四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义:12.不等式综合训练
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A12.不等式综合训练
一、基础知识
联合使用一些经典不等式:平均值、柯西、排序、切比雪夫、幂平均、Hölder、权方和、舒尔、琴生
二、典型例题与基本方法
1.设且证明:
2.已知证明:
3.对于任意的正实数证明:
4.设证明:
5.设且证明:
6.设是非负实数,证明:
7.设且证明:
8.设且证明:
9.设证明:
B12.练习 姓名:
1.已知证明:
2.已知且证明:
3.设且证明:
A12.不等式综合训练
一、基础知识
联合使用一些经典不等式:平均值、柯西、排序、切比雪夫、幂平均、Hölder、权方和、舒尔、琴生
二、典型例题与基本方法
1.设且证明:
证明:使用柯西不等式
使用平均值不等式
2.已知证明:
证明:不妨设则
由切比雪夫不等式知
使用柯西不等式得
所以
3.对于任意的正实数证明:
证明:使用柯西不等式
于是要证明只需证明
即证明
因为
于是即证明
即证明
即证明即证明这是舒尔不等式.所以得证.
4.设证明:
证明:法1考虑
所以是上的下凸函数.使用琴生不等式
使用柯西不等式
于是
法2使用权方和不等式
,同法1.
5.设且证明:
证明:法1使用柯西不等式
使用柯西不等式
于是
要证明即要证明
于是只需证明即证明
因为即证明即证明即证明
注意齐次性,即证明
由平均值不等式知得证.
法2使用权方和不等式
要证明只需要证明即证明
即证明下面同法1.
6.设是非负实数,证明:
证明:使用Hölder不等式
于是
所以
于是要证明只需证明即证明
注意到
于是即证明即证明
由舒尔不等式得
于是只需证明即可,而这是显然的.所以得证.
7.设且证明:
证明:由的对称性,可设则于是
使用切比雪夫不等式
于是
所以要证明只需证明
再使用切比雪夫不等式
于是只需证明
使用平均值不等式所以得证.
8.设且证明:
证明:设使得因为所以
所以
所以
9.设证明:
证明:
使用柯西不等式
所以
所以
B12练习 姓名:
1.已知证明:
证明:
2.已知且证明:
证明:由Hölder不等式
所以
使用柯西不等式
3.设且证明:
证明:使用平均值不等式
因为所以
于是即所以