成立，
当点在轴右边时，不存在为等边三角形；
② 当点在轴的左边时，如图2所示：
假设为等边三角形，
过点作于，
点，
，
则，，
，
，
把代入，
得：，
假设不成立，
当点在轴左边时，不存在为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点，使得是等边三角形；
（3）令，
解得：，，
，
设直线的解析式为：，
把、的坐标代入则
解得：
直线的解析式为：，
当在线段上，与轴相切时，如图3所示：
延长交于点，
则点为与轴的切点，即，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当在线段上，与轴相切时，如图4所示：
延长交于点，过点作轴于，
则点为与轴的切点，即，，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
当在延长线，与轴相切时，如图5所示：
点与重合，
的横坐标为，
的半径为：的纵坐标的值，
即：；
当在延长线，与轴相切时，如图6所示：
延长交轴于，过点作轴于，
则点为与轴的切点，即，，
设，，
则，，
，
解得：，（不合题意舍去），
的半径为：；
综上所述，的半径为或或或．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
