2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题03《轴对称》（学生版）

专题03  轴对称

1．轴对称图形与轴对称的相关概念

（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

2．轴对称的性质

（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．

（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．

（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．

3．轴对称与轴对称图形的区别与联系

区别：

（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；

（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．

联系：

（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；

（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

4．线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．

判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤

先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．

6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系

（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．

（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．

（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．

7．等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．

8．等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．

9．等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．

10．等边三角形的判定

（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．

（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．

11．含30度角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

12．最短路径问题

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．

考点一、轴对称图形

例1 （2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（　　）

A．     B．    C．   D．

【答案】D

【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选：D．

【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

考点二、轴对称的性质

例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）

A．10°    B．20°   C．30°    D．40°

【答案】A

【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，

∴∠C=40°，

∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，

∴∠AB/B=∠B=50°，

∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，

故选：A.

【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．

考点三、利用轴对称设计图案

例3 （2020吉林）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．

（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．

（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．

【答案】（1）（2）（3）见解析．

【解析】（1）如图①，MN即为所求；

（2）如图②，PQ即为所求；

（3）如图③，△DEF即为所求．

【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．

考点四、图形的剪拼

例4 （2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是       ．

【答案】

【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到的度数是．

【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．

考点五、轴对称与最小值

例5 （2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】设C（m，0），

∵CD=2，

∴D（m+2，0），

∵A（0，2），B（0，4），

∴AC+BD=

∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.

∵N（-2，4），Q（0，-2）

P/M+P/N的值最小值=P/N+P/Q=NQ=，

∴AC+BD的最小值为2，

故选：B.

【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

考点六、线段垂直平分线的性质

例6 （2020枣庄）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接AE，若，，则的周长为　　

A．8 B．11 C．16 D．17

【答案】B

【解析】垂直平分，，

的周长，故选B．

【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

考点七、坐标与图形变化--对称

例7 （2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）

A．（1，7）   B．（0，5）  C．（3，4）  D．（-1，2）

【答案】C

【解析】由坐标系可得B（-1，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B的对应点/的坐标为（3，1+3），

即（3，4），

故选：C.

【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．

考点八、等腰三角形的性质

例8 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是　　  ．

【答案】10或11．

【解析】由题意知，应分两种情况：

（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，，能构成三角形；周长=3+3+4=10，

（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，

故答案为：10或11．

【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

考点九、等腰三角形的判定

例9 （2020黄冈模拟）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．

【答案】见解析

【解析】证明：∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ACB和△BDA是直角三角形，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），

∴∠ABC＝∠BAD，

∴AE＝BE．

【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．

考点十、等边三角形的性质

例10 （2020常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=　　  °．30

【答案】30

【解析】∵EF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠B=∠BCF，

∴△ACF为等边三角形，

∴∠AFC=60°，

∴∠B=∠BCF=30°，

故答案为：30.

【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF是解本题的关键．

考点十一、等边三角形的性质与判定

例11 （2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=　　  48米．

【答案】48

【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，

∴∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵BC=48米，

∴AC=48米.

故答案为：48.

【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC是等边三角形．

考点十二、含30度角的直角三角形

例12 （2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，则BD的长度为　　  ．

【答案】2．

【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，

∴∠DAC=30°，

∴CD=AD，

∵∠B=30°，∠ADC=60°，

∴∠BAD=30°，

∴BD=AD，

∴BD=2CD，

∵BC=3，

∴CD+2CD=3，

∴CD=

∴DB=2，

故答案为：2.

【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.

1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（　　）

A．  B．  C．  D．

2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（　　）

A．100°   B．104°       C．108°   D．112°

3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（　　）

A．25° B．45° C．30° D．20°

4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（　　）

A. 40°                B. 45°       C.50°                D.60°

5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（    ）

A．（3，1）       B．（3，−1）

C．（−3，1）      D．（−3，−1）

6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（   ）

A．13      B. 17    C. 13或17      D.13或10

7．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）

A．120°      B. 130°    C. 145°      D.150°

8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条

9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（    ）

A．10  B．16        C．8   D．4

10．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长为（    ）

A．4.5   B．5      C．5.5   D．6

11.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（    ）

A.60°  B.65°  C.75°  D.80°

12.（2020四川模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（    ）

A.8      B.       C.       D.

二、填空题

13．我国传统木质结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一常见的图案，这个图案有______条对称轴．

14.（2020天门模拟）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为      .

15.（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是      .

16.（2020南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=      .

三、解答题

17.（2020仙桃模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；

（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．

18.（2020荆州一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．

（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．

19．如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点．求证：DF是AB的垂直平分线．

20．（2020鄂州一模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．

（1）作线段AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接AM，判断△AMC的形状，并给予证明；

（3）求证：CM=2BM．

21．图①和图②均为正方形网格，点A，B，c在格点上．

（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；

（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．

22．（2020黄冈模拟）已知：B−O−A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．

（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是，理由是．

（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．

（3）D点在公路OB上，到桥O点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．

23.（2020衡阳）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE=DF；
（2）若∠BDE=40°，求∠BAC的度数．

24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．

（1）求证：BG=CF．

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

25.（2020绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC．若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC=45°．
 

思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．