2020年四川省成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试文科数学试卷及答案

成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试

数学（文科）

本试卷分选择题和非选择题两部分第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择题）4至6页，共6页．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，N＝{x｜-1＜x＜1}，则M∩N＝（    ）

A．[0，1）    B．（0，1）    C．（-1，0]    D．（-1，0）

2．若z＝（m＋1）（m-2）＋（2-m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝（    ）

A．-1或2    B．2    C．-1    D．3

3．已知向量，，则“x＝1”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．函数f（x）＝（3x＋3-x）ln｜x｜的图像大致为（    ）

A．    B．

C．    D．

5．执行如图所示的程序框图，正确的是（    ）

A．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为5

B．若输入a，b，c的值依次为1，2，3，则输出的值为7

C．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为8

D．若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为10

6．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的部分图像如图所示．若对任意x∈R，f（x）＝f（2t-x）恒成立，则实数t的最大负值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（    ）

A．160    B．163    C．166    D．170

8．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林·梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p-1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22-1＝3，23-1＝7，25-1＝31，27-1＝127，3，7是一位数，31是两位数，127是三位数．已知第10个梅森数为289-1，则第10个梅森数的位数为（    ）

（参考数据：lg2≈0.301）

A．25    B．29    C．27    D．28

9．在普通高中新课程改革中，某地实施“3＋1＋2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

10．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列选项错误的是（    ）

A．a2＋b2的最小值为    B．的取值范围是[9，＋∞）

C．的最小值为    D．若c＞1，则的最小值为3

11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别是A，F，焦距是2c，过点F作x轴的垂线与双曲线相交于B，C两点，过点B作直线AC的垂线交x轴于点D．若点D到直线BC的距离不大于a＋c，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

12．已知函数f（x）＝x3-4x，过点A（-2，0）的直线l与f（x）的图象有三个不同的交点，则直线l斜率的取值范围为（    ）

A．（-1，8）    B．（-1，8）∪（8，＋∞）

C．（-2，8）∪（8，＋∞）    D．（-1，＋∞）

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡上．

13．若实数x，y满足约束条件，则z＝x＋4y的最小值为________

14．已知数列{an}前n项和Sn满足，n∈N*，则数列的前2020项和为________

15．已知O为△ABC的外接圆的圆心，且，则∠C的值为________

16．四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一点，PE＝3ED，若且满足BF∥平面ACE，则λ＝________

三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，若________（填条件序号）

（1）求角C的大小；

（2）点D在CA的延长线上，且A为CD的中点，线段BD的长度为2，求△ABC的面积S的最大值．

18．某快餐连锁店，每天以每份5元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售，当天不能岀售的早餐立即以1元的价格被总店回收进行环保处理．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：

如果这个早餐店每天购入40份早餐，完成下列问题：

（1）写出每天获得利润y与销售早餐份数x（x∈N）的函数关系式；

（2）估计每天利润不低于150元的概率；

（3）估计该快餐店每天的平均利润．

19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥体A—CDE的体积．

20．已知函数f（x）＝ax2-2lnx．

（1）当a＝1时，求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若对，都有恒成立，求a的取值范围．

21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于A，B，且AB⊥OB，O为坐标原点．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积．

请考生在第22，23题中任意选择一题作答．作答时，用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数），设直线l1与l2的交点为P，当k变化时点P的轨迹为曲线C1．

（1）求曲线C1的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）＝｜2x-7｜＋｜2x-5｜

（1）求函数f（x）的最小值m；

（2）在（1）的条件下，正数a，b满足a2＋b2＝m，证明：a＋b≥2ab．

成都七中2021届高中毕业班一诊模拟测试答案

1-12：ACCDC  ACCDC  DB

10．详解：对于A选项：由，当且仅当时取等，知A正确；

对于B选项：，当且仅当时取得最小值9，知B正确；

对于C选项：，又，所以，知C选项不正确．

对于D选项：，当且仅当c＝2时取等，知选项D正确

第Ⅱ卷（非选择题）

13．  14．  15．

16．

解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，在线段PE取一点G使得GE＝ED，

连接BG，则BG∥OE，又因为OE平面AEC，BG平面AEC，所以BG∥平面AEC．

因为BF∥平面ACE且满足BG∩BF＝B，故平面BGF∥平面AEC．

因为平面PCD∩平面BGF＝GF，平面PCD∩平面AEC＝EC，则GF∥EC．

所以，即为所求．

17．解：（1）选①：，∵由正弦定理得，

∴a（b-a）＝（b＋c）（b-c），即a2＋b2-c2＝ab，∴

∵C∈（0，π），∴

选②：由正弦定理得，sinA≠0，∴，

，

∵C∈（0，π），∴，∴，∴．

选③：因为，所以

∴，∵C∈（0，π），∴

（2）在△BCD中，由余弦定理知a2＋（2b）2-2×a×2b×cos60°＝22

∴a2＋4b2-2ab＝4≥2·a·2b-2ab＝2b，∴ab≤2，当且仅当a＝2b，

即a＝2，b＝1时取等号，此时ab的最大值为2，

面积取得最大值．

18．解：（1），即．

（2）根据（1）中函数关系完成统计表如下：

所以获利不低于150元的概率为．

（3），

所以快餐店每天平均利润为159.5元．

19．解：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，BO，DO连接，

则BO⊥AC，DO⊥AC，

又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∴∠EBF＝60°，易求得，

∴四边形DEFO是平行四边形，

∴DE∥OF，∴DE∥平面ABC

（2）因为BO⊥AC，平面ACD⊥平面ABC，BO平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝AC，

所以BO⊥平面ACD，即FO⊥平面ACD，

由（1）知，FE∥DO，

故．

又，

．

∴

20．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2-2lnx，f（1）＝1，，k＝f′（1）＝0，

∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝1．

（2）法一：由题意，

①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]上单调递减，

∴恒成立，∴a≤0

②当a＞0时，f′（x）＞0，，∴f（x）在上单减，在上单增，

（ⅰ）当，a≥0时，f（x）在[1，3]上单增，，，舍去；

（ⅱ）当，时，f（x）在[1，3]上单减，，，∴

（ⅲ）当，时，f（x）在上单减，上单增，

，，∴，综上，

法2：恒成立，即，

令，，g′（x）＞0，．

∴g（x）在上单增，上单减，，，

∴

21．解：（1）已知｜OA｜＝a，，，则，

代入椭圆C的方程：，

∴，，∴，∴

（2）由（1）可得b＝1，，∴C：，

设直线l：，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x3，y3），∵，∴，

联立直线l与椭圆C的方程：得，Δ＞0恒成立，

，，

∴

∴

22．选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）将直线l1，l2的参数方程化为普通方程，得到l1：，l2：．

两式相乘消去k，可得．

因为k≠0，所以y≠0．

所以曲线C1的普通方程为（y≠0）．

（2）直线C2的直角坐标方程为x＋y-6＝0．

由（1）知，曲线C1与直线C2无公共点．

由于曲线C1的参数方程为（α为参数，α≠kπ，k∈Z），

所以曲线C1上的点到直线C2：x＋y-6＝0的距离

所以当，即时，d取得最大值为．

23．选修4-5：不等式选讲

解：（1）∵f（x）＝｜2x-7｜＋｜2x-5｜≥｜（2x-7）-（2x-5）｜＝2，

∴函数f（x）的最小值m＝2．

（2）证明：法1：（综合法）

∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1，∴，当且仅当a＝b时取等号，①

又∵，∴，∴，当且仅当a＝b时取等号，②

由①②得，∴a＋b≥2ab

法2：（分析法）

∵a＞0，b＞0，∴要证a＋b≥2ab，只需证（a＋b）2≥4a2b2，即证a2＋b2＋2ab≥4a2b2

∵a2＋b2＝2，∴只需证2＋2ab≥4a2b2，即证2（ab）2-ab-1≤0，即证（2ab＋1）（ab-1）≤0

∴a＋b≥2ab

（本小题满分10分）解：（1）：f（x）＝｜2x-7｜＋12x-512（2x-7）-（2x-5）＝2函数f（x）的最小值m

（2）证明：法1：（综合法）

a2＋b2≥2ab，：ab≤1．√ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，①

atbb当且仅当a＝b时取等号，②

b6

＋bb由①②得，∴a＋b≥2ab

法2：（分析法）

a＞0．b50，；要证a＋b22ab，只需证（a＋b）24a3b2，即证a2＋b2＋2ab24ab2

a2＋b2＝2，：只需证2＋2ab≥4a2b2，即证2（ab）-ab-1≤0，即证（2ab＋1）（ab-1）≤0

a＋b≥2ab