数学人教版新课标A第一章 导数及其应用综合与测试教案

这是一份数学人教版新课标A第一章 导数及其应用综合与测试教案，共5页。

目标定位：
1．通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．
导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．
2．本章具体的教学目标是：
（1）经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会变化率的广阔实际背景（如运动速度、绿地面积增长率、人口增长率、汽油的使用效率等等）．认识平均变化率与导数的区别与联系，体会导数的思想及其内涵，知道瞬时变化率就是导数，并通过函数图象直观地理解导数的几何意义．让学生在经历和参与数学发现活动的基础上，体验有限与无限、数形结合的思维过程，以及代数几何相互转化的数学思想方法．
（2）能由导数的定义求函数y = c，y = x，y = x2，y = EQ \F(1,x) 的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
（3）结合实例，探索并了解函数的单调性与导数的关系．并利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值和最大值、最小值．通过实例，初步学会解决生活中的优化问题（如利润最大、用料最省、效率最高）．体会导数的实际应用价值．
（4）了解有关微积分创立的时代背景和历史意义，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．
教材解读：
1．本教材《导数及其应用》，侧重于对导数本质的认识，通过大量的实例由浅入深，由表及里，层层展示其数学思想和数学方法．这与传统的运用形式化的极限概念，将导数作为一种规则的设计有很大的不同．全章按：“现实世界中的背景” → “建立数学模型” → “对数学模型进行研究”→ “利用数学模型解决问题” 的线索而展开．全书的整体结构如下：
2．“局部的以直代曲”是微积分的核心所在，本教材通过一系列的“问题串”以及十分形象直观的“放大图形”的朴素方法，逐层深入，将“以直代曲”的本质力图说透．教材按照“问题情境—建立模型—解释·应用与拓展”的程序，让学生经历数学建模的过程．本章的问题情境按二条线索进行设计．线索一为生活中的案例，如“气温变化的快与慢”、“婴儿体重变化的快与慢”、“工厂治污率的比较”、“速度变化的快与慢”、“边际函数”等等．另一条线索则是源于数学内部的背景．如“曲线上一点处的变化趋势”、“曲线上一点处最逼近曲线的直线”、“怎样由割线逼近切线” 等等．应指出的是上述两条线索交替呈现，环环相扣．为导数模型的建立和感受微分的基本思想提供了丰富的背景．
3．为了让更多的学生能理解“局部以直代曲”的辨证思想，激发他们自主学习的动机，教材通过设置“思考、探究、链接、阅读”等内容，以及信息技术的运用，为教师和学生的活动提供了广阔的空间，以期促进和改进教学方式和学习方式．为了适应学生的个性发展，教材在练习的基础上，将习题分为“感受·理解”、“思考·运用”、“探究·拓展”三个层次．“感受·理解”体现了本章的基本要求．“思考·运用”则帮助学生深化本章知识的理解．“探究·拓展”则为学生有余力的同学提供一些富有挑战性的问题．这样习题便具有一定的弹性，为教学留有足够的空间．也有助于学生良好的学习方式的形成．
4．另外，本章节的教学应加强与前期所学必修教材的联系，如必修2的相关习题（圆的周长与圆的面积的关系、圆的面积与球的体积的关系）均为学习本章节作好了铺垫．
教学方法与教学建议：
1. 突出数学模型思想．充分利用章引言中“气温变化”的背景和大量的生活实例以及学生学习数学必修课程所结累的经验，自觉地参与建构模型的活动．教学内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则．既要让学生领悟到数学的发生和发展具有“一以贯之”的风貌，又要使学生不知不觉地感受到学习的过程“似曾相识”．
2. 以问题为中心，以“问题串”为载体．充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用．教师要避免“急于表白”和“自说自话”，应努力追求水到渠成．通过问题串，着力揭示建构数学模型的思维过程和数学知识的内在联系，引导学生学会提出问题，学会数学发现．
例如，比较变化的快与慢，只考虑Δy行不行？教学中不要直接灌输Δy/Δx，应由生活实际背景，根据学生的生活经验，创设丰富的情境启发学生讨论、探索、感悟和体会，并尽可能由学生自己举例说明．教材在P4、P5、P8、P18分别提出：“用什么样的数学模型来刻画变量变化的快与慢？”、“气温陡增的数学意义是什么呢？”、“如何量化陡峭程度呢？”、“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？”、“如何求一个函数的导数？”这一系列问题引导着怎样的“数学思维过程”？
“变量变化的快与慢”→“数学地研究：几何化——曲线图”→“数学地研究：数量化—--局部近似（以直代曲），平均变化率”→“割线的斜率”→“近似向精确逼近——无限趋近于零”→“平均变化率过渡到瞬时变化率，割线的斜率过渡到切线的斜率”→“导数”．
可见，在上述环环相扣的问题串的指引下，师生可以真正主动地参与建构数学的活动．通过对这一问题的讨论与发现，可以紧紧扣住数学的本质．在教学中，关键不在给出具体的方法，而在于数学原理的发现，具体方法的程序化表达，只要建立在深刻理解的基础上，学生自己也不难做到．这应该自始至终地贯彻于数学教学过程之中．
3. 导数的学习涉及到多个相关知识，应注重不同章节之间的铺垫与呼应，内容上注意承前启后（如函数的图象和性质、球的面积与体积、算法与流程图），方法上注意多样并举．直与曲的对立统一，近似与精确的相互转化，形与数的有机结合，导数的教学应追求集大成的境界，熔几何代数于一炉，呈“中心开花”之态．
4．数学理论不是生活的简单复制，必要的形式化训练也是必不可少．在导数概念建立之后，要认真引导学生用定义推导几个初等函数的导数公式，这一阶段特别要注重规范化书写的常规训练，同时，进一步体会导数的思想和内涵及数学理论的自身特点和巨大价值，这其中渗透了算法的基本思想．对于直接给出的其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则，一般不要提高要求．另外，应注意作为选修1-1与选修2-2在教学要求上的区别．
5．恰当地使用信息技术，有条件应尽量使用计算器（机）．如，“割线逼近切线”的动态操作，曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的过程演示，“平均变化率过渡到瞬时变化率”的数值计算，计算曲边梯形面积的Mnte Carl方法等，运用多媒体教学，应注意现场制作，赋予信息技术以鲜活的生命，努力把计算机变成学习的好伙伴．
6．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它充满着人类智慧的光辉．它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．在今天的数学课上，我们是先学微分，后学积分．而在历史上积分概念的产生要远早于微分概念之前．积分的萌芽可上溯到公元前3世纪阿基米德的“穷竭法”，而微积分于17世纪中后叶由费马、笛卡尔、牛顿与莱布尼茨等人大体完成．虽然在18世纪，微积分作为伟大的数学工具已得到了广泛的应用．但直到19世纪才由柯西等人运用实数理论、集合论和极限论为微积分构建了牢固的逻辑基础．这与牛顿、莱布尼茨时代又间隔了约150年．微积分的历史，最富有启示意义之处就在于它充分显示了数学是如何取得进步的．周密的思考，逻辑地推演，然后获胜完美而无懈可击的数学结论．数学家们这种正统的观念，正好与历史上微积分创造者们的情形发生了尖锐的冲突．回顾历史，教师们理应深切感悟到，在中学作为“教育形态”而非“学术形态”的微积分可以适当简化和降低理论的严格推导过程，通过形象直观去认识和感受它，这既减少了学生学习的困难，又有利于真正理解导数与定积分的本质．