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人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精品课时作业
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用精品课时作业，共29页。
第7节 三角函数的应用
基础巩固
1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万B．9千C．8千D．7千
3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )
A．
B．
C．
D．
6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（ ）
A．mB．mC．mD．m
8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于（ ）
A．30sin＋30B．30sin＋30
C．30sin＋32D．30sin
10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔的高度（如图），铁塔垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部在同一水平面上选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为,并测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）
A．300mB．600mC．mD．
12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．400B．
C．600D．800
13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A．B．C．D．
14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
拓展提升
1．如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．
2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
3．（如右图）半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．
（1）求轮船的速度；
（2）求两点的距离（精确到l海里）．
5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h．
（1）求的解析式；
（2）若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离．
基础巩固
1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】C
【解析】解：由题意得函数的周期为，
所以频率，所以此人每分钟心跳的次数为80．
2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万B．9千C．8千D．7千
【答案】B
【解析】下午两点整即，当时，.
即，∴，
∵当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，所以，
解得或（舍去），故，
所以，故选：B
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为的最小正周期，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为，故选D.
5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期，
故，所以，
又，所以 ，
所以，
当时，，，.
，故选A.
6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易知，
因旋转一周用时60秒，即，
又由题意知
∴，
又
∴
7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【答案】D
【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，
△ADC中，CD=ACsin60°=m
8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
【答案】C
【解析】由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，
故可得，，则.排除B、D.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于（ ）
A．30sin＋30B．30sin＋30
C．30sin＋32D．30sin
【答案】B
【解析】过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是，所以t分钟转过的弧度数为t.
设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，
h＝OA＋BN＝30＋30sin，
当0<θ<时，上述关系式也适合.
故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如图：过作于，则由题意可得：，，
在中，，
所以，
∴.
11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔的高度（如图），铁塔垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部在同一水平面上选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为,并测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）
A．300mB．600mC．mD．
【答案】B
【解析】解:设,由图利用直角三角形的性质可得:.
在中,由余弦定理可得:
化为:,解得.
12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．400B．
C．600D．800
【答案】D
【解析】如图连接，设，则，
所以
因为，所以，所以，所以，当时
13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，
在△CDO中，，
即，，
解得（米）．
14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，
，
，，
当时，，，
15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，
故可设直角三角形的两直角边长为，
由勾股定理可得：，
解得.
故可得，
16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为,所以.
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
【答案】ABE
【解析】由题意以及函数的图象可知，，，∴，.
∵，∴，A正确；∵，∴，
∴，∵图象经过点，
∴，∴，
∴可以取，∴，B正确，C错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错；当时，，故E正确.综上，ABE正确.
18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心为坐标原点，
轴和轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，
依题意得在内所转过的角度为，则.
则点的纵坐标为，
点距离水面的高度关于时间的函数；
，选项A错误；
，
，，选项B正确；
由得，解得，选项C错误；
由
展开整理得为定值，选项D正确；
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.
20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
【答案】AD
【解析】解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
拓展提升
1．如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．
【解析】解：（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cs∠MOQ＝cs∠MOQ，
∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝csx（0≤x≤6），
即 f（x）＝csx，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cs（x﹣2）＝cs（x）（2≤x≤8），
由2kπx2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．
2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【解析】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
3．（如右图）半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
【解析】由题意得：
在中，设，由正弦定理得
所以，
当时达最大值
即，当平行四边形面积达到最大值．
4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．
（1）求轮船的速度；
（2）求两点的距离（精确到l海里）．
【解析】（1）由正弦定理得,
海里/小时；
（2）由余弦定理得
海里
5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h．
（1）求的解析式；
（2）若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离．
【解析】（1）如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作于点C，
由于，则，
根据三角函数的定义，
可得，
而，
于是．
（2）由（1）知，
易得，
即点M到地面的距离是8m．
第7节 三角函数的应用
基础巩固
1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万B．9千C．8千D．7千
3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )
A．
B．
C．
D．
6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（ ）
A．mB．mC．mD．m
8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于（ ）
A．30sin＋30B．30sin＋30
C．30sin＋32D．30sin
10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔的高度（如图），铁塔垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部在同一水平面上选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为,并测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）
A．300mB．600mC．mD．
12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．400B．
C．600D．800
13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A．B．C．D．
14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
拓展提升
1．如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．
2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
3．（如右图）半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．
（1）求轮船的速度；
（2）求两点的距离（精确到l海里）．
5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h．
（1）求的解析式；
（2）若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离．
基础巩固
1．（2020·浙江高一课时练习）已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
【答案】C
【解析】解：由题意得函数的周期为，
所以频率，所以此人每分钟心跳的次数为80．
2．（2020·湖南月考）某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间（单位：时）的变化近似满足函数关系，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万B．9千C．8千D．7千
【答案】B
【解析】下午两点整即，当时，.
即，∴，
∵当时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
3．（2020·湖北襄阳·高一期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，所以，
解得或（舍去），故，
所以，故选：B
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的弧长与时间的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为的最小正周期，
所以单摆来回摆动一次所需的时间为，故选D.
5．（2020·全国高一课时练习）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，所以半周期，
故，所以，
又，所以 ，
所以，
当时，，，.
，故选A.
6．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（文））水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】易知，
因旋转一周用时60秒，即，
又由题意知
∴，
又
∴
7．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的俯角为30°，则此时热气球的高度CD为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【答案】D
【解析】由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，
△ADC中，CD=ACsin60°=m
8．（2020·浙江高一课时练习）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
【答案】C
【解析】由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，
故可得，，则.排除B、D.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
9．（2020·浙江高一课时练习）一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于（ ）
A．30sin＋30B．30sin＋30
C．30sin＋32D．30sin
【答案】B
【解析】过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是，所以t分钟转过的弧度数为t.
设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，
h＝OA＋BN＝30＋30sin，
当0<θ<时，上述关系式也适合.
故h＝30＋30sin＝30sin＋30.
10．（2018·韶关市第一中学高一期末）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
如图：过作于，则由题意可得：，，
在中，，
所以，
∴.
11．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校高一期中）如图，某中学数学兴趣小组要测量底部不能到达的某铁塔的高度（如图），铁塔垂直于水平面，在塔的同一侧且与塔底部在同一水平面上选择两观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为,并测得，两地相距600m，则铁塔的高度是（ ）
A．300mB．600mC．mD．
【答案】B
【解析】解:设,由图利用直角三角形的性质可得:.
在中,由余弦定理可得:
化为:,解得.
12．（2020·四川高三其他（文））为迎接大运会的到来，学校决定在半径为的半圆形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．400B．
C．600D．800
【答案】D
【解析】如图连接，设，则，
所以
因为，所以，所以，所以，当时
13．（2020·安徽肥东·高三月考（理））如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设该扇形的半径为r米，连接CO．
由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，
在△CDO中，，
即，，
解得（米）．
14．（2020·渝中·重庆巴蜀中学月考（文））如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，
，
，，
当时，，，
15．（2020·九龙坡·重庆市育才中学高三开学考试（理））第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，
故可设直角三角形的两直角边长为，
由勾股定理可得：，
解得.
故可得，
16．（2020·河南焦作·高一期中）如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为,所以.
17．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（ ）
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴是直线
C．该函数的解析式是
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃
【答案】ABE
【解析】由题意以及函数的图象可知，，，∴，.
∵，∴，A正确；∵，∴，
∴，∵图象经过点，
∴，∴，
∴可以取，∴，B正确，C错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错；当时，，故E正确.综上，ABE正确.
18．（多选题）（2020·福建高三月考（理））如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若，则
D．不论为何值，是定值
【答案】BD
【解析】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心为坐标原点，
轴和轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，
依题意得在内所转过的角度为，则.
则点的纵坐标为，
点距离水面的高度关于时间的函数；
，选项A错误；
，
，，选项B正确；
由得，解得，选项C错误；
由
展开整理得为定值，选项D正确；
19．（多选题）（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.
20．（多选题）（2020·江苏苏州·高三开学考试）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
【答案】AD
【解析】解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
拓展提升
1．如图，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点,若它们同时从点 出发，沿逆时针方向作匀角速度运动,其角速度分别为 （单位：弧度/秒），为线段 的中点，记经过秒后(其中 )，
(I)求的函数解析式；
(II)将图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到 的图象，求函数 的单调递减区间．
【解析】解：（Ⅰ）依题意可知∠POAx，∠QOAx．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|•cs∠MOQ＝cs∠MOQ，
∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝csx（0≤x≤6），
即 f（x）＝csx，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依题意可知g（x）＝cs（x﹣2）＝cs（x）（2≤x≤8），
由2kπx2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函数y＝g（x）在[2，8]上的单调递减区间为[2，8]．
2．（2020·全国课时练习）一条河的两岸平行，河的宽度，一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.
【解析】解：设与的夹角为，船行驶的时间为t,.
（1）当为钝角时，；
（2）当为锐角时，；
（3）当为直角时，；
当为钝角时，，
当为锐角时，.
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
3．（如右图）半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设．
（1）用表示平行四边形的面积；
（2）求平行四边形面积的最大值．
【解析】由题意得：
在中，设，由正弦定理得
所以，
当时达最大值
即，当平行四边形面积达到最大值．
4．（2020·上海市川沙中学高一期末）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．
（1）求轮船的速度；
（2）求两点的距离（精确到l海里）．
【解析】（1）由正弦定理得,
海里/小时；
（2）由余弦定理得
海里
5．（2020·辽宁高一期中）下图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径，巨轮上最低点A与地面之间的距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设点B与地面之间的距离为h．
（1）求的解析式；
（2）若当时对应巨轮边沿上一点M，求点M到地面的距离．
【解析】（1）如图，过点B作BD垂直于地面于点D，过点O作于点C，
由于，则，
根据三角函数的定义，
可得，
而，
于是．
（2）由（1）知，
易得，
即点M到地面的距离是8m．
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