人教A版 (2019)专题训练：第07章 复数（B卷提高篇）解析版

第七章 复数B（提高卷）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．（2020春•西城区校级期中）复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）

A．（1，0） B．（0，1） C． D．

【解答】解：由i；

则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．

故选：B．

2．（2019春•抚顺期末）若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数，则（　　）

A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠1且a≠2

【解答】解：∵若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数，

∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0

∴a＝2，a＝1，且a≠1，a≠0，

∴a＝2，

∴复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数时，a≠2，

故选：A．

3．（2020•张家口二模）已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数，是虚数单位），z在复平面内对应点P（x，y），则点P的轨迹为（　　）

A．x﹣y＝0（x2+y2≠0） B．x+y＝0（x2+y2≠0） 

C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0） D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）

【解答】解：由题意，z＝x+yi（x，y∈R），

由i，得（x2+y2≠0），

即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y，

则x＝﹣y，即x+y＝0（x2+y2≠0）．

∴点P的轨迹为x+y＝0（x2+y2≠0）．

故选：B．

4．（2020春•桃城区校级月考）已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵，

∴的虚部为，

由，得a＝2．

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．

故选：A．

5．（2020•浙江模拟）若复数z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），其中i是虚数单位，则|z1﹣z2|的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵z1＝2+i，z2＝cosα+isinα（α∈R），

∴z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1＝2+i对应的点为Z1 （2，1）．

如图：

则|z1﹣z2|的最大值为．

故选：C．

6．（2020•临川区校级模拟）已知i为虚数单位，若复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（2，1），（1，﹣2），则复数（　　）

A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3

【解答】解：由题意，z1＝2+i，z2＝1﹣2i，

则．

故选：A．

7．（2019春•辽宁期末）设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（　　）

A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010i 

C．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i

【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+……+2020i2019．

∴iS＝2i2+3i3+……+2020i2020．

则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．

i

2021+i，

∴S．

故选：B．

8．（2019春•遂宁期末）设m∈R，复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f（x）＝mlnx+x，若曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（　　）

A． B．（﹣∞，0]∪{1} 

C．（﹣∞，0]∪{2} D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

【解答】解：∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上，

∴m﹣1＝0，即m＝1．

则f（x）＝lnx+x，f′（x），

又当x→0时，f（x）→﹣∞，

作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图：

直线l：y＝2kx﹣1过（0，﹣1），

设切点为（x0，lnx0+x0），

则在切点处的切线方程为y﹣lnx0﹣x0＝（）（x﹣x0），

把（0，﹣1）代入，可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0，即lnx0＝0，即x0＝1．

则2k＝2，k＝1．

而f′（x）1（x＞0），

由图可知，当2k∈（﹣∞，1]，即k∈（﹣∞，]时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点，

综上可得，当k∈（﹣∞，]∪{1}时，曲线y＝f（x）与直线l：y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．

故选：A．

二．多选题（共4小题）

9．（2020春•东海县期中）下列关于复数的说法，其中正确的是（　　）

A．复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0 

B．复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0 

C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数 

D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

【解答】解：对于选项A：复数z＝a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是b＝0，所以选项A正确；

对于选项B：复数z＝a+bi（a，b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0，所以选项B错误；

对于选项C：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi （a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，所以，所以选项C正确；

对于选项D：若z1，z2互为共轭复数，不妨设z1＝a+bi （a∈R，b∈R），则z2＝a﹣bi，则它们在复平面内所对应的点分别为（a，b）和（a，﹣b），关于x轴对称，所以选项D错误，

故选：AC．

10．（2020春•胶州市期中）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（　　）

A． 

B．z的实部是2 

C．z的虚部是1 

D．复数在复平面内对应的点在第一象限

【解答】解：由（1+i）z＝3+i，得z．

∴|z|，故A正确；

z的实部为2，故B正确；

z的虚部是﹣1，故C错误；

复数在复平面内对应的点的坐标为（2，1），在第一象限，故D正确．

故选：ABD．

11．（2020春•苏州期中）已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（　　）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 

B．|w|＝1 

C．w的实数部分为 

D．w的虚部为

【解答】解：因为复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，

则复数i；

故w对应的点为（，）；

|w|1；

且w的实部为：，虚部为：；

故选：ABC．

12．（2020春•滕州市校级月考）已知集合M＝{m|m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（　　）

A．（1﹣i）（1+i） B． C． D．（1﹣i）2

【解答】解：根据题意，M＝{m|m＝in，n∈N}中，

n＝4k（k∈N）时，in＝1；

n＝4k+1（k∈N）时，in＝i；

n＝4k+2（k∈N）时，in＝﹣1；

n＝4k+3（k∈N）时，in＝﹣i，

∴M＝{﹣1，1，i，﹣i}．

选项A中，（1﹣i）（1+i）＝2∉M；

选项B中，；

选项C中，；

选项D中，（1﹣i）2＝﹣2i∉M．

故选：BC．

三．填空题（共4小题）

13．（2019春•杨浦区校级期末）若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为　1　

【解答】解：设z＝a+bi；|1﹣z|•|1+z|＝2，

即：2•

，

令|z|＝t．（t＞0），

则t2＝a2+b2，

所以2⇒4＝t4+2t2+1﹣4a2，

因为a2≥0，所以4≤t4+2t2+1，

所以t4+2t2﹣3≥0，

解得：t2≥1或者t2≤﹣3（舍），

所以t≥1，

故答案为：1．

14．（2020春•浦东新区校级月考）关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、β，且|a﹣β|＝2，则m＝　3或5　．

【解答】解：对于方程x2+4x+m＝0，∴α+β＝﹣4，αβ＝m，

①当△＝16﹣4m＜0时，设两个复数根为a、β，

且设α＝a+bi，β＝a﹣bi，a，b∈R，

所以2a＝﹣4，|2bi|＝2，∴a＝﹣2，b＝±1

故α＝﹣2+i，β＝﹣2﹣i，

∴αβ＝（﹣2）2﹣i2＝5．

②△＝16﹣4m≥0时，设两根为x1，x2．

易知x1+x2＝﹣4，x1x2＝m，

∴，

解得m＝3．

综上可知，m的值为3或5．

故答案为：3或5．

15．（2020春•开封期中）若|z1﹣z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数与z2＝2+bi互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2+b2的最大值为　8　．

【解答】解：由题意，，故，

∴点（a，b）在圆上，

而表示点（a，b）到原点的距离，

故a2+b2的最大值为．

故答案为：．

16．（2020春•浦东新区校级月考）定义复数的一种运算z1⊗z2（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足a+b＝3，则z⊗最小值为　　．

【解答】解：由题意得z⊗．

将b＝3﹣a代入得：，

显然，当a时上式取得最小值．

故答案为：．

四．解答题（共5小题）

17．（2020春•锡山区校级期中）（1）计算：（i为虚数单位）；

（2）已知z是一个复数，求解关于z的方程z3i•1+3i．（i为虚数单位）．

【解答】解：（1）

；

（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则，

代入z3i•1+3i，

得a2+b2﹣3i（a﹣bi）＝1+3i，即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i，

则，解得或．

则z＝﹣1或z＝1+3i．

18．（2020春•兴庆区校级期中）实数m分别取什么数值时，复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i

（1）与复数2﹣12i相等．

（2）与复数12+16i互为共轭．

（3）对应的点在x轴上方．

【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得解之得m＝﹣1．

（2）根据共轭复数的定义得解之得m＝1．

（3）根据复数z对应点在x轴上方可得

m2﹣2m﹣15＞0，

解之得m＜﹣3或m＞5．

19．（2019春•平遥县校级期中）设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．

（2）若ω，求证：ω为纯虚数．

【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），

则z2＝z1a+bia+bi

＝a+bii＝a（b）i．

∵z2是实数，b≠0，∴b0．b≠0，

于是有a2+b2＝1，即|z1|＝1，

还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a，即z1的实部的取值范围．

（2）证明：ω

i．

∵a∈，b≠0，

∴ω为纯虚数．

20．（2020春•胶州市期中）在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．

（1）求，及，；

（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．

【解答】解：（1）∵，

∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i，

∴，．

∵，

∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i，

∴，；

（2）由题意，，

∵，，

∴，，．

∴．

21．（2019春•黄浦区校级月考）已知复数z1＝sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1＝z2．

（1）若λ＝0且0＜x＜π，求x的值；

（2）设λ＝f（x）；

①求f（x）的最小正周期和单调递减区间；

②已知当x＝α时，，试求的值．

【解答】解：由z1＝sin2x+λi，（λ，m，x∈R），且z1＝z2．

得．

（1）若λ＝0且0＜x＜π，则sin2x，

即tan2x，∴x或；

（2）①λ，则T＝π，

由，得，k∈Z．

∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z；

②由题意，，∴sin（），

即cos（）．

∴．