2020-2021学年第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第1课时精练

 www.ks5u.com第一章　1.1　第1课时

一、选择题

1．(2013·北京文，5)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)

A．　 B．

C． D．1

[答案]　B

[解析]　本题考查了正弦定理，由＝知＝，即sinB＝，选B.

2．在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b.若2asinB＝b，则角A等于(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　D

[解析]　由正弦定理得2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝，∴A＝.

3．在△ABC中，下列关系式中一定成立的是(　　)

A．a>bsinA B．a＝bsinA

C．a<bsinA D．a≥bsinA

[答案]　D

[解析]　由正弦定理，得＝，∴a＝，

在△ABC中，0<sinB≤1，故≥1，∴a≥bsinA．

4．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　　)

A．一解 B．两解

C．无解 D．无法确定

[答案]　B

[解析]　∵b＝30，c＝15，C＝26°，

∴c>bsinC，又c<b，∴此三角形有两解．

5．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　A

[解析]　由已知，得＝×2××sinA，

∴sinA＝.

6．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)

A．x>2 B．x<2

C．2<x<2 D．2<x<2

[答案]　C

[解析]　由题设条件可知

，∴2<x<2.

二、填空题

7．已知△ABC外接圆半径是2 cm，∠A＝60°，则BC边长为__________．

[答案]　2cm

[解析]　∵＝2R，

∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm)．

8．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝______.

[答案]　2

[解析]　C＝180°－105°－45°＝30°.

根据正弦定理＝可知

＝，解得c＝2.

三、解答题

9．根据下列条件，解三角形．

(1)△ABC中，已知b＝，B＝60°，c＝1；

(2)△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2.

[解析]　(1)由正弦定理，得sinC＝·sinB＝×＝.

∴C＝30°或C＝150°.

∵A＋B＋C＝180°，故C＝150°不合题意，舍去．

∴A＝90°，a＝＝2.

(2)由正弦定理，得sinC＝＝＝.

∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.

∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，

C＝120°.

10．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．

[解析]　∵A、B、C是三角形的内角，

∴A＝π－(B＋C)，

∴sinA＝sin(B＋C)

＝sinBcosC＋cosBsinC

＝2sinBcosC．

∴sinBcosC－cosBsinC＝0，

∴sin(B－C)＝0，

又∵0<B<π，0<C<π，

∴－π<B－C<π，∴B＝C．

又∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，

∴△ABC是等腰直角三角形.

一、选择题

1．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　D

[解析]　c＝ ＝，B＝105°，

sin105°＝sin(60°＋45°)

＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，

∴S△ABC＝acsinB＝.

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C．若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)

A．－ B．

C． －1　 D． 1

[答案]　D

[解析]　∵acosA＝bsinB，

∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，

∴sinAcosA＋cos2B＝1.

3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　A

[解析]　本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．

由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.选A．

4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是(　　)

A．平行 B．重合

C．垂直 D．相交但不垂直

[答案]　C

[解析]　∵k1＝－，k2＝，∴k1·k2＝－1，

∴两直线垂直．

二、填空题

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．

[答案]　

[解析]　sinB＋cosB＝sin＝，

∴sin(B＋)＝1，∵0<B<π，

∴<B＋<π，∴B＝，

又∵＝，∴sinA＝，

∵a<b，∴A<B，故A＝.

6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC一定是________三角形．

[答案]　等边

[解析]　由正弦定理得，＝＝，

∴sin＝sin＝sin，

∵0<A，B，C<π，∴0<，，<，

∴＝＝，∴A＝B＝C．故△ABC为等边三角形．

三、解答题

7．在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.

(1)求sinC的值；

(2)设BC＝5，求△ABC的面积．

[解析]　(1)在△ABC中，由cosA＝－，cosB＝得，sinA＝，sinB＝.

∴sinC＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋(－)×

＝.

(2)根据正弦定理，

AB＝＝＝，

∴△ABC的面积S＝AB·BC·sinB＝××5×＝.

8．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．

(1)求cos A的值；

(2)求c的值．

[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，

所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，

所以＝，故cosA＝.

(2)由(1)知cosA＝，

所以sinA＝＝.

又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.

所以sinB＝＝，

在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)

＝sinAcosB＋cosAsinB＝.

所以c＝＝5.