黄金卷01-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第一模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·山东高三其他模拟）已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，

，∴．

故选：C.

2．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线，则是双曲线C的离心率大于的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

解：因为双曲线，若，则，，，所以，故充分性成立；

若，则，，，所以，故必要性不成立；

故是双曲线C的离心率大于的充分不必要条件，

故选：A

3．（2020·山东高三三模）函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

因为，

所以是奇函数，故排除A，C；

因为，且，

所以，

故选：B

4．（2020·山东）已知，若，，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【详解】

对两边取以为底的对数得，即，同理有，

代入中得， 因为，所以，令，

则，整理可得，解得或（舍去）所以，

故选：B

5．（2020·山东高三其他模拟）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（    ）天（）

A．25 B．26 C．27 D．28

【答案】C

【详解】

取，故，即，

故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.

故选：.

6．（2020·全国高三月考（文））已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系；

设，故，，

故，，，

故，，

设，

则，

解得，

故．

故选：C

7．（2020·全国高三专题练习）已知点在半径为2的球面上，满足，，若S是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设外接圆圆心为，三棱锥外接球的球心为，，

设为中点，连，如图，

则，且在上，，

设外接圆半径为，

，解得，

要使体积的最大，需到平面距离最大，

 即为的延长线与球面的交点，最大值为，

所以三棱锥体积的最大值为．

故选：A

8．（2020·广东广州·高三月考）已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（    ）

A． B．4 C．5 D．

【答案】D

【详解】

解：如图所示，

由题意知：：，，

设，，直线：，

则，，

由，

得：，

，，

，，

，

解得：，

设抛物线准线交轴于，

则，在中，可得，，

是等边三角形，

，，

.

故选：D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·海口市第四中学高二期中）下面关于叙述中正确的是（    ）

A．关于点对称

B．关于直线对称

C．在区间上单调递增

D．函数的零点为

【答案】AC

【详解】

对于选项A：，选项A正确；

对于选项B：，不是最值，选项B错误；

对于选项C：由，

则的单调递增区间为，

又显然是的子集，则选项C正确.

对于选项D：由得，所以，则选项D错误.

故选：AC.

10．（2020·河北正中实验中学高二月考）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（    ）

A．A地：中位数为2，极差为5

B．B地：总体平均数为2，众数为2

C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0

D．D地：总体平均数为2，总体方差为3

【答案】AD

【详解】

对A,因为甲地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于.故A正确.

对B,若乙地过去10日分别为则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误.

对C,若丙地过去10日分别为,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误.

对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,则方差大于.与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人.故D正确.

故选：AD

11．（2020·德州市第一中学高二月考）对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A．存在，展开式中有常数项

B．对任意，展开式中没有常数项

C．对任意，展开式中没有的一次项

D．存在，展开式中有的一次项

【答案】AD

【详解】

解：对于二项式的展开式的通项公式为，，

而的通项公式为，.

对于二项式，展开式的通项为，

未知数的次数为

当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误，

当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误，

故选：AD.

12．（2020·福建莆田一中高三期中）设函数的定义域为，已知有且只有一个零点，下列结论正确的有（    ）

A． B．在区间单调递增

C．是的极大值点 D．是的最小值

【答案】ACD

【详解】

只有一个零点，即方程在上只有一个根，，取对数得，即只有一个正根．

设，则，当时，，递增，时，，时，，递减，此时，

．

∴要使方程只有一个正根．则或，解得或，又∵，∴．A正确；

，，

，，取对数得，

易知和是此方程的解．

设，，当时，，递增，时，，递减，是极大值，

又，

所以有且只有两个零点，

或时，，即，，，，同理时，，

所以在和上递增，在上递减，所以极小值为，极大值为，

又，所以是最小值．B错，CD正确．

故选：ACD．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·山东潍坊市·高一期中）已知偶函数在上单调递增，且1是它的一个零点，则不等式的解集为______．

【答案】

【详解】

因为1是函数的一个零点，所以，

因为函数是偶函数，所以，

所以由，可得，

又因为函数在上单调递增，

所以有，解得.

故答案为：

14．（2020·河南高二月考（理））在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则______.

【答案】1

【详解】

由，则

根据余弦定理可得

，

即，

解得或（舍去）.

故答案为：1

15．（2020·江西景德镇一中高二期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，设过的直线与的右支相交于两点，且，，则双曲线的离心率是______.

【答案】

【详解】

如图：设的中点为，连接，，

因为，为的中点，所以，

由，得，

所以，

在中，，

，所以，

在中，

，

因为，，

所以，

整理可得：，即，

所以，即，

所以或（舍），

所以离心率，

故答案为：

16．（2020·山东高二期末）在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球半径的最小值为________.

【答案】       

【详解】

当四个半径为的小球相切时，小球的半径最大，大球的半径最小，

如图所示：

四个小球的球心和大球的球心构成一个正四棱锥，

所以4r=6，解得，

其中，

在中，，

即，

解得，

故答案为：（1）；（2）.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·山东师范大学附中高三学业考试）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足__________，__________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求和的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【详解】

（1）选择①②：

当时，由得，

两式相减，得，即，

由①得，即，

∴，得．

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴．

选择②③：

当时，由③，得，

两式相减，得，∴，

又，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴．

选择①③，由于和等价，故不能选择；

设等差数列的公差为d，，

且，，成等比数列．

，即，

解得，（舍去），∴．

（2），，

，

∴，

．

18．（2020·山东省淄博实验中学高三月考）已知向量，，函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）向量，

．

由此可得函数，

又，得．

，即的取值范围是；

，（B），

又，，，可得．

，

根据正弦定理，可得，

由得，所以，

因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，

的面积．

19．（2020·山东宁阳县一中高二期中）如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【详解】

（1）取的中点，连接、、．

为正三角形，，

平面平面，平面

四边形是矩形

、、均为直角三角形

由勾股定理可求得：，，

又平面

（2）由（1）可知，

是二面角的平面角

二面角为

（3）设点到平面的距离为，连接，则

，

而，

在中，由勾股定理可求得

，所以：

即点到平面的距离为.

20．（2020·山东师范大学附中高三学业考试）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．

（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？

附：参考公式：，其中．

【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.

【详解】

（1）根据所给等高条形图，得到的列联表：

的观测值，由于，

故有99%的把握认为试验成功与材料有关．

（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．

，，

，，

则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）

修复费用的期望：．

所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．

21．（2020·五莲县教学研究室高二期中）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；

（3）求的最小值.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4.

【详解】

（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为

抛物线的焦点为，，

所以抛物线的标准方程：．

（2）抛物线的准线方程为．

设，

设过点的直线方程为，

与抛物线方程联立，消去得：．

其判别式△，令△，得：．

由韦达定理知，，

故（定值）．

（3）设，，，，由，得，

故，

所以，代入抛物线方程得，

所以，，，，

因为，，

所以

，

当且仅当时取等号．

当且仅时取等号．

故的最小值为4．

22．（2020·山东高三期中）设函数，，其中，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若且方程在，上有两个不相等的实数根，，求证.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【详解】

（1）

1°若，即时，令，得或，

令，得．

在和上单调递增，在上单调递减

2°若，即时，恒成立

在上单调递增

3°若，即时，

令得或，令得

在和上单调递增，在上单调递减

综上：时， 在上单调递减，和上单调递增

时， 在上单增

时，在上单减，在和上单增

（2）方程即

在上有两个不等实根和不妨设

则①

②

①-②得

因为，由（1）知

在上单减， 上单增

即时，，时，

故若证，只需证

即证

只需证

因为，所以

即需证：

整理得：

即证

令，

显然在上单增．

所以

故得证