中考压轴题第6部分 抛物线之面积 学案

1．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．













2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．













3．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、
A2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．










4．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．





5．已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．








6．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．










7．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．











8．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

9．如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．












10．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．











11．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有　　个．
②写出向下平移且经点A的解析式　　．
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．










12．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．









13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：　　；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．













14．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．








15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．











16．如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．

（1）请直接写出下列各点的坐标：A　　，B　　，C　　，D　　；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．
①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．








17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．












18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．









19．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．




















21．如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．





22．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．






23．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．












1.方法一：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；
∴直线l：y=x﹣4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
方法二：（1）略．（2）∵y=（x﹣4）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴KAC==﹣2，KBC==，
∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，
∵B（4，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，t2﹣t﹣2），
∴S△MBC=×（HY﹣MY）（BX﹣CX）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，
∴当t=2时，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．

2.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=﹣；
∴抛物线：y=﹣x2+x+4．
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；
由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：，解得：，；
由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．
（3）方法一：∵S△APE=AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；
求得：b=，即直线L：y=﹣x+；可得点P（，）．
由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；
则点F（，0），AF=OA+OF=；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．
方法二：过点P作x轴垂线，交AE于H，
设P（t，﹣），则H（t，﹣），
S△PAE===，
∴当t=时，S有最大值，S=，
∴当P（，）时，S有最大值．

　



3.方法一：解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，∴，解得∴解析式为：y=x2+x﹣4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=x2+x﹣4上的一点，
如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m2+m﹣4．
于是PC=|n|=﹣n=﹣m2﹣m+4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m．
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1
=×（4+m）×（﹣m2﹣m+4）+×[（﹣m2﹣m+4）+4]×（﹣m）﹣×4×4
=m2﹣m=（m+2）2+
当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）．
（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为．
如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D．
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，
在Rt△OBB1中，BB1==
∵S△QBB1=×BB1×QD=××=2，∴（x0+2）2+=2，
解得x0=﹣1或x0=﹣3 当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．
方法二：（1）略．（2）连接BB1，过点P作x轴垂线交BB1于H．
lBB1：y=﹣x﹣4，设H（t，﹣t﹣4），则P（t，），
∴S△PBB1===﹣，
∴当t=﹣2时，S△PBB1有最大值，∴P（﹣2，﹣）．
（3）若抛物线上存在点Q，则过点Q作BB1的垂线，垂足为点D，
则S△PBB1=BB1×QD=，即=，
∴t2+4t+3=0，∴t1=﹣1，t2=﹣3，∴Q1（﹣1，﹣4），Q2（﹣3，﹣2）．

4.解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y=0代入y=﹣3x+3，∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
S=S四边形OAMB﹣S△AOB=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
=×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3=﹣（m﹣）2+
∴当m=时，S取得最大值．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（，），
∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，
过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，
cos∠M′BG==，
∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°
方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M点作ME垂直于l′于E点，则BD=d1，ME=d2，
∵S△ABM=×AC×（d1+d2）
当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM时取得最小值．
根据B（0，3）和M′（，）可得BM′=，
∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC=，
当AC⊥BM′时，cos∠BAC===，∴∠BAC=45°．

　5.解：（1）当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴直线l解析式为y=x，∵，∴x2﹣3x+m=x，∴x2﹣4x+m=0，∴△=16﹣4m=0，∴m=4，
（2）如图，

分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，∴． 同理，． ∵+=，∴+=2．
∴+=2． ∴+=，即=． 解方程组，得，x=，
即PD=||． 由方程组消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．
①当b＞0时，∴． 解得b=8．
②当b＜0时，∴=﹣，∴b=﹣8，
（3）不存在．理由如下：
假设存在，当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，
于是PD﹣AC=PE﹣PD，即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD=，∴k+3=2×，即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=﹣7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在． ∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ．
　















6.方法一：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t2﹣t+2=，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．
解法一：设AB与OC相交于点J，
∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，
KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，∴当a=时，S四边形RKTQ最大=，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得 ①
由△RKH∽△A′O′B′，得 ②
由①，②得KH=OH， OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT= ④
由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH
=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，∴当a=时，S四边形RKTQ最大=，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，
∵cot∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，
∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，
∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+
由于＜0，∴当a=时，S四边形RKTQ最大=，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
方法二：（1）略．（2）∵C（2，1），∴lOC：y=x，设P（t，），M（t，），
∵四边形ABPM为等腰梯形，
∴AM=BP且AM不平行BP，
∴（t﹣1）2+（2+）2=（t﹣1）2+（）2，
∴2+=（无解）或2+=﹣，t1=2（舍），t2=，∴P（，）．
（3）∵A（1，2），C（2，1），
∴lAC：y=﹣x+3，
设A′（t，3﹣t），Q（t，），T（t，0），
∵O′A′∥OA，∴KO′A′=KOA=2，∴lO′A′：y=2x+3﹣3t，
∵lOC：y=x，∴R（2t﹣2，t﹣1），K（，0），
∵S=S△QOT﹣S△ROK==﹣，
∴t=时，S有最大值．

　


7.解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴，解得，∴ y=﹣x2+x．
（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=，
∴直线OD解析式为y=x．
设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），
∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．
∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；
若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．
∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．
（3）∵C（1，3），D（3，1）
∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．
如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜3），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．
联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．
∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+
当t=1时，S有最大值为．∴S的最大值为．

　
8.方法一：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣8x+12，点P的坐标为（4，﹣4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：当y=0时，x2﹣8x+12=0，
∴x1=2，x2=6，∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m则，解得
∴直线BP的解析式为y=2x﹣12∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，﹣4），∴OP=4
设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6﹣x）2
当BD=OP时，（2x）2+（6﹣x）2=32，解得：x1=，x2=2，
当x2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形，∴当D（，）时，四边形OPBD为等腰梯形；
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，则MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=（4﹣t），∴MN=MH+HN=2+t，∴S=t2；
②当2＜t＜4时，P1G=2t﹣4，P1H=t，
∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，∴，∴，∴=3t2﹣12t+12，
∴S=t2﹣（3t2﹣12t+12）=﹣t2+12t﹣12，∴当0＜t≤2时，S=t2，
当2＜t＜4时，S=﹣t2+12t﹣12．
方法二：（1）略．（2）设D（t，2t），O（0，0），P（4，﹣4），B（6，0），
∴KBP==2，KOD==2，∴KBP=KOD，∴BP∥OD，
∵四边形OPBD为等腰梯形，∴DB=OP，
（t﹣6）2+（2t﹣0）2=（4﹣0）2+（﹣4﹣0）2，∴t1=2（舍），t2=，∴D（，）．
（3）O（0，0），P（4，﹣4），∴lOP：y=﹣x，
∴M（4﹣t，t﹣4），∵B（6，0），∴lBP：y=2x﹣12，∴N（，t﹣4），
①当0＜t≤2时，S===，
②当2＜t＜4时，∵△PMN与△P′MN关于MN对称，∴KMP′+KMP=0，KNP′+KNP=0，
∴lMP′：y=x+2t﹣8，lNP′：y=﹣2x+2t+4，∴D（8﹣2t，0），C（t+2，0），
∴S=（CD+MN）|MY|==﹣．

　
9.解：（1）如答图1，连接CB．
∵BC=2，OC=1∴OB===∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得：，解得：，
∴y=﹣x2+x+；
（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P1，P2．
∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=，
代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=，解得x1=1+或x2=1﹣，
∴P1（1﹣，）或P2（1+，）；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，
设M（xm，ym），则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB
=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB=（ym+）xm+（3﹣xm）ym﹣×3×
=xm+ym﹣，
∵ym=﹣xm2+xm+，∴S△MAB=xm+（﹣xm2+xm+）﹣
=﹣xm2+xm=﹣（xm﹣）2+，
∴当xm=时，S△MAB取得最大值，最大值为．
















　
10.解：（1）设正比例函数的解析式为y=k1x（k1≠0），
因为y=k1x的图象过点A（3，3），所以3=3k1，解得k1=1．这个正比例函数的解析式为y=x．
设反比例函数的解析式为y=（k2≠0），因为y=的图象过点A（3，3），所以3=，
解得k2=9．这个反比例函数的解析式为y=．
（2）因为点B（6，m）在y=的图象上，所以m==，则点B（6，）．
设一次函数解析式为y=k3x+b（k3≠0），
因为y=k3x+b的图象是由y=x平移得到的，所以k3=1，即y=x+b．
又因为y=x+b的图象过点B（6，），所以=6+b，解得b=﹣，
∴一次函数的解析式为y=x﹣．
（3）因为y=x﹣的图象交y轴于点D，所以D的坐标为（0，﹣）．
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
因为y=ax2+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，）、和D（0，﹣），
所以，解得，这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x﹣．
（4）方法一：∵交x轴于点C，∴点C的坐标是（，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S=×6﹣×6×6﹣××3﹣×3×3=45﹣18﹣﹣=．
假设存在点E（x0，y0），使S1=S=．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，∴y0＞0，
∴S1=S△OCD+S△OCE==．∴，∴．
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，∴．解得x0=2或x0=6．
当x0=6时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0=6舍去，∴点E的坐标为（2，）．
方法二：过点O作BD的垂线，垂足为H，设E（t，﹣），∵OH⊥CD，∴OH=，
∵SOECD=S△OEC+S△OCD===，
∵OA∥BD，∴SOABD==，
∵S1=S，∴=，∴t1=2，t2=6，∴E1（2，），E2（6，），
∵E2（6，）在直线CD上，故舍去，∴E（2，）．

11.方法一：解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把A（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，解得：c=﹣1，
则函数的解析式是：y=﹣x2﹣1；
（2）设l2的解析式是y=﹣x2+bx+c，
∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），根据题意得：，解得：，
则l2的解析式是：y=﹣x2+x﹣，则顶点C的坐标是（，﹣）．
过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．
（3）延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x﹣，则点G的坐标为（0，﹣），设点P的坐标为（0，h）
①当点P位于点G的下方时，PG=﹣﹣h，连结AP、BP，则S△APG=S△BPG﹣S△ABP=（﹣﹣h）/2，
∴S△ABP=（﹣﹣h）
又∵S△ABC=S△ABP=，得h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．
②当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理得h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．
综上所述所求点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
方法二：（1）略．（2）设l2的解析式为：y=﹣x2+bx+c，
∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），
根据题意得：，∴b=，c=﹣，∴l2的解析式是：y=﹣x2+x﹣，
则顶点C（，﹣），过O点作x轴的垂线交AB于H，
∵A（1，﹣2），B（3，﹣1），∴lAB：y=x﹣，把x=代入，y=﹣，∴H（，﹣），
∴S△ABC==．

（3）直线AB与y轴的交点为D，
∵lAB：y=x﹣，∴D（0，﹣），设P（0，t），∴S△ABP=，
∴，∴t1=﹣，t2=﹣，∴点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．


　12.解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，

设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，
∵PN=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；
（3）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，∴B（1，0），∴S△EBC=EB•OC=3，
∵2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，

∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB•HQ﹣BH•HF﹣QF•FM=BH（HQ﹣HF）﹣QF•FM=BH•QF﹣QF•FM=QF•（BH﹣FM）=FQ•OB=FQ=，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=﹣3x+3，
设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
　







13.解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，
解得：b=3，c=8，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8，
（2）∵点A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解得：x1=8，x2=﹣2，
∵点E在x轴的负半轴上，∴点E（﹣2，0），∴OE=2，
根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，∴DE=OE+OD=10﹣t，∴S=•DE•OC=•（10﹣t）•t=﹣t2+5t，
即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，∴当t=5时，S最大=；
（3）方法一：由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，
∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=﹣，b=5，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+5，
过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，

设直线EF的解析式为：y=﹣x+b，将E（﹣2，0）代入得：b=﹣，
∴直线EF的解析式为：y=﹣x﹣，
将y=﹣x﹣，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：，解得：，，
∴P（，﹣）；过点E作EG⊥CD，垂足为G，
∵当t=5时，S△ECD==，∴EG=，
过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，
可得△EGD∽△DMN，∴，即：，解得：DM=，∴OM=，
由勾股定理得：MN==，∴N（，），
过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，
设直线NH的解析式为：y=﹣x+b，将N（，），代入上式得：b=，
∴直线NH的解析式为：y=﹣x+，
将y=﹣x+，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：
，解得：，，∴P（8，0）或P（，），
综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．
方法二：由（2）知，C（0，5），D（3，0），∴lCD：y=﹣x+5，
作PH⊥x轴，交CD于点H，
∵P在抛物线上，∴设P（6m，﹣18m2+18m+8），∴H（6m，﹣10m+5），C（0，5），D（3，0），
S△PCD=|（DX﹣CX）（PY﹣HY）|，
∵S△CED=，∴，∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25，
①3×（18m2﹣28m﹣3）=25，∴m1=﹣，m2=，∴6m1=﹣2（舍），6m2=，
②3×（18m2﹣28m﹣3）=﹣25，∴m1=，m2=，∴6m1=8，6m2=，
综上所述，点P的坐标为：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．
　
14.解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；
（2）正确，理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），
∵D（0，6），∴PD===a2+2，PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，
∴PD﹣PF=2；
（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为﹣4，
将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，
∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，
∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），
由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），
①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）=；
∴4＜S△PDE≤12，
②当a=0时，S△PDE=4，
③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×
=﹣a2﹣3a+4，∴4≤S△PDE≤13，
④当a=﹣8时，S△PDE=12，
∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，
所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，
综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．

　
15.方法一：解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得，
解得．故二次函数的表达式y=x2﹣x+4；
（2）如图：延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，GD=GD′EF=E′F，
（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE，
由E点坐标为（5，2），BC的中点；D（4，4），直角的角平分线上的点；得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．
由勾股定理，得
DE==，D′E′==，
（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；
（3）如下图：OD=．
∵S△ODP的面积=12，∴点P到OD的距离==3．
过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，

在Rt△OGF中，OG===6，∴直线GF的解析式为y=x﹣6．
将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，
解得：，，
将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2=
∴点P1（，），P2（，）
如下图所示：

过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，
在Rt△PFO中，OG==6
∴直线FG的解析式为y=x+6，
将y=x+6代入y=得：x+6=
解得：，
y1=x1+6=，y2=x2+6=
∴p3（，），p4（，）
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．

方法二：
（1）略．
（2）作D点关于y轴的对称点D′，E点关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，分别交y轴，x轴于G，F，
∵∠AOC的平分线交AB于点D，
∴D（4，4），D′（﹣4，4），
∵E为BC的中点，∴E（5，2），∴E′（5，﹣2）
∴D′E′=，
∵DE=，
∴（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；

（3）作PH⊥x轴，交直线OD于点H，
设P（5t，20t2﹣24t+4），H（5t，5t），
∴S△ODP=|（DX﹣OX）（PY﹣HY）|=12，
∴|20t2﹣29t+4|=6，
①20t2﹣29t+4=6，∴5t=或，
②20t2﹣29t+4=﹣6，∴5t=或，
综上所述，满足题意的点P有四个：（，）或（，）或（，）或（，）．

　






16.方法一：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）．
（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3），
∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣1．
设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）．
1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．
∵PH=2GH，∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4．
当x2=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．∴x=3．∴此时点P的坐标为（3，0）．

2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立．
3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．
∵PH=2GH，∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，
∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．
综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．
②如图④，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，

∴E（1，0），F（3，0），∴EF=2．∴S△AEF=EF•OA=3．
∵△KPH∽△AEF，∴，∴．
∵1＜x＜4，∴当时，s△KPH的最大值为．
方法二：（1）略．（2）①∵D（0，﹣1），B（4，3），∴lBD：y=x﹣1，
设P（t，t2﹣4t+3），H（t，t﹣1），G（t，3），
∵PH=2GH，∴|t2﹣4t+3﹣t+1|=2|3﹣t+1|，
1、t2﹣4t+3﹣t+1=2（4﹣t），∴t1=3，t2=4（与B点重合，故舍去），
2、t2﹣4t+3﹣t+1=﹣2（4﹣t），∴t1=3，t2=4（与B点重合，故舍去），
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．
②令t2﹣4t+3=0，得x1=1，x2=3，∴E（1，0），F（3，0），
∴EF=2，∴S△AEF=EF×OA=3，
∵点P在直线BD下方，∴HP=HY﹣PY，∴PH=t﹣1﹣t2+4t﹣3=﹣t2+5t﹣4，
∵△KPH∽△AEF，∴，∴S△KPH=（t2﹣5t+4）2，
∴当时，s△KPH的最大值为．
17.方法一：解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
，解得 ，所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴=，即=，∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得 ，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．
∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）=×4•EK
=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．
解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
方法二：（1）略．（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∵B（4，0），∴lBC：y=x﹣3，过点Q作QH⊥AB于点H，∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=，
∵BQ=t，∴HQ=t，∴S△PBQ=PB•HQ==﹣，∴当t=1时，S△PBQ最大=．
（3）过点K作KE⊥x轴交BC于点E，
∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=，∴S△CBK=，
设E（m，m﹣3），K（m，），
S△CBK===﹣，
∴﹣=，∴m1=1，m2=3，∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．

18.解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．
由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．
∵y=ax2+bx﹣3经过A、B两点，∴∴，则的解析式为：y=x2﹣x﹣3，
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO．∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．则点P（m，m2﹣m﹣3）．
已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．
∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4=﹣（m﹣1）2+
Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）2+]•=﹣（m﹣1）2+
∴PD长的最大值为：．

②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．
∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=，
又∵∠FDP=∠ACP∴cos∠FDP==，在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m2﹣2m﹣8）．
又∵BG=4﹣m，∴====．
当==时，解得m=；当==时，解得m=．

　
19.方法一：解：（1）令y=0，即=0，解得x1=﹣4，x2=2，
∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．
（2）抛物线y=的对称轴是直线x=﹣=﹣1，即D点的横坐标是﹣1，
S△ACB=AB•OC=9，
在Rt△AOC中，AC===5，
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．
如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．
设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，
∴CE==．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），C（0，3）坐标代入，
得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣．
则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣1，）．
同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，）
综上所述，D点坐标为：D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×=，FN=MF•cos∠MFE=3×=，则ON=，
∴M点坐标为（，）
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，
所以直线l的解析式为y=x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．
方法二：（1）略．（2）设D（﹣1，t），过点D作x轴的垂线，交AC与H，
∵A（﹣4，0），C（0，3），
∴lAC：y=x+3，∴H（﹣1，），
S△ADC==AB×OC=9，∴DY=﹣或，
∴D1（﹣1，），D2（﹣1，）．

（3）以A、B、M为顶点所作直角三角形有且只有三个时，⊙F与直线l相切，设切点为M，连接FM，
则FM⊥l，在Rt△EFM中，FM=3，FE=5，
∴EM=4，tan∠MFE=，
∴sin∠MFE=，cos∠MFE=，
∵FM=3，
∴MY=FM×sin∠MFE=3×=，
MX=FM×cos∠MFE﹣OF=3×﹣1=，
即M（，），
∵E（4，0），
∴lEM：y=﹣x+3，根据对称性，直线l还可以是：y=x﹣3．












　











21.解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣，0），
∴，解得∴l：y1=x+1；
C′：y2=﹣x2+4x+1．
∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，∴ymax=5；
（2）联立y1与y2得：x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，
当x=时，y1=×+1=，∴C（，）．
使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，∴s=1+2+3=6．
代入方程得解得a=；经检验a=是分式方程的解．
（3）∵点D、E在直线l：y1=x+1上，
∴设D（p，p+1），E（q，q+1），其中q＞p＞0．
如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，
解得q﹣p=2，即q=p+2．∴EH=2，E（p+2，p+2）．
当x=p时，y2=﹣p2+4p+1，∴G（p，﹣p2+4p+1），
∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；
当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，
∴F（p+2，﹣p2+5），∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．
S四边形DEFG=（DG+EF）•EH=[（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3
∴当p=时，四边形DEFG的面积取得最大值，∴D（，）、E（，）．
如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣）；

连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．
设直线D′E的解析式为：y=kx+b，
则有，解得∴直线D′E的解析式为：y=x﹣．
令y=0，得x=，∴P（，0）．
　
22.解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，
∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=，当x=2时，y=，
∴点C和点D都在所求抛物线上；
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，
当x=时，y=，∴P（），
（4）方法一：∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，
设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，
∵，
S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，
S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），
a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．
由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，
此时，点M的坐标为（0，）．
方法二：∵点B（0，4），D（2，0），∴KBD==﹣2，
∵MN∥BD，∴KMN=KBD=﹣2，
∵M（0，t），∴lMN：y=﹣2x+t，当y=0时，x=，∴N（，0），
过点N作x轴的垂线交PM于H，
∵P（，），∴lPM：y=x+t，把x=代入，得y=，
∴HN=，∴S△PMN=HN×（PX﹣MX）=，
当t=时，S=，∴点M的坐标为（0，）．

　
23.解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，
所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；
（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），
∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；
（3）方法一：∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．
∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．
过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，
∵B（5，0），∴E（﹣1，0），
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，
将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．
解方程组，得，，
∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．
方法二：
∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．
∵S△BCP=S1，∴该问题等价于在抛物线上找到一点P，使得S△BCP=15，
过点P作x轴垂线交直线BC于点H，
设P（t，t2﹣6t+5），∴H（t，﹣t+5），∴S△BCP==15，
∴×（5﹣0）×[（﹣t+5）﹣（t2﹣6t+5）]=15，∴t2﹣5t+6=0，
∴，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）或P2（3，﹣4）．