2020_2021学年高考数学考点第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的奇偶性与周期性理20201013153 试卷

函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数
关于原点对称

2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
概念方法微思考
1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．
2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．
(2)f (x＋a)＝(a≠0)．
(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．
提示　(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.
3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．

1．（2020·山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
2.（2020·天津卷）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
3.（2020·江苏卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】-4
【解析】，因为为奇函数，所以
4．（2019·全国Ⅲ卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
5．（2019·全国Ⅱ卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，．
∵时，；
∴时，，；
∴时，，，
如图：

当时，由解得，，
若对任意，都有，则.
则m的取值范围是.
故选B.
6．（2019·全国Ⅱ卷）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
【答案】-3
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
7．（2019·北京卷）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用可得a的取值范围.，若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，
即实数的取值范围是.
8．（2019·江苏卷）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】作出函数，的图象，如图：

由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，
要使关于的方程有8个不同的实数根，
则与的图象有2个不同的交点，
由到直线的距离为1，可得，解得，
∵两点连线的斜率，
∴，
综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.
9．（2018·浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，
故选D．
10．（2018·全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
因为，从而.
故选C．
11．（2018·江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为________．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，
所以
因此
强化训练

1．（2020•深圳模拟）设是定义在上以2为周期的偶函数，当，时，，则，时，的解析式为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①当，时，则，，
因为当，时，，
所以．
又因为是周期为2的周期函数，
所以．
所以当，时，．
②当，时，则，，
因为当，时，，
所以．
又因为是周期为2的周期函数，
所以．
因为函数是定义在实数上的偶函数，
所以．
所以由①②可得当，时，．
故选．
2．（2020•东湖区校级一模）已知是定义在，上的偶函数，那么的值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得：，，又，，
．
故选．
3．（2019秋•上高县校级月考）已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　
A． B．1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】因为一个奇函数的定义域为，2，，，
根据奇函数的定义域关于原点对称，所以与有一个等于1，一个等于，所以．
故选．
4．（2019•广东学业考试）设是奇函数，且当时，，则当时，等于　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，代入函数在上的解析式，得，
是奇函数，，
故选．
5．（2019•西湖区校级模拟）已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任取则，
时，，
，①
又函数在上为奇函数
②
由①②得时，
故选．
6．（2019秋•正定县校级期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，当时，，
，
函数是定义在上的奇函数，，
．
故选．
7．（2019•西湖区校级模拟）若函数为奇函数，则必有　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数为奇函数


故选．
8．（2020•射洪市校级一模）已知函数是奇函数，则函数的值域为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数是奇函数，则，
即，解可得，
则，变形可得，
则有，解可得，即函数的值域为；
故选．
9．（2020•泸州四模）已知函数，则下列关系不正确的是　　
A．函数是奇函数 B．函数在上单调递减
C．是函数的唯一零点 D．函数是周期函数
【答案】D
【解析】因为，则，故正确；
，故在上单调递减，正确；
由在上单调递减且可得为函数的唯一的零点，正确；
由于为周期函数，但不是周期函数，故不是周期函数，故错误．
故选．
10．（2020•九龙坡区模拟）已知奇函数满足：对一切，且，时，，则　　
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【解析】根据题意，对任意都有，则函数的图象关于直线对称，
又由函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
则有，
故，
即函数为周期为4的周期函数，则，
又由，时，，
则，
故选．
11．（2020•南充模拟）已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当，时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且函数是偶函数，
所以且，
可得，，即，
所以，，
两式相减可得，即函数的周期，
因为当，时，，
则
故选．
12．（2020•青羊区校级模拟）已知函数，若，则　　
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，，
则，
则有，又由，则；
故选．
13．（2020•兴庆区校级模拟）设是奇函数且满足，当时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】是奇函数且满足，
可得，函数的周期为2．
．
故选．
14．（2020春•红岗区校级期末）定义在上的函数是奇函数，为偶函数，若（1），则　　
A． B．0 C．2 D．3
【答案】B
【解析】为偶函数，
，即关于对称，
是奇函数，
，且，
即，得，
则函数的周期是8，
则（3）（1），
（4），
（5）（1），
则，
故选．
15．（2020春•荆门期末）已知一个奇函数的定义域为，2，，，则　　
A． B．3 C．0 D．1
【答案】A
【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称可知，．
故选．
16．（2020春•河南期末）已知函数，则下列说法正确的是　　
A．函数在上既是奇函数，也是增函数
B．函数在上既是奇函数，也是减函数
C．函数在上既是偶函数，也是增函数
D．函数在上既是偶函数，也是减函数
【答案】A
【解析】因为，所以，所以函数是奇函数，
因为，且与均为增函数，所以在上是增函数．
故选．
17．（2020春•常德期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】是定义在上的奇函数，且时，，
．
故选．
18．（2020春•济宁期末）定义在上的偶函数，记，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是偶函数，关于轴对称，
则，
即，则当时，为增函数，
，，，
则，
则，
即，
即，
故选．
19．（2020春•泉州期末）已知奇函数满足，当时，，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】，
，即的周期为4，且是奇函数，时，，
（1）．
故选．
20．（2020春•宁波期末）若函数，的定义域均为，且都不恒为零，则　　
A．若为偶函数，则为偶函数
B．若为周期函数，则为周期函数
C．若，均为单调递减函数，则为单调递减函数
D．若，均为奇函数，则为奇函数
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若为偶函数，则可能为奇函数，而为偶函数，如，，错误；
对于，若为周期函数，可能为周期函数，如．，错误；
对于，当，，均为单调递减函数，而，不是减函数，错误；
对于，若，均为奇函数，对于，有，为奇函数，正确；
故选．
21．（2020•包头二模）已知函数，则　　
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【答案】C
【解析】根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为；
，
设，则，
在区间上，为增函数，为增函数，故在上为增函数，
在区间上，为减函数，为增函数，故在上为减函数，
故错误；
函数，其定义域为，
，故函数的图象关于直线对称，正确，错误；
故选．
22．（2020•4月份模拟）若函数的图象关于轴对称，则常数　　
A． B．1 C．1或 D．0
【答案】A
【解析】可知函数为偶函数，则（1），即，解得，
将代入解析式验证，符合题意．
故选．
23．（2020•白山模拟）已知函数，且满足，则（6）　　
A．29 B．11 C．3 D．5
【答案】B
【解析】因为，所以的图象关于对称，
所以时，，，
（6），
故选．
24．（2019•桃城区校级模拟）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设为所求函数图象上的任意一点，它关于直线对称的点是．
由题意知点在函数的图象上，
则．
即．
故选．
25．（2019•西湖区校级模拟）的图象下列叙述正确的是　　
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．没有对称性
【答案】C
【解析】，
，
为偶函数，其图象关于轴对称
故选．
26．（2020•马鞍山三模）已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式（1）的解集是　　
A．，， B．
C．，， D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数是定义域为的偶函数，则的图象关于直线对称，
又由在上单调递减，则在，上单调递增，
若（1），则有，即或，
即或，
即不等式的解集为，，；
故选．
27．（2020•龙凤区校级模拟）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，为偶函数，
当时，在上单调递增，故正确；
为奇函数，不符合题意；
为偶函数，在上单调递减，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意．
故选．
28．（2020•让胡路区校级三模）设是定义在上的奇函数，且在区间，上单调递增，则　　
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数在定义域上单调递增，
由可得，
故选．
29．（2020•运城模拟）偶函数对于任意实数，都有成立，并且当时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意实数都有，
由于为偶函数，所以．
所以．
所以函数是以4为周期的周期函数．
所以．
故选．
30．（2020•郑州三模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为　　
A．丙酉年 B．戊申年 C．己申年 D．己亥年
【答案】D
【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则，则2019的天干为己，
余10，则2019的地支为亥，
故选．
31．（2020•辽阳二模）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅癸酉；甲戌、乙亥、丙子癸未；甲申、乙酉、丙戌癸巳；，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为　　
A．猴 B．马 C．羊 D．鸡
【答案】B
【解析】六十甲子，周而复始，无穷无尽，
即周期是60，2086年与2026年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，
则2086年出生的孩子属相为马．
故选．
32．（2020•泰安一模）已知定义在上的函数的周期为4，当，时，，则　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的周期为4，当，时，，
；
；
；
故选．
33．（2020•湖北模拟）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷guǐ影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分寸分）．
节气
冬至
小寒
（大雪）
大寒
（小雪）
立春
（立冬）
雨水
（霜降）
惊蛰
（寒露）
春分
（秋分）
清明
（白露）
谷雨
（处暑）
立夏
（立秋）
小满
（大暑）
芒种
（小暑）
夏至
晷影长
（寸）
135





75.5





16.0
已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为　　
A．91.6寸 B．82.0寸 C．81.4寸 D．72.4寸
【答案】D
【解析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为，夏至晷影长为14.8寸，则为，
春分的晷影长为；
；
即春分的晷影长为72.4．
故选．
34．（2020•碑林区校级模拟）已知符号函数，偶函数满足，当，时，，则　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由，
可知函数是以2为周期的周期函数．
当，时，，是偶函数，
当，时，．
函数图象如下：

根据图可得，，故，选项不正确；
很明显，当，时，，，选项正确；
，故选项不正确；
当时，（2），，故选项不正确
故选．
35．（2020•渭南二模）已知函数满足和，且当，时，，则关于的方程在，上解的个数是　　
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】由题意可得，函数为偶函数，
且是周期为2的周期函数．
方程在，上解的个数，
即函数的图象与函数的图象
在，上的交点个数，
再根据当，时，，
画出函数在，上的图象，数形结合可得，
函数的图象与函数的图象
在，内存在两个交点，
故函数的图象与函数的图象
在，上的交点个数为5，
故选．

36．（2019秋•大理市校级期末）函数，若（5），则__________．
【答案】
【解析】令
则为一个奇函数
又（5），
（5），
，

故答案为：．
37．（2019•西湖区校级模拟）为奇函数，当时，则当时，__________．
【答案】
【解析】为奇函数，时，，当时，，
，
即时，，
故答案为：．
38．（2018•绵阳模拟）偶函数的图象关于点对称，（4），则（2）__________．
【答案】
【解析】偶函数的图象关于点对称，
可得，
由（4），
即有（4），
即有（4）（2），
则（2），
故答案为：．
39．（2018秋•马山县期中）已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，则等于__________．
【答案】
【解析】，即函数的周期为4
是定义在上的偶函数，则有

故答案为：．
40．（2018秋•太湖县校级期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有．则（3），，（1）的大小顺序是__________．
【答案】（1）（3）
【解析】是偶函数
（2）
又任意的，，，有，
在，上是减函数，
又，
（1）（2）（3），
故答案为：（1）（3）．
41．（2016•一模拟）函数为偶函数，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】根据偶函数的定义可得，对定义域得任意都成立，
即对定义域内得任意的都成立，
整理可得，，
，
故答案为：．
42．（2017•惠州模拟）已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：
①函数是周期函数；
②函数的图象关于点，对称；
③函数是偶函数；
④函数在上是单调函数．
在上述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③
【解析】对于①：函数是周期函数且其周期为3．①对
对于②：是奇函数其图象关于原点对称
又函数的图象是由向左平移个单位长度得到．
函数的图象关于点，对称，故②对．
对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：
对于任意的都成立．
令，则，函数是偶函数，③对．
对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对．
故答案为：①②③．
43．（2020•西安一模）已知是定义域上的奇函数，周期为4，且当，时，，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，是周期为4的周期函数，则，
又由为奇函数，则（1），
由于（1），
故有（1）；
故答案为：．
44．（2020•达州模拟）是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，是定义域为的偶函数，对，都有，
则有，即函数是周期为4的周期函数，
则有，（1），
又由当时，，
则，（1），
则（1）；
故答案为：．
45．（2020•南充模拟）若偶函数对任意，都有，且，时，，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，满足，则，即函数是周期为6的周期函数，
则，
又由为偶函数，则，
又由，
则；
故答案为：．
46．（2020•崇明区一模）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数．当时，，则实数的值等于__________．
【答案】2
【解析】函数是定义在上的周期为2的奇函数．
当时，，
（1）且（1），
（1），即（1），
．
故答案为：2．
47．（2020•苏州二模）设周期函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足（1），（2），则的取值范围是__________．
【答案】，，
【解析】由题意（1），函数是奇函数，
故有
又周期函数是定义在上的奇函数，若的最小正周期为3，
故（2）
（2）

当时，解得
当时，解得
所以的取值范围是，，
故答案为：，，．
48．（2019•西湖区校级模拟）已知定义在上的函数是偶函数，且时，，
（1）当时，求解析式；
（2）写出的单调递增区间．
【解析】（1）时，
时

是偶函数，
时，
（2）由（1）知时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间
时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间
所以函数的单调增区间为：，，．