寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第五讲 函数与方程及不等式的综合（学生版）

第五讲   函数与方程不等式的综合

明确目标﹒定位考点

函数与方程（组）、不等式综合问题是函数版块中重要的一个知识点，会以填空或选择或解答题的形式考查，或压轴题中解决一个更为综合问题中的一步，占比7分左右。

热点聚焦﹒考点突破

考点1  一次函数与二元一次方程组的关系

【例1】函数y=ax与函数的图像如图所示，则关于x、y的方程组 的解是_______

【变式训练1】如图所示的是函数与的图像，求方程组的解关于原点对称的点的坐标是（    ）

1. (4，3)       B.(3，-4）     C.(-3，4)      D.(-3，-4)

【规律方法】坐标系内两条直线的交点坐标的代数意义即两条直线的解析式组成的方程组的解。

考点2一次函数与一次不等式的关系

【例2】如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（    ）A.    B. x≤3    C.    D. x≥3 

【变式训练2】如图所示，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是(     )

【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。”

考点3 反比例函数与一次函数交点问题

【例3】已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A、B两点，不等式ax+b＞的解集为（　 　）

A．x＜﹣3    B.﹣3＜x＜0或x＞1     C．x＜﹣3或x＞1    D.﹣3＜x＜1

【变式训练3】一次函数y1=﹣x﹣1与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m）．

（1）观察图象，在y轴的左侧，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；

（2）求出反比例函数的解析式．

【规律方法】  观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。”

考点4  二次函数与二次方程、二次不等式的关系

【例4】二次函数的图像如图5所示，根据图像解答下列问题：

（1）写出的两个根 （2）写出不等式的解集

（3）若方程有两个不相等的实数根， 求的取值范围。

【变式训练4】如图是二次函数的图象，使≤1成立的的取值范围是（    ）   A. -1≤≤3      B. ≤-1      C. ≥1      D. ≤-1或≥3

【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 

考点5  二次函数与一次函数交点问题

【例5】如图, 二次函数的图象与x轴交于A（－3,0）和B（1,0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D。

（1）请直接写出D点的坐标。  （2）求二次函数的解析式。

（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围。

【变式训练5】如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是____________．

【规律方法】观察图像法解不等式的方法是“上大下小，右大左小。” 

归纳总结﹒思维升华

1. 函数与方程的关系：函数y=f(x)的图像是一条直线或曲线。当f（x）=0时，方程的解即图像与x轴交点的横坐标。
2. 两函数图像的交点的代数意义是两个解析式组成的方程（组）的解。有无交点或交点个数由方程（组）解的情况决定。
3. 函数与不等式的关系：不等式f（x）＞k对应的是函数f（x）图像上在y=k上方的部分。反之，不等式f（x）＜k对应的是函数f（x）图像上在y=k下方的部分。

专题训练﹒对接中考

一、  选择题。

1.方程x+1=0的解就是函数y=x+1的图像（      ）

 A．与x轴交点的横坐标      B. 与y轴交点的横坐标 

C. 与x轴交点的横坐标或与y轴交点的横坐标    D.以上答案都不对

2．如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（  ） A．—1     B．—5      C．—4      D．—3

3.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）A.无解    B.x=1    C.x= -4   D.x= -1或x=4

二、  填空题。

1.抛物线与轴交于两点，则的长为______．                                                           

2.一元一次方程ax-b=0的解是x=3,则函数y=ax-b的图像与x轴交点坐标是_________.

3.反比例函数与一次函数y=2x+1的图像的交点坐标为____________.

4.如图，一次函数与反比例函数的图像交于A（1,4）、B（4,1）两点，若使

＞，则x 的取值范围是_______________.

5．如图，已知函数与（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式＞0的解为　_______　　．

三、  解答题。

1．  已知直线y1=x+及直线y2=﹣x+4．

（1）直线y2=﹣x+4与y轴的交点坐标为_______；

（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象；

（3）求这两条直线以及x轴所围成的三角形面积．

2.已知一次函数y=-x+4与反比例函数当k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图像有两个公共点？

3.（2014番禺期末）已知，是反比例函数图象上的两点，且，．

（1）用“描点”的方法作出此反比例函数的图象；

（2）求的值及点的坐标；

（3）当－4＜－1时，依据图象写出的取值范围.

4.某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

其中，m=　　　　　　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有　　　　　　个交点，所以对应的方程有　　　　　　个实数根；

②方程有　　　　　　个实数根；

③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是　　　　　　．

作业：

一、  选择题。

1．  若直线y=x+b与y=ax﹣1相交于点（1，﹣2），则a+b=（　　）

A.﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣

2．同一平面直角坐标系中，一次函数的图像与一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为（      ）   A.x＝0    B．x＝－1    C．x＝－2    D．x＝1

                             [来源:学.科.

3.抛物线与x轴交点的个数为（　  ）

A．0个   B．1个 C．2个   D．以上都不对

4.已知抛物线与轴的一个交点为（，0），则代数式+2015的值为（　 　）A．2013       B．2014                    C．2015                     D．2016

二、填空题。

1．若抛物线（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为_______

2．将直线的图象向上平移3个单位长度后与x轴y轴分别交于点A，B，求=_________．

3.在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数的图像没有交点，则实数k的取值范围是__________

三．解答题。

1．（2015春•越秀区期末）已知直线y=﹣x+9与x轴交于点A，直线y=x+2与y轴交于点B．且这两条直线相交于点C．（1）求出点A、B、C的坐标；  （2）求△ABC的面积S．

2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点．求：

（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．

3.已知二次函数的图象过点（4，3）、（3，0）．

（1）求、的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；

（3）在下图中作出此二次函数的图象，根据图像说明，当取何值时，？