高中人教版新课标A第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试同步练习题

章末检测

一、选择题

1．下列推理错误的是             (　　)

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A∈l，l⊂α⇒A∈α

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于    (　　)

A．30°     B．45°     C．60°      D．90°

3．下列命题正确的是             (　　)

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则                                                                                                                                                                                      (　　)

A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P一定在直线AC或BD上

D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上

5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是             (　　)

A．①和②       B．②和③   C．③和④     D．②和④

6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是                                                                                                                (　　)

A．AB∥m      B．AC⊥m     C．AB∥β     D．AC⊥β

7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有                                                        (　　)

A．SG⊥△EFG所在平面

B．SD⊥△EFG所在平面

C．GF⊥△SEF所在平面

D．GD⊥△SEF所在平面

8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)

A．AC     B．BD    C．A1D     D．A1D1

　　　                    8题图　　　　　　　9题图

9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是                                                                                                                                                           (　　)

A．90°     B．60°       C．45°        D．30°

10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是      (　　)

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

　　　     10题图　　　　　　　11题图

11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为                                                                                                                                                                                      (　　)

A.     B.     C.      D.

12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为                                                                                                                                                                           (　　)

A．2     B.     C.      D．1

二、填空题

13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.

其中正确命题的序号是________．

15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．

　                   　　15题图　　　　　　16题图

16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．

三、解答题

17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？

18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面 

ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：PA∥面BDE；

(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

答案

1．C　2.D  3．C　4．B　5．D　6．D　7．A　8．B　9.A　10．D　11．D　12．D　

13．9

14．④

15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)

16．a>6

17．解　直线MN∥平面A1BC1，M为AB的中点，证明如下：

∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.

∴MN⊄平面A1BC1.

如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1.

∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，

∴NO1綊MB.

∴四边形NO1BM为平行四边形．

∴MN∥BO1.

又∵BO1⊂平面A1BC1，

∴MN∥平面A1BC1.

18．证明　如图所示，连接AN，延长交BE的延长线于P，连接CP.

∵BE∥AF，

∴＝，

由AC＝BF，AM＝FN得MC＝NB.

∴＝.

∴＝，

∴MN∥PC，又PC⊂平面BCE.

∴MN∥平面BCE.

19．解　(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.

又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.

因为PD＝＝2，CD＝2，

所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.

(2)如图，取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．

在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，

所以∠AEF＝45°.

因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.

20．(1)证明　连接OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA.

∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，

∴PA∥面BDE.

(2)证明　∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝O，

∴BD⊥面PAC.

又∵BD⊂面BDE，

∴面PAC⊥面BDE.

(3)解　取OC中点F，连接EF.

∵E为PC中点，

∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.

又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD.

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.

∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°.

在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝a，

∴OP＝2EF＝a.

∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.

21．(1)证明　因为底面ABCD为菱形，

所以BD⊥AC.

又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

如图，设AC∩BD＝F，连接EF.

因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，

故PC＝2，EC＝，FC＝，

从而＝，

＝.

因为＝，∠FCE＝∠PCA，

所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.

因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，

所以PC⊥平面BED.

(2)解　在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．

因为二面角A－PB－C为90°，

所以平面PAB⊥平面PBC.

又平面PAB∩平面PBC＝PB，

故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，

故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，

所以底面ABCD为正方形，AD＝2，

PD＝＝2.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.

设PD与平面PBC所成的角为α，

则sin α＝＝.

所以PD与平面PBC所成的角为30°.