专题17 综合测试10（解析版）

专题17  综合测试10

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第四次月考）设集合，，则

A．(0，2)       B．(1，2)      C．(1，3)      D．(2，3)

【答案】D

【解析】或，则

2、（百校联盟2020届高三教育教学质量监测）已知为虚数单位，对应点的坐标为（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，.

对应的点的坐标为.

故选：C.

3、（2020年全国1卷理科05）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

4、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第四次月考）已知两个变量具备线性相关性，现通过最小二乘法求回归直线方程，将已知数据代入公式计算后得到的代数式为：，使上述代数式取值最小的的值即为回归方程的系数，则回归直线方程为

A．       B．

C．        D．

【答案】D

【解析】，当即时上式最小，故

5、（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，

共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，

综上，共有种方法.

故选：D

6、（2020年普通高等学校招生全国统一考试）已知等比数列的前项和为，若公比为，，则数列的前项之积的最大值为（）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【解析】由，，得，解得，

所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.

故选：C.

7、（河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试）已知三棱锥的底面是等边三角形，且，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在上找中点，连接，，如下图所示，

因为三棱锥的底面是等边三角形，即是等边三角形，

所以，又因为，所以.

设，与平面所成的角，则，当时，最大，此时，，两两垂直，

所以三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，如下图，

因为，

所以外接球的半径.

则其外接球的表面积为.

故选：C.

8（山东省日照市第一中学2020届高三下学期模拟）已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】

如图，由题得,,所以.

所以,所以,

所以,

所以，

所以,即点P是MN的中点，

所以

故选：B

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（    ）

A．， B．若，则

C．若，则 D．若，，，则

【答案】BD

【解析】当时，为负数，所以A不正确；

若，则，考虑函数在R上单调递增，

所以，即，所以B正确；

若，则，，所以C不正确；

若，，，根据基本不等式有

所以D正确.

故选：BD

10、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第四次月考）空气质量指数大小分为五级，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”、“良”“轻（中）度污染”、“中度（重）污染”、“重污染”五个等级．下面是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下列说法正确的有

A．这14天中有4天空气质量指数为“良”

B．这14天中空气质量指数的中位数是103

C．从2日到5日空气质量越来越差

D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日

【答案】ACD

【解析】14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A对；14天中的中位数为：，故B错；从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C对；D答案显然成立.

11、（2021年江苏盐城期中）在中，下列说法正确的是

A．若，则

B．存在满足

C．若，则为钝角三角形

D．若，则

【答案】ACD

【解析】对于A选项，若则，则．即，

故A选项正确；对于B选项，由，则，于是，

即，故B选项错误；对于C选项，由得，此时：若，则，则，于是；若，则，则，于是，故C选项正确；对于D选项，由，则，则，于是，即，同理，此时．所以D选项正确．

12、（2021年湖北十一小联考）对于定义在上的函数，若存在正实数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（    ）

A.       B.     

C.           D.

【答案】BCD 

【解析】对于A，可化为，

即对一切恒成立，

由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，

所以，函数不是“控制增长函数”；

对于B，若函数为“控制增长函数”，

则可化为，

对一切恒成立，

又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；

对于C，，，

当且为任意正实数时，恒成立，

所以，函数是“控制增长函数”；

对于D，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，，若，即，

所以，函数是“控制增长函数”.

因此，是“控制增长函数”的序号是BCD.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020届山东省德州市高三上期末）随机变量的取值为、、，，，则______.

【答案】

【解析】设，其中，可得出，

，

，解得，

因此，.

故答案为：.

14、（辽宁省协作校2020届高三下学期第二次模拟）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______.

【答案】

【解析】设第天织布的尺数为，可知数列为等差数列，

设等差数列的公差为，前项和为，则，，，

则，解得，，解得，

因此，每天比前一天少织布的尺数为.

故答案为：.

15、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.

【答案】       

【解析】的展开式的通项为，

令，得，所以，展开式中的常数项为；

令，令，即，

解得，，，因此，展开式中系数最大的项为.

故答案为：；.

16、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知三棱锥，平面ABC，，，，直线SB和平面ABC所成的角大小为.若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.

【答案】

【解析】如图：

平面，则为直线SB和平面所成的角，即

在中：，

如图，设为三棱锥外接球的球心，G为外接圆圆心，

连结，则必有面

在，，

则

其外接圆半径，

又，

所以三棱锥外接球半径为

该球的表面积为,

故答案为：.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题）（本小题满分10分）在①·＝b2－ab，②atanC＝2csinA，③S＝(a2＋b2－c2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，已知______，

（1）求角C的大小；

（2）求sinA＋sinB的取值范围．

【解析】:(1)选条件①·＝bccosA＝b2－ab所以cb·＝b2－ab，即b2＋c2－a2＝2b2－ab，所以b2＋a2－c2＝ab，所以cosC＝＝．…………………………………………………………3分

因为C∈(0，π)，…………………………………………………………4分

所以C＝．…………………………………………………………5分

选条件②atanC＝2csinA，有正弦定理得，sinA·＝2sinCsinA，因为A，B∈(0，π)，所以sinA，sinC＞0，因此cosC＝，…………………………………………………………3分

C∈(0，π)，…………………………………………………………4分

所以C＝．…………………………………………………………5分

所以选条件③S△ABC＝(a2＋b2－c2)＝2abcosC，S△ABC＝absinC，abcosC＝absinC，C∈(0，π)，sinC＞0，cosC＞0，tanC＝，…………………………………………………………3分

C∈(0，π)，…………………………………………………………4分

C＝．…………………………………………………………5分

（2）sinA＋sinB＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，……………7分

A∈(0，)，－A∈(0，)，所以A∈(，)，A＋∈(，)，……………8分

所以sinA＋sinB∈(，]．…………………………………………………………10分

18、（2020-2021学年南京第一学期12月六校联合调研试题）（本小题满分12分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn＝an2＋3an．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记bn＝，若k＞Tn恒成立，求k的最小值．

【解析】（1）当n＝1时，，解得a1＝3．……………1分

当n≥2时，由，得，两式相减并化简得，

由于，所以，即，………………………………4分

故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．………………………………6分

（2）Sn＝ bn＝＝＝（－）．……………………8分

故Tn＝b1＋b2＋……＋bn＝（－）＋（－）……＋（－）＝（1－），由于{Tn}是单调递增数列，（1－）<……………………10分

，所以k．故k的最小值为．……………………12分

19、（2021年12月山东名校联考）如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是菱形，PA=BD=AB=2．且PB=PD.

(1) 证明：平面PAC平面ABCD;

(2)若PAAC,棱 PC上一点M满足BMMD，求直线BD与

平面ABM所成角的正弦．

【解析】：(1)连接交于，连接，

由四边形是菱形，得，

因为，所以，

又平面，，故平面

又平面，

所以平面平面.  ……………………………5分

(2)解法一：由(1)知：平面平面，平面平面，

又，平面，故平面

在菱形中，因为，所以，

所以为等边三角形，所以，

在和中，，，，

所以，所以

在和中，，，，

所以，所以

因为，所以为等腰直角三角形，

所以，所以，

所以为中点，.   . …………………………8分

又平面，所以平面

设到平面的距离为与平面所成角为，则

由，知，所以

在中，

在中，

在中，，所以，

所以，

所以，

即直线与平面所成角的正弦为  …………………………12分

解法二：以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，

设，则有

，

所以，

由，得，即

，

所以，即，

解得或（舍去）

所以

设平面的法向量为，则即

即可取

设与平面所成的角为，则

.  ……………………………12分

20、（2021年湖北四校联考）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数(英文为Body Mass Index ,简称BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是

中国成人的BMI数值标准为：BMI< 18.5为偏瘦；18.5BMI< 23.9为正常；24BMI< 27.9 为偏胖；BMI≥28为肥胖．某地区随机调查了6000 名 35 岁以上成人的身体健康状况，其中有1000名高血压患者，得到被调查者的频率分布直方图如图：

(1)求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；

(2)根据频率分布直方图，完成下面的22列联表，并判断能有多大（百分数）的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关？

【解析】：由图可知，1000名高血压患者中：

5000名非高血压患者中：

被调查者中肥胖人群的BMI平均值

(2)由(1)及频率分布直方图知，1000名高血压患者中有200+100+50=350人肥胖，5000名非高血压患者中有800+300+50=1150人肥胖，所以可得如下列联表：

由列联表中数据得的观测值为，所以能有99.9%的把握认为35岁以上成人高血压与肥胖有关．

21、（2021年江苏联考）（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点共线，直线的斜率分别为．

（1）证明：；

（2）当直线过点时，求的最小值；

（3）若，证明：为定值．

【解析】（1）由题知关于原点对称，则可设．

因为点在椭圆上，所以，

所以，

所以．    …… 2分

（2）设直线，代入可得，

，所以，

因此，      …… 4分

因为，所以．  

设，则，

等号当仅当时取，即时取等号．

          所以的最小值为8．                         …… 7分

（3）不妨设，由，，

所以． 8分

将直线的方程为代入可得，

，即．

因为，所以方程可化为．

所以，即，所以，即．10分

所以．… 12分

22．（2021年连云港月考）（本小题满分12分）已知函数，（）．

（1）当时，证明：；

（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数的取值范围．

【解析】（1）当时，设，所以，

          令，得．

          当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，即．                            …… 2分

又，因为与同号（当时，）

所以，即．

综上可知，．                                 …… 4分

     （2）（），所以．

          当时，，在上单调递减，所以无极值．5分

          当时，记，所以，

          所以即在上单调递减．

          又，．                         …… 7分

          ①当时，，，

所以在上存在唯一的，使得．

当，，所以单调递增；

当，，所以单调递减，

所以的极大值为，符合题意．           …… 10分

          ②当时，，，同理符合题意．

③当时，由（1）知，不合题意．

          综上，实数的取值范围是且．                     …… 12分