直线与直线的方程（精品有答案） 学案

直线与直线方程（精品）

内容：知识梳理配例题、当堂基础训练题，能力提升题

一、知识梳理

1.直线的倾斜角和斜率

（1）倾斜角：①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. ②倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

注意：1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；

2)直线与x轴垂直时， =90°，k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

②直线的倾斜角与斜率之间的关系:

在时，；当在时，；当时，；当时，直线的斜率不存在．且在和范围内，倾斜角越大则斜率越_______，反之亦然.

(3) 斜率公式:经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝_____________

例1：(1)若点A(1,1)，B(3,5)，C(,7)三点共线，则=________．

(2)已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围 _________________________________

            ＝4、 ∪.

2.直线方程

（1）直线方程的几种形式

在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．

例2．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

（1）斜率是，经过点A（8，―2）的直线方程为_____________________________

（2）经过点B（4，2），平行于x轴的直线方程为_______________________________

（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3的直线方程为___________________________

（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）的直线方程为____________________________

【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）

3.两条直线的位置关系

如果两条不重合的直线：和：

(1)两条直线平行：

若，则      ______________________ ；反之亦然.如果两条直线的斜率都不存在，那么它们的位置关系是         .

(2)两条直线垂直：

若，则               _________________  ；反之亦然。特别地，如果一条直线的斜率不存在且方程为x=a，另一条直线的斜率为0且方程为y=b,那么它们的位置关系是     .

例3.　求直线l的方程．

(1)过点P(2，－1)且与直线l1：3x－2y－6＝0平行；

(2)过点P(1，－1)且与直线l2：2x＋3y＋1＝0垂直．

答案：(1)3x－2y－8＝0 (2) 3x－2y－5＝0

4.平面直角坐标系中的距离公式

(1)两点间的距离公式

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.

(2)点到直线的距离公式

①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝ .

例4（1）.已知点A(－1,2)，B＝(2，)，P为x轴上一点，若满足|PA|＝|PB|，则P的坐标为________　

（2）已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)

A.1                  B.2　　　　C. D.4    

（3）在直线y＝x＋2上求一点P，使得点P到直线l1：3x－4y＋8＝0和直线l2：3x－y－1＝0的距离的平方和最小.点p的坐标为____________

(1)  (1,0)   (2)B   (3)P

5.常见的直线系方程

(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.

(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．

(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.

例5.已知直线m：2x―y―3=0，n：x+y―3=0．过两直线m，n交点且与直线l：x+2y―1=0平行的直线方程为______________

x+2y―4=0；

二、当堂基础训练

1.若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值是(　　)

A.   B.

C.或－   D.－

2.已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　)

A.kb<0          B.k≤0，b>0               C.k<0b>0  D.kb≥0

3.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)

A.3x＋4y＋5＝0         B.3x＋4y－5＝0         C.－3x＋4y－5＝0      D.－3x＋4y＋5＝0

4.已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，则mn的最大值为(　　)

A.             B.             C.2   D.4

5.已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则实数c的值为(　　)

A.－21或19             B.－11或9

C.－21或9               D.－11或19

6.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m(1<m<4)，4，则当△ABC的面积最大时，实数m的值为(　　)

A.3                B.              C.   D.

7.若动点A,B分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（  ）

A.     B.     C.     D.

8.已知定点A(3,1)，动点M和点N分别在直线y＝x和y＝0上运动，则△AMN的周长取最小值时点M的坐标为________

9.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程.                         

10. 过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 

11. 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).

(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.

答案：1-7.DBABBBA  8.    9.3x＋y＋1＝0. 10. x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 11.(1) (12,10)   (2)  (－2,3).

三、能力提升

1、已知直线和直线，则直线与（      ）

A.通过平移可以重合

B.不可能垂直

C.可能与轴围成等腰直角三角形

D.通过上某一点旋转可以重合

2、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A．B．C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（　　）

A．点A在直线l上    B．点B在直线l上 

C．点C在直线l上    D．点A．B．C均不在直线l上

3、已知动点P（x,y）满足，则取值范围（    ）

A．      B．      C．      D．

4、已知函数，点为坐标原点，点. 若记直线的倾斜角为，则(    )

A．               B．                C．               D．

5、已知直线：与直线：交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（    ）

A．        B．

C．        D．

6、已知直线的方程为，若点p（-3,0）在直线上的射影为H，0为原点，则的最大值为（    ）

A.        B.       C.       D.

7、已知点在直线上，则的最小值为：          

答案：1-6：DDCCAC    7. 3