2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第03章 第8讲　函数与方程

[基础题组练]

1．(2020·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B．要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B．

2．函数y＝x－4·的零点所在的区间是(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选B．因为y＝f(x)＝x－4＝x－是R上的连续递增的函数，且f(1)＝1－2<0，f(2)＝2－1>0，所以f(1)·f(2)<0，故函数y＝x－4·的零点所在的区间为(1，2)．故选B．

3．(一题多解)函数f(x)＝2x－零点的个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B．法一：当x<0时，f(x)＝2x－>0恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．故选B．

法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝2x和y＝的图象，如图所示．

函数f(x)＝2x－的零点等价于2x＝的根等价于函数y＝2x和y＝的交点．

由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B．

4．(2020·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－1，0)  B．{－1}∪(0，＋∞)

C．[－1，0)∪(0，＋∞)  D．(0，1)

解析：选B．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B．

5．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)

A．ln x＝1－x  B．ex＝

C．2－x2＝lg |x|  D．cos x＝|x|＋1

解析：选ABD．对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合题意；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cos x＝x＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题意．

6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．

解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.

答案：－

7．(2020·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．

解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足⇒－1<a<e＋1，因为a是整数，故可得a的可能取值为0，1，2，3.

答案：4

8．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．

解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，所以x1x2－(x1＋x2)＋1<0，

由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，

即a2＋a－2<0，所以－2<a<1.

故实数a的取值范围为(－2，1)．

法二：函数f(x)的图象大致如图，

则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2<a<1.

故实数a的取值范围是(－2，1)．

答案：(－2，1)

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.

所以函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．

10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．

解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.

(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.

[综合题组练]

1．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

解析：选A．在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A．

2．(多选)(综合型)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　)

A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数

B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数

C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称

D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点

解析：选AB．对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上是增函数，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即为b－a2＜－2，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．

3．(2020·湖南娄底二模)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．

解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.

答案：1

4．设函数f(x)＝

(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；

(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)若a＝1，则f(x)＝

作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.

综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．

答案：(1)－1　(2)∪[2，＋∞)

5．设函数f(x)＝(x>0)．

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

解：(1)如图所示．

(2)因为f(x)＝

＝

故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，

由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，

且－1＝1－，所以＋＝2.

(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是(0，1)．

6．(综合型)已知函数f(x)＝－x2－2x，

g(x)＝

(1)求g[f(1)]的值；

(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，

则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.