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【名师制作】2014-2015学年华师大版七年级数学下册 期末测试（二）（15页，考点+分析+点评）
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新华师版七年级下期末测试（二）
总分120分120分钟 农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（ ）[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A． 1 B． ﹣1 C． 9 D． ﹣9
2．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）
A． 180元 B． 120元 C． 80元 D． 60元
3．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A． 8种 B． 9种 C． 16种 D． 17种
5．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A． 10° B． 20° C． 30° D． 80°
6题 8题
7．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
8．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为 _________ 元．
10．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是 _________ 元．
11． 4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= _________ ．
12．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 _________ ．
12题 13题 14题
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 _________ ．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= _________ °．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
16（6分）已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
17．（6分）如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
18（8分）一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：）
19．（8分）某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
20．（8分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
21．（8分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
22（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．
23．（10分）阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ _________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
24．（10分）上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示．
客房 普通间（元/天）
三人间 240
二人间 200
世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团人住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团人住三人普通间有x间．
（1）该旅游团人住的二人普通间有 _________ 间（用含x的代数式表示）；
（2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4500元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？
新华师版七年级下期末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 9 D． ﹣9
考点： 一元一次方程的解．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 将x=﹣2代入方程即可求出a的值．
解答： 解：将x=﹣2代入方程得：﹣4﹣a﹣5=0，
解得：a=﹣9．
故选D
点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）
A． 180元 B． 120元 C． 80元 D． 60元
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设这款服装的进价为x元，就可以根据题意建立方程300×0.8﹣x=60，就可以求出进价，再用标价减去进价就可以求出结论．
解答： 解：设这款服装的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=60，
解得：x=180．
300﹣180=120，
∴这款服装每件的标价比进价多120元．
故选B．
点评： 本题时一道销售问题．考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
3．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
解答： 解：根据图示可得，
故选：B．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
4．为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A． 8种 B． 9种 C． 16种 D． 17种
考点： 二元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 设需要租住6人间客房x间，则租用4人间客房y间，且x、y为非负整数，由题意列出方程求出其解就可以．
解答： 解：设需要租住6人间客房x间，则租用4人间客房y间，且x、y为非负整数，由题意，得
6x+4y=100，
x=．
∵x≥0，y≥0．
∴≥0，
∴y≤25，
∴0≤y≤25．
∵x≥0的整数，
∴50﹣2y是3的倍数，
∵50是偶数，2y是偶数，
∴50﹣2y是偶数
∴50以内是3的倍数又是偶数的有：0，6，12，18，24，30，36，42，48，
∴x=0，2，4，6，8，10，12，14，16．
∵x=0不符合题意，要求是同时租用，
∴共有8中方案．
故选A．
点评： 本题是一道二元一次方程的不定方程．考查了运用不定方程在实际问题的方法，解答中合理运用未知数的隐含条件是解答本题的关键．
5．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
专题： 应用题；压轴题．
分析： 分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．
解答： 解：由题意得，．
故选B．
点评： 此题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，属于基础题，关键是仔细审题得出两个等量关系，建立方程组．
6．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A． 10° B． 20° C． 30° D． 80°
[来源:Zxxk.Com]
考点： 三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
7．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 三角形三边关系．菁优网版权所有
分析： 已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
解答： 解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．
因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．
2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．
故选B．
点评： 本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
8．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据平行线的性质可得∠CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠EBA=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠E+∠D=∠CFE=45°，
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二． 填空题（共6小题）
9．某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为 1500 元．
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 首先假设原价为x元，根据降价20%后应为（1﹣20%）x，再根据又降低了100元，此时售价为1100元得出等式求出即可．[来源:学+科+网]
解答： 解：设原价为x元，根据题意得出：
（1﹣20%）x﹣100=1100
解得：x=1500．
故答案为：1500．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．
10．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是 20 元．
[来源:学科网ZXXK]
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 经济问题．
分析： 等量关系为：打九折的售价﹣打八折的售价=2．根据这个等量关系，可列出方程，再求解．
解答： 解：设原价为x元，
由题意得：0.9x﹣0.8x=2
解得x=20．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= 0 ．
考点： 二元一次方程的定义；解二元一次方程组．菁优网版权所有
分析： 根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
解答： 解：根据题意得：，
解得：．
则a﹣b=0．
故答案是：0．
点评： 主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
12．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 7 ．
考点： 三角形的面积．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
解答： 解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，[来源:学。科。网]
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：7．
点评： 本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．
解答： 解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，BD==13，[来源:Z.xx.k.Com]
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13﹣5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，
在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82，
解得：x=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 95 °．
考点： 平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，
∠BNM=∠BNF=×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
点评： 本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．[来源:Z§xx§k.Com]
三．解答题（共10小题）
15．某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由两种房间总数和为50及大宿舍住的学生数+小宿舍住的学生数=学生总数建立方程组求出其解即可．
解答： 解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由题意，得
，
解得：．
答：大宿舍有30间，小宿舍有20间．
点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应全题等量关系的两个方程是关键．
16．已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
考点： 解二元一次方程组；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先利用加减消元法求出x、y，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，然后求公共部分即可．
解答： 解：，
①×3得，15x+6y=33a+54③，
②×2得，4x﹣6y=24a﹣16④，
③+④得，19x=57a+38，
解得x=3a+2，
把x=3a+2代入①得，5（3a+2）+2y=11a+18，
解得y=﹣2a+4，
所以，方程组的解是，
∵x＞0，y＞0，
∴，
由①得，a＞﹣，
由②得，a＜2，
所以，a的取值范围是﹣＜a＜2．
点评： 本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
考点： 三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据角平分线的定义可得∠BAE=∠BAC，根据垂直的定义可得∠ADE=90°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠AEC即可得解．
解答： 解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AEC=∠ADE+∠DAE=∠B+∠BAE，[来源:Zxxk.Com]
即90°+∠DAE=60°+40°，
解得∠DAE=10°．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
18．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：）
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0.8x元，根据利润的售价﹣进价=进价×利润率建立方程求出其解即可．
解答： 解：设这件外衣的标价为x元，依题意得
0.8x﹣200=200×10%．
0.8x=20+200．
0.8x=220．
x=275．
答：这件外衣的标价为275元．
点评： 本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据）建立方程是解答本题的关键．
19．某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题；经济问题；压轴题．
分析： 水费平均为每吨1.4元大于1.2，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解．
解答： 解：设该用户5月份用水x吨，
则1.2×6+（x﹣6）×2=1.4x，
7.2+2x﹣12=1.4x，
0.6x=4.8，
x=8，
∴1.4×8=11.2（元），
答：该用户5月份应交水费11.2元．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
20．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．
解答： 解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
如图所示：
．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
考点： 一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析： 根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
解答： 解：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90，
解得x＞12，
∵x取整数，
∴x最小为：13，
答：他至少要答对13道题．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
22．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．
考点： 等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．
解答： 证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．
点评： 本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
23．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ 存在 （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= 2 ．若不存在，请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析： （1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．
解答： 证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）
则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）
即，（6分）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）
（2）存在．（10分）
r=2．（12分）
点评： 此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
24．上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示．
客房 普通间（元/天）
三人间 240
二人间 200
世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团人住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团人住三人普通间有x间．
（1）该旅游团人住的二人普通间有 间（用含x的代数式表示）；
（2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4500元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？
考点： 一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题；图表型．
分析： （1）求出住在二人间的人数，然后即可得出二人间的个数；
（2）根据要求一天的住宿费必须少于4500元，及入住的三人普通间不多于二人普通间，分别列出不等式，联立求解即可．
解答： 解：（1）由题意可得，住在二人间的人数为：（50﹣3x），
又∵二人间也正好住满，
故可得二人间有：；
（2）依题意得：，
解得8＜x≤l0，
∵x为整数，
∴x=9或x=10，
当x=9时，=（不为整数，舍去）；
当x=10时，=10．
答：客房部只有一种安排方案：三人普通间10间，二人普通间10间．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出不等式，难度一般，注意将实际问题转化为数学方程．
总分120分120分钟 农安县合隆中学 徐亚惠
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（ ）[来源:学_科_网Z_X_X_K]
A． 1 B． ﹣1 C． 9 D． ﹣9
2．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）
A． 180元 B． 120元 C． 80元 D． 60元
3．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A． 8种 B． 9种 C． 16种 D． 17种
5．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A． 10° B． 20° C． 30° D． 80°
6题 8题
7．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
8．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为 _________ 元．
10．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是 _________ 元．
11． 4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= _________ ．
12．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 _________ ．
12题 13题 14题
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 _________ ．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= _________ °．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
16（6分）已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
17．（6分）如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
18（8分）一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：）
19．（8分）某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
20．（8分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
21．（8分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
22（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．
23．（10分）阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ _________ （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _________ ．若不存在，请说明理由．
[来源:Zxxk.Com]
24．（10分）上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示．
客房 普通间（元/天）
三人间 240
二人间 200
世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团人住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团人住三人普通间有x间．
（1）该旅游团人住的二人普通间有 _________ 间（用含x的代数式表示）；
（2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4500元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？
新华师版七年级下期末测试（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知关于x的方程2x﹣a﹣5=0的解是x=﹣2，则a的值为（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． 9 D． ﹣9
考点： 一元一次方程的解．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 将x=﹣2代入方程即可求出a的值．
解答： 解：将x=﹣2代入方程得：﹣4﹣a﹣5=0，
解得：a=﹣9．
故选D
点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（ ）
A． 180元 B． 120元 C． 80元 D． 60元
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设这款服装的进价为x元，就可以根据题意建立方程300×0.8﹣x=60，就可以求出进价，再用标价减去进价就可以求出结论．
解答： 解：设这款服装的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x=60，
解得：x=180．
300﹣180=120，
∴这款服装每件的标价比进价多120元．
故选B．
点评： 本题时一道销售问题．考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
3．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
解答： 解：根据图示可得，
故选：B．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
4．为安置100名中考女生入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A． 8种 B． 9种 C． 16种 D． 17种
考点： 二元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 设需要租住6人间客房x间，则租用4人间客房y间，且x、y为非负整数，由题意列出方程求出其解就可以．
解答： 解：设需要租住6人间客房x间，则租用4人间客房y间，且x、y为非负整数，由题意，得
6x+4y=100，
x=．
∵x≥0，y≥0．
∴≥0，
∴y≤25，
∴0≤y≤25．
∵x≥0的整数，
∴50﹣2y是3的倍数，
∵50是偶数，2y是偶数，
∴50﹣2y是偶数
∴50以内是3的倍数又是偶数的有：0，6，12，18，24，30，36，42，48，
∴x=0，2，4，6，8，10，12，14，16．
∵x=0不符合题意，要求是同时租用，
∴共有8中方案．
故选A．
点评： 本题是一道二元一次方程的不定方程．考查了运用不定方程在实际问题的方法，解答中合理运用未知数的隐含条件是解答本题的关键．
5．为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（ ）
A． B．
C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
专题： 应用题；压轴题．
分析： 分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．
解答： 解：由题意得，．
故选B．
点评： 此题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，属于基础题，关键是仔细审题得出两个等量关系，建立方程组．
6．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（ ）
A． 10° B． 20° C． 30° D． 80°
[来源:Zxxk.Com]
考点： 三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选C．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
7．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 三角形三边关系．菁优网版权所有
分析： 已知三角形的两边长分别为2和4，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
解答： 解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得4﹣2＜x＜4+2，即2＜x＜6．
因此，本题的第三边应满足2＜x＜6，把各项代入不等式符合的即为答案．
2，6，8都不符合不等式2＜x＜6，只有4符合不等式．
故选B．
点评： 本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
8．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ）
A． 30° B． 60° C． 90° D． 45°
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据平行线的性质可得∠CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠EBA=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠E+∠D=∠CFE=45°，
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二． 填空题（共6小题）
9．某品牌手机降价20%后，又降低了100元，此时售价为1100元，则该手机的原价为 1500 元．
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 首先假设原价为x元，根据降价20%后应为（1﹣20%）x，再根据又降低了100元，此时售价为1100元得出等式求出即可．[来源:学+科+网]
解答： 解：设原价为x元，根据题意得出：
（1﹣20%）x﹣100=1100
解得：x=1500．
故答案为：1500．
点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用；得到第二次降价后的价格的等量关系是解决本题的关键．
10．购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是 20 元．
[来源:学科网ZXXK]
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 经济问题．
分析： 等量关系为：打九折的售价﹣打八折的售价=2．根据这个等量关系，可列出方程，再求解．
解答： 解：设原价为x元，
由题意得：0.9x﹣0.8x=2
解得x=20．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
11．4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b= 0 ．
考点： 二元一次方程的定义；解二元一次方程组．菁优网版权所有
分析： 根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
解答： 解：根据题意得：，
解得：．
则a﹣b=0．
故答案是：0．
点评： 主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
12．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积 7 ．
考点： 三角形的面积．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．
解答： 解：如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，[来源:学。科。网]
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：7．
点评： 本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．
13．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．
解答： 解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，BD==13，[来源:Z.xx.k.Com]
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13﹣5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，
在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82，
解得：x=，
故答案为：．
点评： 此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 95 °．
考点： 平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，
∠BNM=∠BNF=×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
点评： 本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．[来源:Z§xx§k.Com]
三．解答题（共10小题）
15．某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由两种房间总数和为50及大宿舍住的学生数+小宿舍住的学生数=学生总数建立方程组求出其解即可．
解答： 解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由题意，得
，
解得：．
答：大宿舍有30间，小宿舍有20间．
点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应全题等量关系的两个方程是关键．
16．已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
考点： 解二元一次方程组；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题： 计算题．
分析： 先利用加减消元法求出x、y，然后列出不等式组，再求出两个不等式的解集，然后求公共部分即可．
解答： 解：，
①×3得，15x+6y=33a+54③，
②×2得，4x﹣6y=24a﹣16④，
③+④得，19x=57a+38，
解得x=3a+2，
把x=3a+2代入①得，5（3a+2）+2y=11a+18，
解得y=﹣2a+4，
所以，方程组的解是，
∵x＞0，y＞0，
∴，
由①得，a＞﹣，
由②得，a＜2，
所以，a的取值范围是﹣＜a＜2．
点评： 本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
考点： 三角形的外角性质．菁优网版权所有
分析： 根据角平分线的定义可得∠BAE=∠BAC，根据垂直的定义可得∠ADE=90°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠AEC即可得解．
解答： 解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AEC=∠ADE+∠DAE=∠B+∠BAE，[来源:Zxxk.Com]
即90°+∠DAE=60°+40°，
解得∠DAE=10°．
点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
18．一件外衣的进价为200元，按标价的8折销售时，利润率为10%，求这件外衣的标价为多少元？（注：）
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
分析： 设这件外衣的标价为x元，就可以表示出售价为0.8x元，根据利润的售价﹣进价=进价×利润率建立方程求出其解即可．
解答： 解：设这件外衣的标价为x元，依题意得
0.8x﹣200=200×10%．
0.8x=20+200．
0.8x=220．
x=275．
答：这件外衣的标价为275元．
点评： 本题考查了销售问题在实际生活中的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，根据）建立方程是解答本题的关键．
19．某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过的部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份应交水费多少元？
考点： 一元一次方程的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题；经济问题；压轴题．
分析： 水费平均为每吨1.4元大于1.2，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解．
解答： 解：设该用户5月份用水x吨，
则1.2×6+（x﹣6）×2=1.4x，
7.2+2x﹣12=1.4x，
0.6x=4.8，
x=8，
∴1.4×8=11.2（元），
答：该用户5月份应交水费11.2元．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
20．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
专题： 压轴题．
分析： 首先分别解出两个不等式的解集，再根据：大小小大取中间确定不等式组的解集即可．
解答： 解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
如图所示：
．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确解出两个不等式，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
考点： 一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
分析： 根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
解答： 解：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90，
解得x＞12，
∵x取整数，
∴x最小为：13，
答：他至少要答对13道题．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
22．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．
考点： 等边三角形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题： 证明题．
分析： 欲证BD=DE，只需证∠DBE=∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．
解答： 证明：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE=∠ABC=30°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E．
∵∠ACB=60°，且∠ACB为△CDE的外角，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴∠CDE+∠E=60°．
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴BD=DE．
点评： 本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
23．阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：，∴r1+r2=h（定值）．
（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．
（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？ 存在 （填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= 2 ．若不存在，请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析： （1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．
解答： 证明：（1）连接AP，BP，CP．（2分）
则S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，（4分）
即，（6分）
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴r1+r2+r3=h（定值）；（8分）
（2）存在．（10分）
r=2．（12分）
点评： 此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
24．上海某宾馆客房部有三人普通间和二人普通间，每间收费标准如表所示．
客房 普通间（元/天）
三人间 240
二人间 200
世博会期间，一个由50名女工组成的旅游团人住该宾馆，她们都选择了三人普通间和二人普通间，且每间正好都住满．设该旅游团人住三人普通间有x间．
（1）该旅游团人住的二人普通间有 间（用含x的代数式表示）；
（2）该旅游团要求一天的住宿费必须少于4500元，且入住的三人普通间不多于二人普通间．若客房部能满足该旅游团的要求，那么该客房部有哪几种安排方案？
考点： 一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
专题： 应用题；图表型．
分析： （1）求出住在二人间的人数，然后即可得出二人间的个数；
（2）根据要求一天的住宿费必须少于4500元，及入住的三人普通间不多于二人普通间，分别列出不等式，联立求解即可．
解答： 解：（1）由题意可得，住在二人间的人数为：（50﹣3x），
又∵二人间也正好住满，
故可得二人间有：；
（2）依题意得：，
解得8＜x≤l0，
∵x为整数，
∴x=9或x=10，
当x=9时，=（不为整数，舍去）；
当x=10时，=10．
答：客房部只有一种安排方案：三人普通间10间，二人普通间10间．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是根据题意列出不等式，难度一般，注意将实际问题转化为数学方程．
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