数学第二章 参数方程综合与测试习题

这是一份数学第二章 参数方程综合与测试习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知曲线的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2t，,y＝t))(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1) B．(2,2) C．(0,0) D．(1,2)
解析：选C 当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．
2．(北京高考)曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上
解析：选B 曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的普通方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.
3．直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋t,y＝b＋t))(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1| B．2|t1| C.eq \r(2)|t1| D.eq \f(\r(2),2)|t1|
解析：选C ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，
∴|P1P|＝eq \r(a＋t1－a2＋b＋t1－b2)＝eq \r(t\\al(2,1)＋t\\al(2,1))＝eq \r(2)|t1|.
4．已知三个方程：①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t2，))②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tan t，,y＝tan2t，))
③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin t，,y＝sin2t))(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
解析：选B ①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.
5．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t),y＝－2))(t为参数)所表示的曲线是( )
A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线
解析：选B 因为x＝t＋eq \f(1,t)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
即x≤－2或x≥2，故是两条射线．
6．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6＋\f(4,cs θ),y＝5tan θ－3))(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝( )
A．－3－5eq \r(3) B．－3＋5eq \r(3) C．－3＋eq \f(5,3)eq \r(3) D．－3－eq \f(5,3)eq \r(3)
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(14＝6＋\f(4,cs θ) ①,a＝5tan θ－3 ②))
由①得：cs θ＝eq \f(1,2)，又π≤θ＜2π.
∴sin θ＝－eq \r(1－\f(1,2)2)＝－eq \f(\r(3),2)，∴tan θ＝－eq \r(3).
∴a＝5·(－eq \r(3))－3＝－3－5eq \r(3).
7．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
解析：选C 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得eq \r(－\r(2)2＋\r(2)2)·|t|＝eq \r(2)，解得t＝±eq \f(\r(2),2)，将t代入原方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．
8．若圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋2cs θ，,y＝3＋2sin θ))(θ为参数)，直线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2t－1，,y＝6t－1))(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．
9．设F1和F2是双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2sec θ，,y＝tan θ))(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是( )
A．1 B.eq \f(\r(5),2) C．2 D．5
解析：选A 方程化为普通方程是eq \f(x2,4)－y2＝1，∴b＝1.
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，,|PF1|－|PF2|2＝4a2.))
∴2|PF1|·|PF2|＝4b2.
∴S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2＝1.
10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sin θ和cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|θ|≤\f(π,4)))，则点(a，b)的轨迹是( )
A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧
解析：选D 由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝a，,sin θ·cs θ＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝sin θ＋cs θ，,b＝sin θ·cs θ.))
a2－2b＝(sin θ＋cs θ)2－2sin θ·cs θ＝1.
又|θ|≤eq \f(π,4).∴表示抛物线弧．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．若直线l：y＝kx与曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝sin θ))(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，eq \f(|2k－0|,\r(1＋k2))＝1，∴k＝±eq \f(\r(3),3).
答案：±eq \f(\r(3),3)
12．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs φ，,y＝2sin φ))(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.
答案：3
13．已知点P在直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋4t，,y＝1＋3t))(t为参数)上，点Q为曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,3)cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．
解析：直线方程为3x－4y－5＝0，由题意，点Q到直线的距离
d＝eq \f(|5cs θ－12sin θ－5|,5)＝eq \f(|13csθ＋φ－5|,5)，
∴dmin＝eq \f(8,5)，即|PQ|min＝eq \f(8,5).
答案：eq \f(8,5)
14．(天津高考)已知抛物线的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2pt2，,y＝2pt))
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线x＝－eq \f(p,2)，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，
在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋eq \f(p,2)＝2p，得p＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)求曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,t2＋1)，,y＝\f(2t,t2＋1).))(t为参数)被直线l：y＝x－eq \f(1,2)所截得的线段长．
解：曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,t2＋1)，①,y＝\f(2t,t2＋1)，②))eq \f(②,①)得t＝eq \f(y,x)，代入①，化简得x2＋y2＝2x.
又x＝eq \f(2,t2＋1)≠0，
∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．
圆C1的圆心到直线l：y＝x－eq \f(1,2)的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－0－\f(1,2))),\r(2))＝eq \f(1,2\r(2)).
所求弦长为2eq \r(1－d2)＝eq \f(\r(14),2).
16．(本小题满分12分)已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．
解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
∴其参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝1＋sin θ.))
∴t＝x＋y＝cs θ＋sin θ＋1
＝eq \r(2)sin(θ＋eq \f(π,4))＋1
∴当sin (θ＋eq \f(π,4))＝1时tmax＝eq \r(2)＋1.
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs φ，,y＝sin φ，))(φ为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ，))(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝eq \f(π,2)时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝eq \f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－eq \f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝eq \f(π,2)时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,4)时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝eq \f(\r(2),2)，与C2交点B1的横坐标为x′＝eq \f(3\r(10),10).
当α＝－eq \f(π,4)时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为eq \f(2x′＋2xx′－x,2)＝eq \f(2,5).
18．(本小题满分12分)舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 eq \r(\f(20\r(3)g,3))千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2eq \r(3))．设海中动物为P(x，y)．
因为|BP|＝|CP|，
所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝eq \f(\r(3),3)(x＋7)．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.从而得P(8,5eq \r(3))．
设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝eq \r(3)，
∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝v0tcs θ,y′＝v0tsin θ－\f(1,2)gt2))(其中θ为仰角)
将P(10,0)代入，消去t便得sin 2θ＝eq \f(\r(3),2)，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
19．(本小题满分12分)已知曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cs t，,y＝3＋sin t))(t是参数)，C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8cs θ，,y＝3sin θ))(θ是参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq \f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t是参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1，
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝eq \f(π,2)时，P(－4,4)，Q(8cs θ，3sin θ)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋4cs θ，2＋\f(3,2)sin θ)).
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ－3sin θ－13|.
从而当cs θ＝eq \f(4,5)，sin θ＝－eq \f(3,5)时，d取得最小值eq \f(8\r(5),5).
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcs θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cs θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝eq \f(1,2)(0＋4cs θ)＝2cs θ，y＝eq \f(1,2)(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P的坐标为(2cs θ，2sin θ)，因此点P的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ,y＝2sin θ))，(θ为参数，且0≤θ≤2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，))得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为eq \f(|0－0＋1|,\r(12＋－12))＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋eq \f(\r(2),2).