寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第六讲 反比例函数与一次函数的综合（教师版）

第六讲   反比例函数与一次函数的综合

明确目标﹒定位考点

反比例函数是初中代数的主要版块之一。中考主要考查反比例函数的图像及性质，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何图形的综合。占比12分左右。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  一次函数与反比例函数的交点

【例1】已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为2．   （1）求k的值和点A的坐标； （2）判断点B的象限，并说明理由．

【变式训练1】如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.（1）求一次函数的表达式；

（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.

【规律方法】 反比例函数与一次函数的交点的横纵坐标即两个解析式组成的方程组的解。

考点2一次函数、反比例函数与不等式

【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

【变式训练2】一次函数y1=﹣x﹣1与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m）．

（1）观察图象，在y轴的左侧，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；

（2）求出反比例函数的解析式．

【规律方法】比较函数值的大小，上大下小。 

考点3  面积问题

【例3】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，点P是反比例函数图象上任意一点，连接PC，PB，求当△PBC的面积等于5时，点P的坐标．

【变式训练3】（2014•黑龙江大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B（m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．

（1）求一次函数的表达式； （2）求反比例函数的表达式．

【规律方法】解决反比例函数背景下的面积问题，掌握k的几何含义及求面积的分割法等式关键。

归纳总结﹒思维升华

一、  待定系数法求解析式

对于反比例函数有一个待定系数，因此只要在函数图象上找一个点的坐标代入解出值，回代即可得反比例函数解析式。

对于一次函数有两个待定系数和，因此需要在函数图象上找两个点的坐标代入解方程组得到和的值，然后回代才能得到此一次函数解析式。

二、  交点问题

求反比例函数与一次函数（正比例函数）的交点，一般是将反比例函数和一次函数解析式看做关于和的二元方程联立成方程组求解，次方程组的解即交点对应的坐标。

三、  面积问题

在坐标系中求图形面积时，一般用割补法，尽量用与坐标轴垂直或平行的线作为底或者高，这样才能较好地将点的坐标与线段长度之间进行转化。

四、  函数值大小比较

一般是以函数图像的交点及坐标轴为临界，取相同的x值后比较对应的y值大小。

专题训练﹒对接中考

一、  选择题。

1．在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（　　）

 A． B．C． D．

2．如图，一次函数y1=k1x+b（k1、b为常数，且k1≠0）的图象与反比例函数y2=（k2为常数，且k2≠0）的图象都经过点A（2，3）．则当x＞2时，y1与y2的大小关系为（　　）

A. y1＞y2    B. y1=y2    C. y1＜y2    D.  以上说法都不对

3．如图，过点O作直线与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线上，且AE=AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（　　）

A．S1=S2     B. 2S1=S2    C. 3S1=S2   D. 4S1=S2

二、  填空题。

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于，两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接，.若△的面积是20，则点的坐标为________

2．如图，一次函数y=kx﹣1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，BC垂直x轴于点C．若△ABC的面积为1，则k的值是　_____．

三、 解答题。

1.如图所示，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数的图象在第二象限内交于点B，过点B作BD⊥x轴于点D，OD=2．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是线段BD上一点，且△PBC的面积等于3，求点P的坐标．

2.如图，已知A，B（-1,2）是一次函数与反比例函数（）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D。

（1）       根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?

（2）       求一次函数解析式及m的值；

（3）       P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标。

3．如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．

（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（　　，　　），B（　　，　　），D（　　，　　）．

（2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

（3）当k为何值时，四边形ADBC是矩形．

作业：

一、  选择题。

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A、B两点．若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A. 1＜x＜3   B. x＜0或1＜x＜3    C. 0＜x＜1    D. x＞3或0＜x＜1

2．如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（　　）　 A．1    B．2     C．   D．

3．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B两点，给出下列结论：①k1＜k2；②当x＜﹣1时，y1＜y2；③当y1＞y1时，x＞1；

④当x＜0时，y2随x的增大而减小．其中正确的有（　　）

A.0个   B.1个   C.2个   D.3个

二、 解答题。

1．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

2． 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y=k2x+b．

（1）求反比例函数和直线EF的解析式；   （2）求△OEF的面积；

（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b﹣＞0的解集．

参考答案：

热点聚焦﹒考点突破

【例1】解：（1）将与联立得：  

点是两个函数图象交点，将带入1式得：解得

故一次函数解析式为，反比例函数解析式为

将代入得， 的坐标为

（2）点在第四象限，理由如下：

一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，

因此它们的交点都是在第四象限.

【变式训练1】解：（1），解得：b＝4，k＝，所以，一次函数为：y＝x＋5

（2）向下平移m个单位长度后，直线为：，

化为：，Δ＝（5－m）2－16＝0，解得：m＝1或9

【例2】解：（1）观图可知，A（-6，-2），B（4,3）

   （2）把A（-6，-2），B（4,3）代入y=kx+b得：∴

      ∴一次函数解析式为

      把A（-6，-2）代入得：m=12，∴反比例函数的解析式为

（3）解：由图可知，x＞4或-6＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值。

【变式训练2】解：（1）在y轴的左侧，当y1＞y2时，x＜﹣4；

（2）把点A（﹣4，m）代入y1=﹣x﹣1得m=﹣×（﹣4）﹣1=1，

则A点坐标为（﹣4，1），把A（﹣4，1）代入y2=得k=﹣4×1=﹣4，

所以反比例函数的解析式为y2=﹣．

【例3】解：（1）把x=2.y=3代入，得， ，反比例函数解析式

（2）依题意得，所以B（-3，-2）， BC=2

设在BC边上的高为h，则 ，

     所以点P的横坐标为-8或2，点P的坐标为（-8，）或（2，3）

【变式训练3】解：（1）∵S△AOB=6，S△BOC=2，∴S△AOC=4，∴•2•OC=4，解得OC=4，

 ∴C点坐标为（0，4），

设一次函数解析式为y=mx+n，

把A（﹣2，0），C（0，4）代入得，解得，∴一次函数解析式为y=2x+4；

（2）∵S△BOC=2，∴×4×m=2，解得m=1，∴B点坐标为（1，6），

把B（1，6）代入y得k=1×6=6，∴反比例函数解析式为．

专题训练﹒对接中考

一． 选择题。

1.D   2.A   3.B

二．填空题。

   1.

2. 解：设B的坐标是（x，），则BC=，OC=x，

∵y=kx﹣1，∴当y=0时，x=，则OA=，AC=x﹣，

∵△ABC的面积为1，∴AC×BC=1，∴•（x﹣）•=1， ﹣﹣=﹣1，∴kx=3，

∵解方程组得：=kx﹣1，∴=3﹣2=2，x=， 即B的坐标是（，2），

把B的坐标代入y=kx﹣1得：k=2，故答案为：2．

三．解答题。

1.解：（1）OD=2，B点的横坐标是﹣2，当x=﹣2时，y=﹣ =4，∴B点坐标是（﹣2，4），

设直线AB的解析式是y=kx+b，图象过（﹣2，4）、（0，2），

，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

（2）∵OD=2，，∴BP=3，

PD=BD﹣BP=4﹣3=1，∴P点坐标是（﹣2，1）．

2.解：（1）由图象，当时，一次函数值大于反比例函数的值。

   （2）把A，B（－1，2）代入得，

    ，解得  ∴ 一次函数的解析式为

     把B（－1，2）代入得，即m的值为－2。

（3）如图，设P的坐标为（，），由A、B的坐标可知AC=，OC=4，BD=1，OD=2，易知△PCA的高为，△PDB的高，

由可得 ，

解得，此时  ∴ P点坐标为（，）

3.解：（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形，∴D（1，﹣1），

联立得：，消去y得：﹣x=﹣，即x2=4，解得：x=2或x=﹣2，

当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=，∴A（﹣2，），B（2，﹣）；

故答案为：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；

（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点，∴OA=OB，OC=OD，

则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；

（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，

联立得：，消去y得：﹣=﹣kx，即x2=，解得：x=或x=﹣，

当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=， ∴C（﹣，），D（，﹣），

∴CD==AB==，

整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0，解得：k=（不合题意，舍去）或k=4，

则当k=4时，▱ADBC是矩形．

作业：

一．选择题。

1.B   2.A    3.C

解：①正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），

∴k1=2，k2=2，k1=k2，故①错误；

②x＜﹣1时，一次函数图象在下方，故②正确；③y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞1，故③错误；④k2=2＞0，当x＜0时，y2随x的增大而减小，故④正确；故选：C．

二．解答题。

1.解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，

在Rt△OBD中，tan∠BOC==，∴=，即m=﹣2n，

把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，

∴n=2n+2，解得n=﹣2，∴m=4，∴B点坐标为（4，﹣2），

把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数解析式为y2=﹣；

（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．

2.解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），

∴C点坐标为（6，4），∵点A为线段OC的中点，

∴A点坐标为（3，2），∴k1=3×2=6，

∴反比例函数解析式为y=；

把x=6代入y=得x=1，则F点的坐标为（6，1）；

把y=4代入y=得x=，则E点坐标为（，4），

把F（6，1）、E（，4）代入y=k2x+b得，解得，

∴直线EF的解析式为y=﹣x+5；

（2）△OEF的面积=S矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF

=4×6﹣×6﹣×6﹣×（6﹣）×（4﹣1）=；

（3）不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．