高中数学6.2.2 直线上向量的坐标及其运算完美版ppt课件

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1.直线上向量的坐标给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时x称为向量a的坐标。
在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标。
【思考】向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？提示：能。（1）|a|=|xe|=|x||e|=|x|。（2）当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x=0时，a是零向量；当x<0时，a的方向与e的方向相反。
2.直线上向量的运算与坐标的关系如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2。（1）a=b的充要条件是x1=x2。（2）a+b的坐标为x1+x2，a-b的坐标为x1-x2，λa的坐标为λx1。
（3）设A（x1），B（x2）是数轴上的两点，M（x）是线段AB的中点，则AB=|x2-x1|，x=
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）数轴上点A对应的数为-3，则向量 的坐标为3。（　　）（2）数轴上点A对应的数为-3，则向量| |=3。（　　）
（3）直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。（　　）（4）两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差。（　　）
提示：（1）×。数轴上点A对应的数为-3，则向量 的坐标为-3。（2）√。（3）√。（4）√。
2.已知直线上向量a的坐标为3，则b=-2a的坐标为（　　）A.-2B.2C.6D.-6【解析】选D。-2a的坐标为-2×3=-6。
3.已知数轴上两点A，B的坐标分别为-2，5，则向量 的坐标为________。 
【解析】由题意， 的坐标为-2， 的坐标为5，又因为 所以 的坐标为5-（-2）=7。答案：7
类型一　求直线上向量的坐标【典例】1.若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是（　　）A.|a|=xB.b=yeC.a+b的坐标为x+yD.|e|=1
2.如图所示，写出直线上向量a，b的坐标。
【思维·引】根据直线上向量坐标的定义解决。
【解析】1.选A。由题意知，|e|=1，|a|=|x|，b=ye，a+b=xe+ye=（x+y）e，所以a+b的坐标为x+y，只有A错误。2.如题图，因为a=-4e，b=3e，所以向量a，b的坐标分别是-4，3。
【类题·通】求直线上向量的坐标的两种方法（1）将向量用单位向量表示出来。（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标。
【习练·破】若e是直线l上的一个单位向量，向量a=- e是这条直线上的向量，则向量a的坐标为（　　）A.- eB. EC.- D.
【解析】选C。由直线上向量的坐标的定义知，向量a的坐标为- 。
类型二　直线上向量的坐标运算【典例】已知直线上向量a，b的坐标分别为3，-4，求下列向量的坐标。（1）2a+b。　　　　（2） 5a- b。
【思维·引】利用直线上向量坐标运算的法则解决。
【解析】（1）2a+b的坐标为2×3+（-4）=2。（2）5a- b的坐标为5×3- ×（-4）=17。
【类题·通】直线上向量的坐标运算类似于初中数学上的代入求值问题，解题时要特别注意符号，以防出错。
【习练·破】若e是直线l上的一个单位向量，向量a= e，b=- e是这条直线上的向量，则|a+2b|=________。 
【解析】由题意，向量a，b的坐标分别为 ，- ，所以a+2b的坐标为 +2× =- ，故|a+2b|= 。答案：
【加练·固】已知直线上向量a，b的坐标分别为-3，2，c=a+b，d=a-b，判断向量c，d的方向是相同还是相反。
【解析】c=a+b的坐标为-3+2=-1；d=a-b的坐标为-3-2=-5，故向量c，d的方向相同。
类型三　数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式【典例】已知A，B是数轴上的点，B（-2） ，且 的坐标为4，求：（1）点A的坐标。（2）线段BA的中点C的坐标。
【思维·引】利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解。
【解析】（1）由题意知， 的坐标为-2，又 且 的坐标为4，所以 的坐标为-6，即A（-6）。（2）由（1）知，A（-6），B（-2），所以中点C的坐 标为=-4，即C（-4）。
【素养·探】本题考查数轴上两点之间的关系与中点坐标公式，突出考查了数学运算的核心素养。若把本例条件改为“已知A，B是数轴上的点，A（2），B（-3）”，求A与B的距离及线段AB的中点坐标。
【解析】因为 所以 的坐标为-3-2=-5，故AB=| |=5，线段AB的中点坐标为
【类题·通】要熟记数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式，并清楚它们之间的区别。
【习练·破】设数轴上两点A，B的坐标分别为-1，4，求向量 的坐标及A与B的距离。