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高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案（55页）
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-1本册综合教案设计，共55页。
高中数学选修4-1全套教案
一 平行线分线段成比例定理
教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。
教学过程：
（一）旧知识的复习
利用投影仪提出下列各题使学生解答。
1．求出下列各式中的x：y。
（1）3x=5y； （2）x=； （3）3：2=：； （4）3：=5：。
2．已知。 3．已知。
其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点，且，EF//BC交AC于F点，那么。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但不等于，譬如=时，应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：
在梯形ABCD中，EF//BC的条件不变，但E不是AB的中点，仍如=，那么是否也等于？
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3）。
就图3的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含EF的延长线），也得到==（补足图3中的比例式）。
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，
首先引导学生就图1、图2回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：对于图3的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图3中梯形的各线段，得出图4，并使观察、试述出：
三条平行线在直线、上截出线段、、、，如果=，那么=，即=。
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：=（m、n为自然数），那么怎样证明=？并使学生试证，并概括为：
三条平行线在直线、上截出线段、、、，那么=。
在此基础上，教师提出问题：由=，利用比例的性质还可得到哪些比例式？（=，=，等）
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例1（1）已知：如图5，，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。
（2）已知：如图6，，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。
（3）已知：如图7，，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。
（4）已知：如图8，，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口答。
例2．已知线段PQ，PQ上求一点D，使PD：DQ=4：1。
先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最后使他们实践。
（四）小结
1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。
2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误。
（五）布置作业
补充（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；
（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4：1
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
四、教学过程：
一、复习
1．求出下列各式中的x：y。
（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。
2．已知x:y=7:2，求x:(x+Y)
3．已知x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z)
二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。
如果两条线段的比是1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学），如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点,且EF//BC交AC于F点，如果AE:EB=1:1，那么AE:EB=AF:FC=1:1。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但AE:EB不等于1:1，譬如AE:EB=2:3时，AF:FC应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：
如果E不是AB的中点，如AE:EB=2:3，那么AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？
引导学生得出AE:EB=AF:FC之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理
强调对应线段：
问AE:CF=AF:EB成立吗？
4、例1讲解（略)
变式：
已知：如图6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求BF。
已知：如图7,AB=3,BC=5,DF=10，求DE。
已知：如图8,AB=a，,BC=b，DF=c，求EF。
5、例2讲解：(略）
分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合比性质。
三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的第一个端点来定左、右
四、作业
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平行线分线段成比例定理
目的与要求：
1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。
2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实用价值。
重点与难点：
重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用
难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。
主要教法：综合比较法
一、 复习引入：
1、 平行线分线段成比例定理及推论
2、 △ABC中，若DE∥BC，则它们的值与相等吗？为什么？
二、 新课：
例1：已知：如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E
求证：
分析：中的DE不是△ABC的边BC上，但从比例可以看出，除DE外，其它线段都在△ABC的边上，因此我们只要将DE移到BC边上去得CF=DE，然后再证明就可以了，这只要过D作DF∥AC交BC于F，CF就是平移DE后所得的线段。
结论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD
求证：
例3、已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，过C任作一直线交AD于E，交AB于F。
求证：
例4：如图，已知：D为BC的中点，AG∥BC，求证：
（DC=BD）
例5：已知：△ABC中，AD平分∠BAC，
求证：，过C作CE∥AD交BA的延长线于E.
例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD于E，交AB于M，
求证：
再证：△MEF≌△CED
（由三线合一：ME=EC）
三、 练习：
四、 小结：
1、 今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定理的区别。
2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也可以用这个定理。
五、 作业
六、 弹性练习：
1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2
BD=3.6
求CD的长。
过E作EH⊥CD于H，交AB于G
2、已知：如图，四边形AEDF为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，
求：BD、DC及AF的长。
6 4
3、 已知：如图，B在AC上，D在BE上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求AD:DF
过D作DG∥AC交FC于G（还可过B作EC的平行线）
2BC=
从而AD= 故AD:DF=7:2
4、 △ABC中，DE∥BC，F是BC上一点。
AF交DE于点G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm
求(1)DE的长
(2) (3)
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平行线分线段成比例定理
教学目标
1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
2.能初步应用定理及推论进行解题.
教学重点 定理及推论的内容及应用.
教学难点 定理结论的推理过程.
教学过程
一、复习提问：
1. 什么是平行线等分线段定理？
2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则 的比值是多少？
二、新课讲解：
1.平行线分线段成比例定理
从图（1）可知，当AD∥BE∥CF,且AB=BC时，则DE=EF,也就是 = =1
接着象教材一样，说明 = 时，也有 = .
要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 AD∥BE∥CF时，都可得到 = .
接着应用比例的性质。举例得到： = ， = ， = ，
= ， = .
从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.
（2）强调对应的意义，并说明上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5个来.
（3）用形象化的语言描述如下： = ， = ， = ，
= ， = .
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
2.定理的应用
（1） 课本例1
已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求BC.
练习一
(1)如图（6）如果AE:EB=AF:FC,那么EF与BC的关系是
若AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形EBCD是 形。
（2）如图（7），若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则EC= .若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则AE= ,EC= .
（3）如图（8），DE∥AB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。
（4）如图（9），在梯形ABCD中，AD∥BC,E是AB上一点，EF∥BC交CD于F，若AE=2,CD=7,则FC= ,DF= .
(2)课本例2。
说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。
练习二
1，已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四边形，若BD=7.2,BF=6,AC=8
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平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
㈠知识与技能：
1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：
通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：
学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：
1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用
三、教学难点：推论的应用
四、教学方法：引导、探究
五、教学媒体：投影、胶片
六、教学过程：
【活动一】引入新课
问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？
学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论
问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？
问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？
教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】
问题4 看图说比例式
学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
【活动四】 教学例3
问题5 已知：如图：BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=4，
求：AE
学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生能否顺利写出解决问题的比例式；
2．在小组交流中学生能否在探究中发现解决问题的多种途径及最佳方案。
设计意图：以学生分组讨论方式展开探究活动，培养学生探索、发现、找出多种解决问题的方法的能力。
【活动五】
问题6 如图：DE∥BC，AB=15，AC=7，AD=2，求EC。
老师引导学生独立思考后，说思路，说方法。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否能顺利说出较简便的解题途径。
2．学生在语言表达上是否规范。
设计意图：培养学生快速解决问题的能力。
【活动六】 教学例4
问题7 如图：⊿APM中，AM∥BN，CM∥DN，
求证：PA：PB=PC：PD
分析：师生共同完成。
过程：由学生自己写出。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否能在复杂图形中找出相应的比例式。
2．学生能否体会到比例中间量的作用。
设计意图：培养学生识别图形的能力。
【活动七】
问题8 如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，
求证：OA：AN=OB：MB
同桌交流、研讨，由学生分析讲解，写出过程。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否快速找到比例的中间量。
2．学生书写解题过程是否规范。
设计意图：培养学生的语言表达能力。
【活动八】
小结：
我们本节课学习了哪些知识，通过探究你有哪些收获？你认为自己的表现如何？
老师重点关注：1．学生归纳总结能力；2．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程；3．学生对推论的理解及应用程度。
思考题：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例，那么这条直线是否平行于第三边？
作业布置：
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相似三角形的判定
〔教学目标〕
1． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
SAS
↓
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
从复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）及两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
↓
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
延伸问题：
作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1，==。
↓
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。
作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。
让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。
探究方法：
探究3
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）
↓
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，∠B=∠B1
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
应用新知：
例2 如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，
求证：PA·PB=PC·PD。
分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需∆PAC∽∆PDB，欲证∆PAC∽∆PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS﹑ASA进行相关证明与计算的雷同性。
运用提高
运用相似三角形的判定方法3进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
备选题：
如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有 对。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：6
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
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相似三角形的判定
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
1． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
2． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
↓
探究两个三角形相似判定方法2的途径
从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
↓
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，==k
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
∆ABC∽∆A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是
“夹角相等”。
运用提高
运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
1． 备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
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相似三角形的判定（一）
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的应用．
3．难点的突破方法
（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；
（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；
（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；
（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：
如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；
（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
三、例题的意图
本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．
例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．
四、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．思考判断相似三角形的条件．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
五、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：略（AD=3，DC=5）
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．
解：略（）．
六、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10）
七、课后练习
1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
教学反思
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相似三角形的判定
一、教学目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
3． 难点的突破方法
（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．
（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．
（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．
（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．
（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．
（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．
（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式．
（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．
三、课堂引入
1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）让学生画图，自主展开探究活动．
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、例题讲解
※例1（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．
解：略（AD=）．
五、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，
求证：△ADC∽△CDP．
教学反思
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相似三角形的判定
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．
3．难点的突破方法
（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．
（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．
（3）如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．
三、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
四、例题讲解
例1已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
解：略（DF=）．
五、课堂练习
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
1． 已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：．
2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
教学反思
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相似三角形的判定（一）
〔教学目标〕
7． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
8． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
9． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
3． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
4． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
↓
∆ADE∽∆ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC
∆ABC∽∆A1B1C1
↓
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
↓
若
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中
探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。
通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高
运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
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相似三角形的判定
【目的要求】
1.使学生理解相似三角形和相似比的概念，掌握相似三角形的判定定理，会灵活运用这些定理解决一些简单的证明和计算问题。会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。
2. 通过相似三角形判定定理的学习，要求了解类比方法的作用，认识类比方法是获取新
知识的一种重要方法。
【知识要点】
一、相似三角形
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，（简叙为两角对应相等两三角形相似）。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）
6.直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
【重点和难点分析】
重点：
1.相似三角形的有关概念及相似三角形的基本定理。
(1) 相似三角形的定义中突出的一个特征是“形状相同但大小不一定相同”，这是和全
等三角形的重点区别，以下表中我们也可以看出：
图 形
对应角
对应边
全等三角形
∠A=∠A′
∠B=∠B′
∠C=∠C′
AB=A′B′
AC=A′C′
BC=B′C′
相似三角形
∠A=∠A′
∠B=∠B′
∠C=∠C′
（K为任意正实数）
全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，即相似比为1。
(2) 表示两个三角形相似时注意通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上，这样
比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
例如：图2
图中A对应着P，B对应着M，C对应着N。因此两个三角形相似应写为△ABC∽
△PMN。
(3) 相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三
角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ ”型。
在利用定理证明时要注意A型图的比例
，每个比的前项是同一个三
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。
2.相似三角形的判定定理。
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
(3)在掌握相似三角形的判定方法的基础上我们再看Rt△相似判定的特殊性。
A.利用一对锐角来判定（Rt△两锐角互余及等角的余角相等）。
B.利用两对对应边成比例（勾股定理）。
C.利用双垂直（Rt△斜边上高线）。
这就是从一个基本问题出发运用类比，联想特殊到一般反过来指导特殊的思维方法。
从而发散我们的思维。提高我们分析问题和解决问题的能力。
3. 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A型和 型、双A型。
A型 型
Ⅱ.相交线型：
A. 具有一个公共角，
在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共
角，且BC⊥AC，DE⊥AB。
B. 具有一条公共边和一个公共角
在△ABC与△DBA中AB是它们的公共边，
且∠BAD=∠C，B是它们的公共角。
C. 具有对顶角
在△ABC中AD⊥BC，BE⊥AC
则使△AME与△BMD中∠1与∠2是对顶角
4. 掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明
三角形相似及比例式或等积式。
【典型例题】
例一、 已知：如图9在△ABC中，D、E分别是BC、AB上的任一点，
△EFM∽△CDM
求证：△AEF∽△ABD。
分析：利用相似三角形的对应边或比例或对应角相等为条件，证明其它三角形相似，即已知的△EFM与△CDM属 型，求证的△AEF与△ABD属A型。EF∥BC是利用△EFM∽△CDM推出而且又是△AEF∽△ABD的条件。
证明：∵△EFM∽△CDM
∴∠1=∠2
∴EF∥BC
∴△AEF∽△ABD
例二、 已知：如图10，在Rt△ABC中∠ACB=90°，
CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F。
求证：AC·DF=BC·CF
分析：1.求证等积式一般先改写成等比式。
2.从求证的结论看四条线段分别在△ABC、△DCF中但很明显两个三角形不相似，在这样的情况下一般需要找一个过渡比（或叫做中间比）通过证两对三角形相似来证明。
证明：在△ABC与△CBD中
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴，∠A=∠1
∵E是AC中点，CD⊥AB
∴AE=EC=ED
∴∠A=∠2
∵∠2=∠3、∠A=∠1
∴∠3=∠1
在△FBD与△FDC中
∵∠F=∠F、∠3=∠1
∴
即
∴
∴AC·DF=BC·CF
例三、 已知：如图11，△ABC中M、E分别是AC、AB
上的点，ME、CB延长线交于一点D，且。
求证：AM=DB
分析：当图形中不存在明显的成比例线段的基本图形时，应考虑添加适当的辅助线
构造出基本图形创造代换条件。
证明：过M作MN∥DC
∴
∵
∴
∴AM=DB
例四、 已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD
(2)ND2=NC·NB
分析：1.本题要应用“等量代替”公理，线段的等量代替是证等积式或等比式的桥梁，体现在：
(1)AD是∠CAB的平分线，∠1=∠2，∠1，∠N是同角余角，得∠1=∠N，∠2=∠N从而解决△AME∽△NMD证明。
(2) EF所在直线是AD的垂直平分线，通过添加辅助线连结NA，NA=ND，使
证明ND2=NC·NB，变为证NA2=NC·NB。
证明：(1)连结NA
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵NE是AD的垂直平分线
∴∠5=∠6=90°，NA=ND
∵∠ACB=90°
∴∠1=∠4
∴∠2=∠4
∴△AME∽△NMD
(2) ∵NA=ND，NM⊥AD
∴∠3=∠4
∴2∠4=2∠2，即∠ANC=∠CAB
∴∠7=∠B，∠ANC=∠ANC
∴△NAC∽△NBA
∴
∴NA2=NC·NB
即ND2=NC·NB
例五、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB
分析：1.求证等积式一般先将其化为等比式，使问题转化为求证等比式，再将求证等
比式转化为求证两个三角形相似。
2. 证明△ABE∽△FBE的条件；
已具备的条件是∠ABE=∠FBD，再证一对对应角相等的条件难找，因此改
证夹这对角的四条边成比例。
证明：∵AC⊥BC，CD⊥AB
∴∠BDC=∠ACB=90°
∴∠B=∠B，△CDB∽△ACB
∴
即BC2=AB·DB
∵CF⊥BE
∴∠EFC=∠ECB=90°
∵∠2=∠2
∴△BCF∽△BEC
∴
即BC2=BE·BF
∵AB·DB=BE·BF
即
∴∠3=∠2
∴△BAE∽△BFD
∴
∴BE·DF=AE·BDw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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平行线等分线段定理
教学设计示例
一、教学目标
1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．
3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美
二、教法设计
学生观察发现、讨论研究，教师引导分析
三、重点、难点
1．教学重点：平行线等分线段定理
2．教学难点：平行线等分线段定理
四、课时安排
l课时
五、教具学具
计算机、投影仪、胶片、常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习
七、教学步骤
【复习提问】
1．什么叫平行线？平行线有什么性质．
2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？
【引入新课】
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线 ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？
（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．
已知：如图，直线 ， ．
求证： ．
分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得 ），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．
（引导学生找出另一种证法）
分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 ．
证明：过 点作 分别交 、 于点 、 ，得 和 ，如图．
∴
∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴
∴
为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．
引导学生观察下图，在梯形 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论 1．
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．
再引导学生观察下图，在 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论2．
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．
接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．
例 已知：如图，线段 ．
求作：线段 的五等分点．
作法：①作射线 ．
②在射线 上以任意长顺次截取 ．
③连结 ．
④过点 ． 、 、 分别作 的平行线 、 、 、 ，分别交 于点 、 、 、 ．
、 、 、 就是所求的五等分点．
（说明略，由学生口述即可）
【总结、扩展】
小结：
（l）平行线等分线段定理及推论．
（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．
（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．
（4）应用定理任意等分一条线段．
八、布置作业
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平行线等分线段定理
【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；
2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；
3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用
【教学难点】平行线等分线段定理的证明
【教学方法】引导·探究·发现法
【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等
【教学设计】
一、实际问题，导入新课
1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？
A
B
C
D
N
M
B
C
D
N
P
E
G
F
2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折，
得折痕MN（如图1）；
·再把B点叠在折痕MN上，
得到Rt△BEP（如图2）；
·最后沿EP折叠，便可得到
（如图1） 等边△BEF（如图2）。 （如图2）
3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理
1．复习提问
（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？
（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？
师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验
请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：
（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？
（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想
引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？
猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想
教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理
（图1）
1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？
已知：直线a // b // c，AB = BC（如图1）
求证：A'B' = B'C'。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？
（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？
（3）在梯形中常作什么样的辅助线？
（图2）
D
E
3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法一：（略）参见课本P176的证法。
证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
于D、E（如图2）。（以下证明略）
〖注1〗 结论与直线A'C' 的位置无关；
〖注2〗 对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。
4．定理：
推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴A'B' = B'C'。
四、图形变式，引出推论
1．隐线变式，得推论1
在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？
条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
（图3） （图4） （图5） （图6）
2．运动变式，得推论2
既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？
条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．变换图形，深化理解
如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？
五、运用新知，解决问题
1．应用定理，等分线段
（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7）
已知：线段AB（如图7）。
求作：线段AB的三等分点。
作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程）
〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。
（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8）
2．应用推论，分解图形
例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，
CM、AM分别交BD于E、F。
求证：BE = EF = FD。
分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）
（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？
证明：（略。过程由学生自己完成）
例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足
分别为A'、B'、C'、D'、O'。
求证：A'D' = B'C'。
分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10）
（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？
证明：（略。过程由学生自己完成）
思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？
3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？
六、课堂小结，提炼升华
1．理解一个定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
2．掌握两个推论
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．了解三种思想
化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；
两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。
运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。
辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；
应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。
七、达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，
EF//BC交AB于F，FG// BD交AD于G。
求证：AG = DG。
2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E， （图11）
EF//AB交BC于F。
（1）求证：BF=CF；
（2）图中与DE相等的线段有 ；
（3）图中与EF相等的线段有 ；
（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）
八、课后作业，巩固新知
1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，
AE的延长线交AC于F。
求证：FC = 2AF。
（图13）
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平行线等分线段定理
课 题： 平行线等分线段定理
授课人
柯文祥
课 时： 一节
目的要求：掌握平行线等分线段定理，会按要求等分一条已知线段。
教学重点：理解平行线等分线段定理。
教学难点：平行线等分线段定理的合理应用。
教学方法：演示、指导法
能力点： 观察、分析、应用
教学过程：
1、提出问题
如何把一条线段三等分、五等分、七等分呢？
2、预备知识
我们先认识一个事实，笔记本上的平行线将一条直线等分若干段。
如图：
这个事实的根据是我们将要学习的“平行线等分线段定理”。
演示讲解平行线等分线段定理的证明，见课件。
3、平行线等分线段定理的应用定理
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。它是平行线等分线段定理一般的应用
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。它是平行线等分线段定理的一种特殊情况。
如图：
（1） （2） （3）
4、平行线等分线段定理的应用
将一已知线段AB五等分
课件“作图1”演示
5、学生练习
将以10cm的线段七等分
方法一：过线段端点作射线；在射线上取七等分线段；连另外的端点，过其余点作所连端点平行线。
方法二：利用已有平行线分线段七等分。以平行线上一点为A圆心，以10cm为半径画弧，交第八条平行线于点B，连AB，所交平行线的点为线段AB的七等分点。如图：
6、课堂练习
7、小结：
（1）平行线等分线段定理的理解
a//b//c
→ DE=EF
AB=BC
（2）平行线等分线段定理的应用
将一线段任意等分。如线段AB三等分、五等分、……
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平行线等分线段定理
【教材分析】
教学重点：根据新的课程标准，将平行线等分线段定理及其推论的应用作为重点，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。
教学难点：定理的灵活应用是本节的难点。在教学过程中循序渐进的设计“猜一猜”、“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”以突破这一难点。
【设计理念】
现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质性交往发生的“教学”，是假教学。把教学本质定位为交往，是对教学过程的正本清源。对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。交往还意味着教师角色定位的转换:教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者。
根据新的课程标准，结合本班学生实际，改变传统的严格意义上的教师教和学生学，力求师生互教互学， 彼此形成一个真正的“学习共同体”。让学生成为学习活动的主人，教师成为学生学习的组织者和合作者，而不是权威的讲授者。教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生们大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与丰富、生动的思维活动，经历实践和创新的过程。
【教学目标】
知识目标：能用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论；用它们能初步解决证明线段相等和计算线段长度的问题；会用尺规作图法等分一条已知线段；能独自处理等分实际物体的问题。
技能目标：通过观察和动手操作，经历和体验定理的产生过程，培养实验操作能力。
身心素质目标：主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
【教学流程】
一、创设问题情境，激发学生探索的欲望，导入课题。
1、提出问题：学校准备为教室的窗户安装防护栏，在没有尺的情况下如何将4米长钢筋截成等距离的5段？
2、指出：在实际生活中有很多问题用数学知识来解决既方便又适用。引发问题：如何解决呢？
3、引入课题——平行线等分线段定理
二、学生自主探求、协作交流、归纳概括、意义建构。
1、猜一猜：准备一张横格纸（其上横线是平行且等距的），任意画一条直线（如图），它被横线分成的各条线段的大小有什么关系？再多画几条看一看。
[电脑演示，直观生动，同时培养学生动脑猜想，动手实验的良好习惯]
提出问题：通过度量比较，你发现了什么规律？
引导学生利用几何画板软件进一步验证一下猜想的真实性。
[学生自己动手操作电脑，体会应用现代信息技术解决问题的便捷性和高效性]
引导学生概括：“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。”
由此介绍：我们把这个结论称作“平行线等分线段定理”
[让学生自己概括出所感知的知识内容，有利于学生对知识的理解和掌握，也提高了他们的语言表达能力]
2、想一想：如何用我们学过的知识推证这个结论呢？
提示：以3条平行线为例来证明。
已知：如图，直线a∥b∥c，AB=BC
求证：DE=EF
分析：通过引辅助线，构造全等三角形
[通过提示培养学生领会由特殊到一般的数学思想方法]
3、议一议：通过改变直线AC、DF的位置，你能由上图中抽象出哪些特殊的图形，是否又发现了新的结论？
学生自己操作电脑，抽象出不同的几何图形，并互相交流。
[引导学生用运动的观点联系发展的看问题，从而使学生养成主动探求知识，建构知识的习惯]
（1） （2） （3）
引导学生概括：“经过梯形一腰中点与底平行的直线，必平分另一腰。”如图（1）“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。”如图（2）
指出：象图（3）这样的典型图例（8字形）在日后的证题中经常遇到。
[学生自己探求并总结出的结论，便于日后灵活应用。避免了死记结论的不良学习习惯。]
4、课堂练习：
①如图：A、B、C、D把OE五等分，AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果C′E′=8cm，那么OE′= 。
②③④⑤⑥⑦⑧略
以上各题设计在authorware课件中，由学生自己操作电脑自我测评，做不对或不做都无法继续进行。
[遵循巩固性原则，同时避免了学生思维的懒惰性，克服了教师辅导的局限性，增强了课堂教学的实效性。]
5、试一试：应用平行线等分线段定理，你能用尺规作图法将一条已知线段五等分吗？
[培养学生动手操作能力和灵活运用新知识的能力。]
6、考一考：
①在没有工具的情况下，你能想办法将10cm长的细绳7等分吗？
②回答课前提出的问题：没有尺的情况下，要将4米长的钢筋5等分，你现在能想出几种办法？
[遵循巩固和发展相结合的原则，培养学生的创新意识和创造能力，并注重学生间的相互评价，提高学生用所学知识解决实际问题的能力]
三、交流经验、取长补短、共同进步。
1、学生整理信息；（整理随堂笔记，网上下载资料，访问同学共享信息）
2、学生汇报本节课的收获；
3、学生间交流彼此的教训；
4、教师提出建议和补充。
[学生汇报和交流使知识更加系统深入，教师的补充便于查缺补漏。]
四、课外活动
用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？
如上图，先把矩形ABCD纸对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF。想一想，这是为什么。
[带有一定挑战性的课后思考题能唤起学生强烈的探求欲望，也能带来学生间默契的配合与研究，激发他们不断的思考和创新，为培养新一代研究型人才做准备。]
附教学流程图（见下页）
一.平行线等分线段定理
教学目标
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．
2．熟练掌握任意等分线段的方法．
3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．
教学重点和难点
重点是平行线等分线段定理及证明；
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答．
（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．
（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．
教法：
①引导学生用语言叙述该命题．
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．
②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
1． 用化归的方法证明定理．
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．
已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．
分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．
方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．
2．用运动的观点掌握定理的变式图形．
（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．
说明：
（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．
（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．
（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．
3．用特殊化的方法研究推论．
对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．
在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图 4－82中，∵ △ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC．
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．
三、运用定理解决问题
1．n等分任意一已知线段的作图．
例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．
分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．
（2）如图 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点．求
证：△EBC是等腰三角形．
教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？
四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．
2．怎样n等分一条已知线段？
3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．
五、作业
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
1． 利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．
2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．
3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因
此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．
4．定理还可用以下方式引入：
（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行
直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？
（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：
①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．
（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．
（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．
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高中数学选修4-1全套教案
一 平行线分线段成比例定理
教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。
教学过程：
（一）旧知识的复习
利用投影仪提出下列各题使学生解答。
1．求出下列各式中的x：y。
（1）3x=5y； （2）x=； （3）3：2=：； （4）3：=5：。
2．已知。 3．已知。
其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答，如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点，且，EF//BC交AC于F点，那么。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但不等于，譬如=时，应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引导，而后指定学生进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：
在梯形ABCD中，EF//BC的条件不变，但E不是AB的中点，仍如=，那么是否也等于？
而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图3）。
就图3的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含EF的延长线），也得到==（补足图3中的比例式）。
3．引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，
首先引导学生就图1、图2回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：对于图3的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图3中梯形的各线段，得出图4，并使观察、试述出：
三条平行线在直线、上截出线段、、、，如果=，那么=，即=。
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：=（m、n为自然数），那么怎样证明=？并使学生试证，并概括为：
三条平行线在直线、上截出线段、、、，那么=。
在此基础上，教师提出问题：由=，利用比例的性质还可得到哪些比例式？（=，=，等）
引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例1（1）已知：如图5，，AB=3，DF=2，EF=4，求BC。
（2）已知：如图6，，AB=3，BC=5，DB=4.5，求BF。
（3）已知：如图7，，AB=3，BC=5，DF=10，求DE。
（4）已知：如图8，，AB=a，BC=b，DF=c，求EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其口答。
例2．已知线段PQ，PQ上求一点D，使PD：DQ=4：1。
先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足，最后使他们实践。
（四）小结
1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。
2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误。
（五）布置作业
补充（1）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PD：PQ=4：1；
（2）已知线段PQ，在PQ上求一点D，使PQ：DQ=4：1
课题：平行线分线段成比例定理⑴
一、教学目的：
1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；
2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；
3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。
二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。
三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。
四、教学过程：
一、复习
1．求出下列各式中的x：y。
（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。
2．已知x:y=7:2，求x:(x+Y)
3．已知x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z)
二、新课学习
1．提出问题，使学生思考。
如果两条线段的比是1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1的？
而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学），如果答出定理——过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图1（若E是AB中点，EF//BC，交AC于F点，则AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果E是△ABC的AB边上一点,且EF//BC交AC于F点，如果AE:EB=1:1，那么AE:EB=AF:FC=1:1。
2．引导学生探索与讨论。
就着上述结论提出，在△ABC中，EF//BC这个条件不变，但AE:EB不等于1:1，譬如AE:EB=2:3时，AF:FC应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”——配合着黑板上画出的相应图观察、明确。
而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。
继而再问学生，是否还有包含线段的比是1：1的定理，学生答出定理——过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图2），并随即提出问题：
如果E不是AB的中点，如AE:EB=2:3，那么AE:EB=?（让生填空）
进一步问，如果AE：EB＝m:n，结论成立吗？如何说明？
引导学生得出AE:EB=AF:FC之后，提问
3、得出平行线分线段成比例定理
强调对应线段：
问AE:CF=AF:EB成立吗？
4、例1讲解（略)
变式：
已知：如图6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求BF。
已知：如图7,AB=3,BC=5,DF=10，求DE。
已知：如图8,AB=a，,BC=b，DF=c，求EF。
5、例2讲解：(略）
分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合比性质。
三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的第一个端点来定左、右
四、作业
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平行线分线段成比例定理
目的与要求：
1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。
2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实用价值。
重点与难点：
重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用
难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。
主要教法：综合比较法
一、 复习引入：
1、 平行线分线段成比例定理及推论
2、 △ABC中，若DE∥BC，则它们的值与相等吗？为什么？
二、 新课：
例1：已知：如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E
求证：
分析：中的DE不是△ABC的边BC上，但从比例可以看出，除DE外，其它线段都在△ABC的边上，因此我们只要将DE移到BC边上去得CF=DE，然后再证明就可以了，这只要过D作DF∥AC交BC于F，CF就是平移DE后所得的线段。
结论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例2：已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD
求证：
例3、已知：△ABC中，AD为BC边上的中线，过C任作一直线交AD于E，交AB于F。
求证：
例4：如图，已知：D为BC的中点，AG∥BC，求证：
（DC=BD）
例5：已知：△ABC中，AD平分∠BAC，
求证：，过C作CE∥AD交BA的延长线于E.
例6：△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD交AD于E，交AB于M，
求证：
再证：△MEF≌△CED
（由三线合一：ME=EC）
三、 练习：
四、 小结：
1、 今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定理的区别。
2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也可以用这个定理。
五、 作业
六、 弹性练习：
1、已知：如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2
BD=3.6
求CD的长。
过E作EH⊥CD于H，交AB于G
2、已知：如图，四边形AEDF为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，
求：BD、DC及AF的长。
6 4
3、 已知：如图，B在AC上，D在BE上，且AB:BC=2:1，ED:DB=2:1
求AD:DF
过D作DG∥AC交FC于G（还可过B作EC的平行线）
2BC=
从而AD= 故AD:DF=7:2
4、 △ABC中，DE∥BC，F是BC上一点。
AF交DE于点G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm
求(1)DE的长
(2) (3)
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平行线分线段成比例定理
教学目标
1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.
2.能初步应用定理及推论进行解题.
教学重点 定理及推论的内容及应用.
教学难点 定理结论的推理过程.
教学过程
一、复习提问：
1. 什么是平行线等分线段定理？
2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则 的比值是多少？
二、新课讲解：
1.平行线分线段成比例定理
从图（1）可知，当AD∥BE∥CF,且AB=BC时，则DE=EF,也就是 = =1
接着象教材一样，说明 = 时，也有 = .
要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 AD∥BE∥CF时，都可得到 = .
接着应用比例的性质。举例得到： = ， = ， = ，
= ， = .
从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.
（2）强调对应的意义，并说明上述6个比例式中的任何一个都可推导出其他5个来.
（3）用形象化的语言描述如下： = ， = ， = ，
= ， = .
（4）上述结论也适合下列情况的图形：
图（2） 图（3） 图（4） 图（5）
2.定理的应用
（1） 课本例1
已知：如图，l1∥l2∥l3,AB=3,DE=2,EF=4.求BC.
练习一
(1)如图（6）如果AE:EB=AF:FC,那么EF与BC的关系是
若AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形EBCD是 形。
（2）如图（7），若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则EC= .若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则AE= ,EC= .
（3）如图（8），DE∥AB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。
（4）如图（9），在梯形ABCD中，AD∥BC,E是AB上一点，EF∥BC交CD于F，若AE=2,CD=7,则FC= ,DF= .
(2)课本例2。
说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。
练习二
1，已知，如图（10），D,E,F分别在△ABC的边AB,AC,BC上，且FCED是平行四边形，若BD=7.2,BF=6,AC=8
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平行线分线段成比例定理
一、教学目标：
㈠知识与技能：
1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：
通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：
学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：
1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用
三、教学难点：推论的应用
四、教学方法：引导、探究
五、教学媒体：投影、胶片
六、教学过程：
【活动一】引入新课
问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？
学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论
问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？
问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？
教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】
问题4 看图说比例式
学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
【活动四】 教学例3
问题5 已知：如图：BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=4，
求：AE
学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生能否顺利写出解决问题的比例式；
2．在小组交流中学生能否在探究中发现解决问题的多种途径及最佳方案。
设计意图：以学生分组讨论方式展开探究活动，培养学生探索、发现、找出多种解决问题的方法的能力。
【活动五】
问题6 如图：DE∥BC，AB=15，AC=7，AD=2，求EC。
老师引导学生独立思考后，说思路，说方法。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否能顺利说出较简便的解题途径。
2．学生在语言表达上是否规范。
设计意图：培养学生快速解决问题的能力。
【活动六】 教学例4
问题7 如图：⊿APM中，AM∥BN，CM∥DN，
求证：PA：PB=PC：PD
分析：师生共同完成。
过程：由学生自己写出。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否能在复杂图形中找出相应的比例式。
2．学生能否体会到比例中间量的作用。
设计意图：培养学生识别图形的能力。
【活动七】
问题8 如图：P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，
求证：OA：AN=OB：MB
同桌交流、研讨，由学生分析讲解，写出过程。
在本次活动中，教师应重点关注：
1．学生是否快速找到比例的中间量。
2．学生书写解题过程是否规范。
设计意图：培养学生的语言表达能力。
【活动八】
小结：
我们本节课学习了哪些知识，通过探究你有哪些收获？你认为自己的表现如何？
老师重点关注：1．学生归纳总结能力；2．能否发表自己的见解，倾听他人的意见，反思学习过程；3．学生对推论的理解及应用程度。
思考题：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例，那么这条直线是否平行于第三边？
作业布置：
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相似三角形的判定
〔教学目标〕
1． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
SAS
↓
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
从复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）及两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
↓
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
延伸问题：
作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1，==。
↓
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。
作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。
让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。
探究方法：
探究3
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）
↓
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，∠B=∠B1
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
应用新知：
例2 如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，
求证：PA·PB=PC·PD。
分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需∆PAC∽∆PDB，欲证∆PAC∽∆PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS﹑ASA进行相关证明与计算的雷同性。
运用提高
运用相似三角形的判定方法3进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
备选题：
如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有 对。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：6
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
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相似三角形的判定
〔教学目标〕
4． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
5． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
6． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
1． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
SSS
↓
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
2． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
↓
探究两个三角形相似判定方法2的途径
从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
↓
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
↓
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，==k
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
∆ABC∽∆A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是
“夹角相等”。
运用提高
运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
1． 备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
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相似三角形的判定（一）
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：三角形相似的预备定理的应用．
3．难点的突破方法
（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；
（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；
（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；
（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：
如△ABC∽△A′B′C′的相似比，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；
（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
三、例题的意图
本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．
例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．
四、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．思考判断相似三角形的条件．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
五、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：略（AD=3，DC=5）
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长．
解：略（）．
六、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10）
七、课后练习
1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
教学反思
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相似三角形的判定
一、教学目标
1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
3． 难点的突破方法
（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．
（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．
（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．
（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．
（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．
（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．
（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如的形式，也可以写成的形式．
（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．
三、课堂引入
1．复习提问：
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）让学生画图，自主展开探究活动．
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
四、例题讲解
※例1（补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长．
解：略（AD=）．
五、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
2．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，
求证：△ADC∽△CDP．
教学反思
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相似三角形的判定
一、教学目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．
3．难点的突破方法
（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．
（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．
（3）如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．
三、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．
四、例题讲解
例1已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
解：略（DF=）．
五、课堂练习
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
1． 已知：如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：．
2．已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．（1）求证：AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
教学反思
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相似三角形的判定（一）
〔教学目标〕
7． 了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
8． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
9． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：
3． 复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
4． 回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，∆ADE与∆ABC有什么关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。
↓
∆ADE∽∆ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
∆A1DE∽∆A1B1C1。用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC∆A1DE≌∆ABC
∆ABC∽∆A1B1C1
↓
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
↓
若
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中
探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。
通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高
运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
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相似三角形的判定
【目的要求】
1.使学生理解相似三角形和相似比的概念，掌握相似三角形的判定定理，会灵活运用这些定理解决一些简单的证明和计算问题。会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。
2. 通过相似三角形判定定理的学习，要求了解类比方法的作用，认识类比方法是获取新
知识的一种重要方法。
【知识要点】
一、相似三角形
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，（简叙为两角对应相等两三角形相似）。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）
6.直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2
【重点和难点分析】
重点：
1.相似三角形的有关概念及相似三角形的基本定理。
(1) 相似三角形的定义中突出的一个特征是“形状相同但大小不一定相同”，这是和全
等三角形的重点区别，以下表中我们也可以看出：
图 形
对应角
对应边
全等三角形
∠A=∠A′
∠B=∠B′
∠C=∠C′
AB=A′B′
AC=A′C′
BC=B′C′
相似三角形
∠A=∠A′
∠B=∠B′
∠C=∠C′
（K为任意正实数）
全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，即相似比为1。
(2) 表示两个三角形相似时注意通常要把表示对应顶点的字母写在相应的位置上，这样
比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
例如：图2
图中A对应着P，B对应着M，C对应着N。因此两个三角形相似应写为△ABC∽
△PMN。
(3) 相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三
角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ ”型。
在利用定理证明时要注意A型图的比例
，每个比的前项是同一个三
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。
2.相似三角形的判定定理。
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
(3)在掌握相似三角形的判定方法的基础上我们再看Rt△相似判定的特殊性。
A.利用一对锐角来判定（Rt△两锐角互余及等角的余角相等）。
B.利用两对对应边成比例（勾股定理）。
C.利用双垂直（Rt△斜边上高线）。
这就是从一个基本问题出发运用类比，联想特殊到一般反过来指导特殊的思维方法。
从而发散我们的思维。提高我们分析问题和解决问题的能力。
3. 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A型和 型、双A型。
A型 型
Ⅱ.相交线型：
A. 具有一个公共角，
在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共
角，且BC⊥AC，DE⊥AB。
B. 具有一条公共边和一个公共角
在△ABC与△DBA中AB是它们的公共边，
且∠BAD=∠C，B是它们的公共角。
C. 具有对顶角
在△ABC中AD⊥BC，BE⊥AC
则使△AME与△BMD中∠1与∠2是对顶角
4. 掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明
三角形相似及比例式或等积式。
【典型例题】
例一、 已知：如图9在△ABC中，D、E分别是BC、AB上的任一点，
△EFM∽△CDM
求证：△AEF∽△ABD。
分析：利用相似三角形的对应边或比例或对应角相等为条件，证明其它三角形相似，即已知的△EFM与△CDM属 型，求证的△AEF与△ABD属A型。EF∥BC是利用△EFM∽△CDM推出而且又是△AEF∽△ABD的条件。
证明：∵△EFM∽△CDM
∴∠1=∠2
∴EF∥BC
∴△AEF∽△ABD
例二、 已知：如图10，在Rt△ABC中∠ACB=90°，
CD⊥AB，E为AC的中点，ED、CB延长线交于一点F。
求证：AC·DF=BC·CF
分析：1.求证等积式一般先改写成等比式。
2.从求证的结论看四条线段分别在△ABC、△DCF中但很明显两个三角形不相似，在这样的情况下一般需要找一个过渡比（或叫做中间比）通过证两对三角形相似来证明。
证明：在△ABC与△CBD中
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴，∠A=∠1
∵E是AC中点，CD⊥AB
∴AE=EC=ED
∴∠A=∠2
∵∠2=∠3、∠A=∠1
∴∠3=∠1
在△FBD与△FDC中
∵∠F=∠F、∠3=∠1
∴
即
∴
∴AC·DF=BC·CF
例三、 已知：如图11，△ABC中M、E分别是AC、AB
上的点，ME、CB延长线交于一点D，且。
求证：AM=DB
分析：当图形中不存在明显的成比例线段的基本图形时，应考虑添加适当的辅助线
构造出基本图形创造代换条件。
证明：过M作MN∥DC
∴
∵
∴
∴AM=DB
例四、 已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD
(2)ND2=NC·NB
分析：1.本题要应用“等量代替”公理，线段的等量代替是证等积式或等比式的桥梁，体现在：
(1)AD是∠CAB的平分线，∠1=∠2，∠1，∠N是同角余角，得∠1=∠N，∠2=∠N从而解决△AME∽△NMD证明。
(2) EF所在直线是AD的垂直平分线，通过添加辅助线连结NA，NA=ND，使
证明ND2=NC·NB，变为证NA2=NC·NB。
证明：(1)连结NA
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵NE是AD的垂直平分线
∴∠5=∠6=90°，NA=ND
∵∠ACB=90°
∴∠1=∠4
∴∠2=∠4
∴△AME∽△NMD
(2) ∵NA=ND，NM⊥AD
∴∠3=∠4
∴2∠4=2∠2，即∠ANC=∠CAB
∴∠7=∠B，∠ANC=∠ANC
∴△NAC∽△NBA
∴
∴NA2=NC·NB
即ND2=NC·NB
例五、 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB
分析：1.求证等积式一般先将其化为等比式，使问题转化为求证等比式，再将求证等
比式转化为求证两个三角形相似。
2. 证明△ABE∽△FBE的条件；
已具备的条件是∠ABE=∠FBD，再证一对对应角相等的条件难找，因此改
证夹这对角的四条边成比例。
证明：∵AC⊥BC，CD⊥AB
∴∠BDC=∠ACB=90°
∴∠B=∠B，△CDB∽△ACB
∴
即BC2=AB·DB
∵CF⊥BE
∴∠EFC=∠ECB=90°
∵∠2=∠2
∴△BCF∽△BEC
∴
即BC2=BE·BF
∵AB·DB=BE·BF
即
∴∠3=∠2
∴△BAE∽△BFD
∴
∴BE·DF=AE·BDw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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平行线等分线段定理
教学设计示例
一、教学目标
1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．
3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美
二、教法设计
学生观察发现、讨论研究，教师引导分析
三、重点、难点
1．教学重点：平行线等分线段定理
2．教学难点：平行线等分线段定理
四、课时安排
l课时
五、教具学具
计算机、投影仪、胶片、常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习
七、教学步骤
【复习提问】
1．什么叫平行线？平行线有什么性质．
2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？
【引入新课】
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线 ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？
（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．
已知：如图，直线 ， ．
求证： ．
分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得 ），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．
（引导学生找出另一种证法）
分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 ．
证明：过 点作 分别交 、 于点 、 ，得 和 ，如图．
∴
∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴
∴
为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．
引导学生观察下图，在梯形 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论 1．
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．
再引导学生观察下图，在 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论2．
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．
接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．
例 已知：如图，线段 ．
求作：线段 的五等分点．
作法：①作射线 ．
②在射线 上以任意长顺次截取 ．
③连结 ．
④过点 ． 、 、 分别作 的平行线 、 、 、 ，分别交 于点 、 、 、 ．
、 、 、 就是所求的五等分点．
（说明略，由学生口述即可）
【总结、扩展】
小结：
（l）平行线等分线段定理及推论．
（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．
（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．
（4）应用定理任意等分一条线段．
八、布置作业
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平行线等分线段定理
【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；
2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；
3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用
【教学难点】平行线等分线段定理的证明
【教学方法】引导·探究·发现法
【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等
【教学设计】
一、实际问题，导入新课
1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？
A
B
C
D
N
M
B
C
D
N
P
E
G
F
2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折，
得折痕MN（如图1）；
·再把B点叠在折痕MN上，
得到Rt△BEP（如图2）；
·最后沿EP折叠，便可得到
（如图1） 等边△BEF（如图2）。 （如图2）
3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理
1．复习提问
（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？
（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？
师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验
请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：
（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？
（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想
引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？
猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想
教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理
（图1）
1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？
已知：直线a // b // c，AB = BC（如图1）
求证：A'B' = B'C'。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？
（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？
（3）在梯形中常作什么样的辅助线？
（图2）
D
E
3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法一：（略）参见课本P176的证法。
证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
于D、E（如图2）。（以下证明略）
〖注1〗 结论与直线A'C' 的位置无关；
〖注2〗 对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。
4．定理：
推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴A'B' = B'C'。
四、图形变式，引出推论
1．隐线变式，得推论1
在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？
条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
（图3） （图4） （图5） （图6）
2．运动变式，得推论2
既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？
条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．变换图形，深化理解
如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？
五、运用新知，解决问题
1．应用定理，等分线段
（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7）
已知：线段AB（如图7）。
求作：线段AB的三等分点。
作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程）
〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。
（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8）
2．应用推论，分解图形
例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，
CM、AM分别交BD于E、F。
求证：BE = EF = FD。
分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）
（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？
证明：（略。过程由学生自己完成）
例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足
分别为A'、B'、C'、D'、O'。
求证：A'D' = B'C'。
分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10）
（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？
证明：（略。过程由学生自己完成）
思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？
3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？
六、课堂小结，提炼升华
1．理解一个定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
2．掌握两个推论
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．了解三种思想
化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；
两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。
运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。
辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；
应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。
七、达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，
EF//BC交AB于F，FG// BD交AD于G。
求证：AG = DG。
2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E， （图11）
EF//AB交BC于F。
（1）求证：BF=CF；
（2）图中与DE相等的线段有 ；
（3）图中与EF相等的线段有 ；
（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）
八、课后作业，巩固新知
1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，
AE的延长线交AC于F。
求证：FC = 2AF。
（图13）
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平行线等分线段定理
课 题： 平行线等分线段定理
授课人
柯文祥
课 时： 一节
目的要求：掌握平行线等分线段定理，会按要求等分一条已知线段。
教学重点：理解平行线等分线段定理。
教学难点：平行线等分线段定理的合理应用。
教学方法：演示、指导法
能力点： 观察、分析、应用
教学过程：
1、提出问题
如何把一条线段三等分、五等分、七等分呢？
2、预备知识
我们先认识一个事实，笔记本上的平行线将一条直线等分若干段。
如图：
这个事实的根据是我们将要学习的“平行线等分线段定理”。
演示讲解平行线等分线段定理的证明，见课件。
3、平行线等分线段定理的应用定理
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。它是平行线等分线段定理一般的应用
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分另一边。它是平行线等分线段定理的一种特殊情况。
如图：
（1） （2） （3）
4、平行线等分线段定理的应用
将一已知线段AB五等分
课件“作图1”演示
5、学生练习
将以10cm的线段七等分
方法一：过线段端点作射线；在射线上取七等分线段；连另外的端点，过其余点作所连端点平行线。
方法二：利用已有平行线分线段七等分。以平行线上一点为A圆心，以10cm为半径画弧，交第八条平行线于点B，连AB，所交平行线的点为线段AB的七等分点。如图：
6、课堂练习
7、小结：
（1）平行线等分线段定理的理解
a//b//c
→ DE=EF
AB=BC
（2）平行线等分线段定理的应用
将一线段任意等分。如线段AB三等分、五等分、……
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平行线等分线段定理
【教材分析】
教学重点：根据新的课程标准，将平行线等分线段定理及其推论的应用作为重点，同时将自主探索、动手操作、协作交流意识的培养作为重点。
教学难点：定理的灵活应用是本节的难点。在教学过程中循序渐进的设计“猜一猜”、“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”以突破这一难点。
【设计理念】
现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质性交往发生的“教学”，是假教学。把教学本质定位为交往，是对教学过程的正本清源。对教学而言，交往意味着对话，意味着参与，意味着相互建构，它不仅是一种教学活动方式，更是弥漫、充盈于师生之间的一种教育情境和精神氛围。对学生而言，交往意味着心态的开放，主体性的凸现，个性的张显，创造性的解放。对教师而言，交往意味着上课不是传授知识，而是一起分享理解；上课不是无谓的牺牲和时光的耗费，而是生命活动、专业成长和自我实现的过程。交往还意味着教师角色定位的转换:教师由教学中的主角转向“平等中的首席”，从传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者。
根据新的课程标准，结合本班学生实际，改变传统的严格意义上的教师教和学生学，力求师生互教互学， 彼此形成一个真正的“学习共同体”。让学生成为学习活动的主人，教师成为学生学习的组织者和合作者，而不是权威的讲授者。教师可以根据学生的提问或者活动中可能出现的某些情况，提供示范、建议和指导，引导学生们大胆阐述并讨论他们的观点，让学生说明他们所获得的结论的有效性，并对结论进行评价。学生学习的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与丰富、生动的思维活动，经历实践和创新的过程。
【教学目标】
知识目标：能用语言及结合图形的符号语言叙述平行线等分线段定理和它的两个推论；用它们能初步解决证明线段相等和计算线段长度的问题；会用尺规作图法等分一条已知线段；能独自处理等分实际物体的问题。
技能目标：通过观察和动手操作，经历和体验定理的产生过程，培养实验操作能力。
身心素质目标：主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
【教学流程】
一、创设问题情境，激发学生探索的欲望，导入课题。
1、提出问题：学校准备为教室的窗户安装防护栏，在没有尺的情况下如何将4米长钢筋截成等距离的5段？
2、指出：在实际生活中有很多问题用数学知识来解决既方便又适用。引发问题：如何解决呢？
3、引入课题——平行线等分线段定理
二、学生自主探求、协作交流、归纳概括、意义建构。
1、猜一猜：准备一张横格纸（其上横线是平行且等距的），任意画一条直线（如图），它被横线分成的各条线段的大小有什么关系？再多画几条看一看。
[电脑演示，直观生动，同时培养学生动脑猜想，动手实验的良好习惯]
提出问题：通过度量比较，你发现了什么规律？
引导学生利用几何画板软件进一步验证一下猜想的真实性。
[学生自己动手操作电脑，体会应用现代信息技术解决问题的便捷性和高效性]
引导学生概括：“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。”
由此介绍：我们把这个结论称作“平行线等分线段定理”
[让学生自己概括出所感知的知识内容，有利于学生对知识的理解和掌握，也提高了他们的语言表达能力]
2、想一想：如何用我们学过的知识推证这个结论呢？
提示：以3条平行线为例来证明。
已知：如图，直线a∥b∥c，AB=BC
求证：DE=EF
分析：通过引辅助线，构造全等三角形
[通过提示培养学生领会由特殊到一般的数学思想方法]
3、议一议：通过改变直线AC、DF的位置，你能由上图中抽象出哪些特殊的图形，是否又发现了新的结论？
学生自己操作电脑，抽象出不同的几何图形，并互相交流。
[引导学生用运动的观点联系发展的看问题，从而使学生养成主动探求知识，建构知识的习惯]
（1） （2） （3）
引导学生概括：“经过梯形一腰中点与底平行的直线，必平分另一腰。”如图（1）“经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。”如图（2）
指出：象图（3）这样的典型图例（8字形）在日后的证题中经常遇到。
[学生自己探求并总结出的结论，便于日后灵活应用。避免了死记结论的不良学习习惯。]
4、课堂练习：
①如图：A、B、C、D把OE五等分，AA′∥BB′∥CC′∥DD′∥EE′，如果C′E′=8cm，那么OE′= 。
②③④⑤⑥⑦⑧略
以上各题设计在authorware课件中，由学生自己操作电脑自我测评，做不对或不做都无法继续进行。
[遵循巩固性原则，同时避免了学生思维的懒惰性，克服了教师辅导的局限性，增强了课堂教学的实效性。]
5、试一试：应用平行线等分线段定理，你能用尺规作图法将一条已知线段五等分吗？
[培养学生动手操作能力和灵活运用新知识的能力。]
6、考一考：
①在没有工具的情况下，你能想办法将10cm长的细绳7等分吗？
②回答课前提出的问题：没有尺的情况下，要将4米长的钢筋5等分，你现在能想出几种办法？
[遵循巩固和发展相结合的原则，培养学生的创新意识和创造能力，并注重学生间的相互评价，提高学生用所学知识解决实际问题的能力]
三、交流经验、取长补短、共同进步。
1、学生整理信息；（整理随堂笔记，网上下载资料，访问同学共享信息）
2、学生汇报本节课的收获；
3、学生间交流彼此的教训；
4、教师提出建议和补充。
[学生汇报和交流使知识更加系统深入，教师的补充便于查缺补漏。]
四、课外活动
用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？
如上图，先把矩形ABCD纸对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF。想一想，这是为什么。
[带有一定挑战性的课后思考题能唤起学生强烈的探求欲望，也能带来学生间默契的配合与研究，激发他们不断的思考和创新，为培养新一代研究型人才做准备。]
附教学流程图（见下页）
一.平行线等分线段定理
教学目标
1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形．
2．熟练掌握任意等分线段的方法．
3．培养化归的思想。运动联系的观点及“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法．
教学重点和难点
重点是平行线等分线段定理及证明；
难点是平行线等分线段定理的证明和灵活运用．
教学过程设计
一、从特殊到一般猜想结论
1．复习提问，学生口答．
（1）如图4－77，在△ABC中，AM＝MB，MD //BC，DE//AB．求证：AD ＝ DC．
说明：
①应用平行四边形和三角形全等的知识进行证明．
②题中条件DE//AB与结论没有必然联系，可看成是证明时所添加的辅助线，删去不影响结论的成立，即得到第（2）题．
（2）如图 4－78，在△ABC中，AM＝ MB，WD//BC，则AD＝DC．
教法：
①引导学生用语言叙述该命题．
若三角形中一边的平行直线把它的第二边截成两条相等线段，那么它也把第三边边截成两条相等线段．
②对结论进行引伸：若把两平行直线换成一组平行直线，是否还有这种性质？
二、用化归、特殊化的方法及运动的观点学习定理
1． 用化归的方法证明定理．
以三条平行线与被截的两条直线相交成梯形为例来证明定理．
已知：如图4-79（a）,l1∥l2∥l3,AB=BC．求证：A1B1=B1C1．
分析：由于三条平行线与被截的两条直线相交成梯形，怎样利用梯形中常用梯形，怎样利用梯形中常用的辅助线，将梯形分割化归为大家熟悉的三角形和平行四边形去解决？
方法一如图4－79（b），构造基本图形4－78，过Al作AC的平行线交j2于D,交j3于E,利用复习题（1）的方法来证明．
方法二如图479（c），构造基本图形4-79（d），过BI作EF//AC分别交j1，j3于E，F，
利用三角形全等和平行四边形的知识进行证明．
2．用运动的观点掌握定理的变式图形．
（l）当三条平行线与被截的两直线相交不构成梯形时，以上结论是否成立？教师制作教具，演示AlC1；所在直线运动的各种状态（见图480），让学生观察结论，并总结：可用类似的方法来证明．
说明：
（1）让学生认识到被平行线组（每相邻两条的距离都相等的平行线组）所截的两条直线的相对位置不影响定理的结论．
（2）强调图 4－80（c）中截得的 A1B1＝ B1C1，与 AC与A1C1的交点 D无关，让学生认清定理的基本图形结构．
（3）以上结论和证明方法对“一组平行线”多于三条的情形同样适用．
3．用特殊化的方法研究推论．
对定理的两种特殊情况，即图4-80（a）、图4-80（b）分解出被截的两条直线与平行组相交构成的梯形、三角形，就得到了定理在梯形和三角形中的特例，得到推论1和推论2．引导学生叙述两种情形下的特殊结论，画图并写出数学表达式如下：
推论1经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰．
在图4-81中,∵梯形ABCD中，AD//BC，AE＝EB，EF//BC，∴DF＝FC．
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
在图 4－82中，∵ △ABC中， AE＝EB， EF//BC，∴AF＝FC．
让学生熟记基本图形图4-81、图4-82的结构特点以及它们所包含的重要结论，是灵活运用它们解决问题的关键．
三、运用定理解决问题
1．n等分任意一已知线段的作图．
例1已知：如图4-83，线段AB．求作线段AB的五等分点．
分析：引导学生推广图4-82，构造定理的基本图形，进行作图和证明，强调平行线组要分别经过点A和点B．
2．分解或构造基本图形，应用定理及推论证明．
例2（l）如图4-84 M，N分别为□ABCD的边AB，CD的中点，CM交 BD于 E，AN交BD于F，求证： BE＝EF＝FD．
（2）如图 4－85． AB⊥j于B. CD⊥j于 C,E为 AD中点．求
证：△EBC是等腰三角形．
教师指导：引导学生先分析图中存在哪些基本图形，然后怎样利用它们的结论解题．
例3(选用)（1）如图4－86，CB⊥AB，DA⊥AB，M为CD中点．求证：∠MAB＝∠MBA．
（2）如图4-87，E为□ABCD对角线的交点，过点A，B，C，D，E分别向直线j引垂线，垂足分别为A’，B’，C’，D’，E’．图中能分解出几个基本图形图4-81？j上的线段之间有何等量关系？
四、师生共同小结
1．平行线等分线段定理及两个推论的内容及证明方法．
2．怎样n等分一条已知线段？
3．指导学生学习方法：利用化归思想证明问题；利用“特殊—一般～特殊”的方法研究问题；利用运动的思维方法将问题推广；利用分解，构造基本图形的方法灵活运用定理．
五、作业
课堂教学设计说明
本教学过程设计需1课时完成．
1． 利用复习题起到两个作用：（1）研究定理的特殊情况，让学生从特殊到一般接受理；（2）启发证明思路，准备定理所用的基本图形，分散难点．
2．证明定理的过程，实际上是从特殊——三条平行线，到一般——一组平行线，按照从定理的标准图形（图4-80（a））到变式图形（图4-80（b）-(e)，分别证明或说明．这样处理层层深入，符合学生的认知规律，逻辑性较强．
3．本节的两个推论实际上是三角形、梯形的中位线的判定定理，有着非常广泛的应用．因
此课堂上要求学生不仅会用语言叙述它们，还要求熟练掌握它们的基本图形和数学表达式，并通过两个小题进行及时巩固．
4．定理还可用以下方式引入：
（1）利用坐标黑板提出问题（图4-88）一组平行
直线j1,j2,j3,j4…分别被直线m，n所截．若将m截得线段AB＝BC＝CD，那么将 n截得的线段A’B’，B’C’，C’D’是否相等？
（2）得出猜想后，证明上述猜想的最简单情况，即三条平行直线j1，j2，j3．引导学生证明时，要强调两点：
①证明线段相等的基本方法之一是化归为证三角形全等．
②利用平行四边形的性质平移线段以构造全等三角形．
（3）利用运动观点掌握定理的变式图形（图4-80）．
（4）利用特殊化的方法得出推论2，推论1．
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