四川省广安、眉山、内江、遂宁高三第一次诊断性考试数学（理）试题附答案
展开高中毕业班第一次诊断性考试
数学（理工类）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题：“，”，则命题为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ）
A. B. C. D.
4.在中，，，，点为边上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为分米，其内有一边长为分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（ ）
A.关于直线对称 B.关于直线对称
C.关于点对称 D.关于点对称
7.下列命题错误的是（ ）
A.不在同一直线上的三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
8.的展开式中不含项的系数的和为（ ）
A. B. C. D.
9.某地环保部门召集家企业的负责人座谈，其中甲企业有人到会，其余家企业各有人到会，会上有人发言，则发言的人来自家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A. B. C. D.
10.已知直线与抛物线及其准线分别交于，两点，为抛物线的焦点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
11.已知正项等比数列的前项和，满足则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数则________.
14.已知数列中，，，则数列的通项公式________.
15.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则该“阳马”的体积为________.
正视图
侧视图
16.某车间租赁甲、乙两种设备生产，两类产品，甲种设备每大能生产类产品件和类产
品件，乙种设备每天能生产类产品件和类产品件，已知设备甲每天的租赁费元，设备乙每天的租赁费元，现车间至少要生产类产品件，类产品件，所需租赁费最少为________元.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.在中，内角，，的对边分别为，，，若.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
18.某大型商场在2018年国庆举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有个红球，个黑球和个白球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱，活动另附说明如下：
①凡购物满（含）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满（含元）者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的个小球只有种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个元的红包；
④若取得的个小球有种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个元的红包；
⑤若取得的个小球只有种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为，求的分布列及数学期望，并计算这位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）.
19.如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）若点是中点，求二面角的余弦值；
（3）判断点到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
20.已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值.
21.已知函数，其中.
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数，都有成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.本小题满分10分[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为（），直线的参数方程为（为参数）.
（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最小值；
（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径，求的值.
23.本小题满分10分[选修4-5：不等式选讲]
已知函数（）的一个零点为
（1）求不等式的解集；
（2）若，求证：.
高中2019届毕业班第一次诊断性考试
数学(理工类)参考答案
一、选择题
1.解析：选择A.
试题立意：本小题考查复数的概念和乘除运算等基础知识；考查考生的运算求解能力.
2.解析：选择C，由已知，命题为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即，.
试题立意：本小题考查简易逻辑关系与逻辑用语，命题的几种形式等基础知识；考查逻辑推理能力.
3.解析：选择B，由题意知，即，故有，所以.
试题立意：本小题主要考查双曲线的几何性质；意在考查运算求解能力.
4.解析：选择C，因为，所以.
试题立意：本小题考查平面向量的基本运算，向量的几何意义等基础知识；考查运算求解能力和数形结合思想.
5.解析：选择B，因为圆形图案的面积为，正六边形的面积为，所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为.
试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.
6.解析：选择D，由题意得，所以，，因为函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，即的图象关于轴对称，所以，因为所以，所以，其图象关于点对称.
试题立意：本小题考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查推理论证能力，化归转换，数形结合思想.
7.解析：选择C，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.
试题立意：本小题考查空间直线和平面的位置关系，直线与平面垂直的判定与性质定理等基础知识；意在考查学生空间想象能力.
8.解析：选择A，令，得所有项的系数和为，又由通项公式，其中可取.，，，，，令，得，所以不含项的系数的和为.
试题立意：本小题考查二项式定理及其求展开式系数等基础知识；考查运算求解能力.
9解析：选择B，由间接法得可能情况数位.
试题立意：本小题考查排列组合的应用问题；考查应用意识，数据处理能力.
10.解析：选择B，因为，设直线的倾斜角为，由拋物线的定义知：点到准线的距离为，则，故，所以，则，又所以，
试题立意：本小题主要考查抛物线的定义、直线与拋物线的位置关系等基础知识；意在考查逻辑思维与推证能力、运算求解能力.
11.解析：选择D，由题意可知的公比，，则，则有，所以.
试题立意：本小题考查等比数列、二次函数等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化思想.
12.解析：选择B，由，所以函数的图像关于点成中心对称图形，所以，所以.
试题立意：本小题考查函数奇偶性、函数值等基础知识；意在考查运算求解能力和转化与化归思想.
二、填空题
13.解析：填，因为所以.
试题立意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.
14.解析：填，依题意，且，所以由累加法可知，当时，，也满足，所以数列的通项公式为.
试题立意：本小题考查递推数列的通项公式等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15.解析：填.如图所示，设“阳马”马的外接球半径为，由球的表面积，所以为矩形，其中底面，，则该“阳马”的外接球直径为，解得，所以该“阳马”的体积.
试题立意：本小题主要考查空间几何体与球的组合体，球与三棱锥的切接问题，三棱锥的体积公式；考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力.
16.解析：填，设甲种设备需要租赁生产天，乙种设备需要租赁生产天，该车间所需租赁费为元，则，且，满足关系为作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线，的交点时，目标函数取得最小值元，即最少租赁费用为元.
试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合思想.
三、解答题
17.解析：（1）因为，由正弦定理可得
，
所以，因为，，所以
（2）由余弦定理可得，
因为，有解得
所以
试题立意：本小题考查正余弦定理，解三角形等基础知识；考查运算求解能力，化归转化思想.
18解析：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为
平均数为
（2）的可能取值为，，，，，
则的分布列为
故...............10分
这位顾客中，有位顾客获得一次抽奖的机会，有位顾客获得两次抽奖的机会，故共有次抽奖机会.
所以这位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为元
试题立意：本小题考查统计的中位数、平均数等基本量，分布列与数学期望等基础知识；考查阅读理解能力，数据处理能力，应用意识和创新意识.
19.解析：（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面
（2）取的中点，连接，，.因为，所以，因为，所以，则为二面角的平面角
，分别为和的中点，，又平面，平面，而平面，，故在中，.
二面角的余弦值为
法二（向量法）：在正方体中，，，两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，，设向量，分别为平面和平面的法向量，由
取，则，，.
同理
取，则，，.
，
又二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为
（3）方法一（几何法）：因为平面，所以点，点到平面的距离相等，设为.故，则.解得.
点到平面的距离为定值................12分
方法二(几何法）：由（1）知平面.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离.令点平分，作的中点，连结，，过作，垂足为，显然、、、共面.
平面，，
平面.
平面，.
又，平面，平面，，
平面，即为所求.
，，
，.
，.
点到平面的距离为定值
方法三（向量法）由（1）知平面.点到平面的距离等于上任意一点到平面的距离.令点平分，则由（2）的向量法知：点到平面的距离.
点到平面的距离定值为
试题立意：本小题考查线面垂直判定定理，线面平行判定与性质定理，二面角等基础知识；意在考查空间想象能力、分析问题、解决问题的能力及推理论证能力.
20.解析：（1）由题意，
，
，椭圆方程为
⑵设，，把代人，得.
，
因为为直角，所以，
得，，，
，.......10分
，
当时，取得最大值为
试题立意：本小题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；意在考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.
21.解析：（1）由已知，，
所以
因为是函数的极值点，
所以，即，因为，所以.
（2）对任意的都有成立，即恒成立，
因为，且，，
①且时，，
所以函数在上是增函数，
，
由，得，又，不合题意.
②当时，若，则，
若，则，
函数在上是减函数，在上是增函数，
，
由，得，又，
③当且x时，，
函数在上是减函数，
，
由，得，又，
综上所述，的取值范围为.
22.解析：（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，
化为直角坐标方程为，即.
直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.
因为圆心与点的距离为，
所以的最小值为.
（2）由可得，
所以圆的普通方程为.
因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，
所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的倍，
所以.
解得，又，所以
试题立意：本小题考查直线和圆的极坐标方程，参数方程以及直角坐标方程，圆中的垂径定理和勾股定理.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
23.解析：因为函数（）的一个零点为，
所以
又当时，，，
上述不等式可化为或，或
解得或或
所以或或，
所以原不等式的解集为.
（2）由（1）知，因为，，
所以，
当且仅当，时取等号，所以
试题立意：本小题考查绝对值不等式的解法，重要不等式在证明中的应用；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
